حساب المتغيرات

قالب:لا صندوق معلومات حساب التغيرات قالب:إنج هو من مجالات التحليل الرياضي الذي يتعامل مع زيادة أو تقليل تابعي الدوال التي هي عبارة عن تعيينات من مجموعة من الدوال إلى أعداد حقيقية. غالباً ما يتم التعبير عن تابعات الدوال هذه بتكاملات محددة تشمل الدوال ومشتقاتها. ويكون الاهتمام بالمتغيرات التي تجعل الدوال تصل إلى قيمة عظمى أو صغرى التي يكون فيها معدل التغير صفر.

مثال بسيط لهذه المشكلة هو إيجاد منحنى له أقصر طول يربط بين نقطتين. إذا لم يكن هناك أية قيود، فمن الواضح أن الحل خط مستقيم بين نقطتين. ومع ذلك، إذا كان المنحنى مقيد بأن يقع على سطح في الفضاء، إذا فالحل أقل وضوحاً، وربما العديد من الحلول قد تكون موجودة. هذه الحلول معروفة باسم الخطوط الجيوديسية . ومن المشاكل ذات الصلة يعرضها مبدأ فيرما : الضوء يتبع طريق أقصر طول ضوئي يربط بين نقطتين، حيث أن الطول الضوئي يعتمد على المادة المكونة للوسط .من المفاهيم في الميكانيكا هو مبدأ أقل عمل.

العديد من المشاكل الهامة تشمل دوال بها عدة متغيرات. حلول المشاكل التي بها قيمة للحدود لمعادلة لابلاس تلبي مبدأ ديريتشليت. مشكلة بلاتو تتطلب إيجاد مساحة أقل منطقة التي تمتد في محيط معين في الفضاء. على الرغم من أن مثل هذه التجارب سهلة نسبياً للتنفيذ، فإن تفسيرها الرياضي أبعد ما يكون عن البساطة: قد يكون هناك واحد أو أكثر من الأسطح ذي مساحة دنيا.

التاريخ

حساب المتغيرات يمكن القول أنه بدء مع مشكلة منحنى براتشيستوتشروني التي أثارتها يوهان بيرنولي (1696). احتل فورا انتباه ياكوب بيرنولي وغييوم دي لوبيتال، ولكنليونارد أويلر الذي بدأت اسهاماته عام 1733 شرح أولا هذا الموضوع. ساهم لاجرانج إلى حد كبير في النظرية، و ليجاندر (1786) وضع نظرية ولكنها ليست بالكامل مرضية للتفريق بين القيمة القصوى والدنيا. إسحاق نيوتن وجوتفريد لايبنتز أعطوا أيضا بعض الاهتمام المبكر لهذا الموضوع. لهذا التمييز فينتشنزو بروناكسي (1810)، كارل فريدريش جاوس (1829)، سيميون بواسون (1831)، وميخائيل أوستروجرادسكي (1834)،و كارل جاكوبي (1837) كانو من بين المساهمين. وكان هناك عمل هام من ساروس (1842) الذي كثف وتم تحسينه بواسطة كوشي (1844). ومن بعض الاطروحات القيمة كتبت بواسطة ستراك (1849)، جيليت (1850)، أوتو هيس (1857)، الفريد كليبش (1858)، و كارل ((1885 ، ولكن ربما كان أهم أعمال القرن هو الذي قام به ويرستراس. احتفل بالطبع بالنظرية لكونها صانعة عهداَ جديداً، وأنه قد أكد أنه كان أول من وضع النظرية على أساس راسخ ولا يرقى إليه الشك. مشكلة هيلبرت العشرين والثالثة والعشرين نشرت في عام 1900 شجعت على زيادة التطوير.[2] في القرن العشرين قام دايفيد هيلبرت , إيمي نويثر، ليونيد تونيلي، هنري ليبيسج وجاك هادامارد بين أخرين ممن قدموا مساهمات كبيرة. طبق مارستون مورس حساب المتغيرات في ما يسمى الآن بنظرية مورس. ليف بونترياجين، رالف روكافيلرو كلارك طوروا أداه رياضية جديدة لحساب المتغيرات في نظرية التحكم الأمثل. البرمجة الديناميكية للريتشارد بيلمان هي بدله لحساب المتغيرات.

القيم القصوى

حساب المتغيرات معني بالحدود العظمى أو الدنيا للدوال، التي تسمى مجتمعة القيم القصوى. تعتمد تابعة الدالة الرياضية على دالة، مشابهة إلى حد ما للطريقة التي يمكن أن تعتمد بها دالة على متغير عددي، وهكذا تم وصف تابعة الدالة الرياضية كدالة لدالة. تابعات الدوال لها قيم قصوى سواء عظمى أو دنيا بالنسبة للعناصر قالب:تعبير رياضي لفضاء دالة معطاة ومعرفة عبر مجال معطى.

الدالة قالب:تعبير رياضي يقال أن يكون لها قيمة قصوى في الدالة قالب:تعبير رياضي إذا كانقالب:تعبير رياضي له نفس الإشارة لكل قالب:تعبير رياضي في أحد الأحياء العشوائية الصغيرة المجاورة عند قالب:تعبير رياضي والدالة قالب:تعبير رياضي تسمى دالة قصوى. والقيم القصوى للدالة قالب:تعبير رياضي تكون عظمى إذا كان قالب:تعبير رياضي في كل مكان في أحد الاحياء العشوائية الصغيرة المجاورة، ودنيا إذا كان قالب:تعبير رياضي . لفضاء دالة متصلة، قيم قصوى مقابلة لتابعة دالة تسمى ضعيفة أو قوية اعتماداً على إذا كان المشتقات الأولى للدالة المتصلة هيه أيضا متصلة أم لا.

لتعريف أكثر تفصيلاً لقيم القصوى الضعيفة والقوية يشتمل على مفهوم المعيار لدالة في فضاء الدالة، الذي له دور مشابه لطول متجه في فضاء المتجه. إذا كان قالب:تعبير رياضي عنصر من عناصر فضاء الدالة قالب:تعبير رياضي لجميع الدوال المتصلة التي تم تعريفها في فترة زمنية مغلقة [a,b] ، فالمعيار norm قالب:تعبير رياضي المعرف على قالب:تعبير رياضي هو قيمة الحد الأقصى المطلق قالب:تعبير رياضي عند قالب:تعبير رياضي.

$\Vert y{\Vert }_0\equiv \underset{a\le x\le b}{\max }|y(x)|\text{where}y\in C(a,b)$

وبالمثل، إذا كان قالب:تعبير رياضي عنصر من عناصر فضاء الدالة قالب:تعبير رياضي لجميع دوال من قالب:تعبير رياضي التي لديها المشتقات الأولى متصلة، فالمعيار'norm قالب:تعبير رياضي المعرف في قالب:تعبير رياضي هو مجموع قيمة الحد الأقصى المطلق قالب:تعبير رياضي وقيمة الحد الأقصى المطلق للمشتقة الاولى المطلقة قالب:تعبير رياضي عند قالب:تعبير رياضي.

$\Vert y{\Vert }_1\equiv \underset{a\le x\le b}{\max }|y(x)|+\underset{a\le x\le b}{\max }|y{}^{\prime }(x)|\text{where}y\in D_1(a,b)$

الدالة قالب:تعبير رياضي يقال أن لها قيم قصوى ضعيفة في الدالة قالب:تعبير رياضي إذا وجد بعض قالب:تعبير رياضي ، حيث أن قالب:تعبير رياضي لها نفس الإشارة لكل الدوال قالب:تعبير رياضي مع قالب:تعبير رياضي. وبالمثل، الدالة قالب:تعبير رياضي يقال أن لها قيم قصوى عظمى في الدالة قالب:تعبير رياضي إذا وجد قالب:تعبير رياضي حيث أن قالب:تعبير رياضي لها نفس الإشارة لكل الدوال قالب:تعبير رياضي معقالب:تعبير رياضي.

كلا القيم القصوى القوية والضعيفة على حد سواء لدالة هم لفضاء دالة متصلة ولكن القيم القصوى الضعيفة لها احتياجات إضافية حيث تكون المشتقات الأولى للدالة في الفضاء متصلة . ولذا القيم القصوى العظمى هي أيضاً قصوى ضعيفة، ولكن لا يجوز إجراء العكس. إيجاد القيم القصوى العظمى أصعب من العثور على القيم القصوى الضعيفة. مثال على الشرط الضروري الذي يتم استخدامها للعثور على القيم القصوى الضعيفة هي معادلة أويلر – لاغرانج.

معادلة أويلر-لاغرانج

العثور على القيم القصوى تابعي الدوال مشابه لإيجاد القيم العظمى والصغرى للمعادلات. الحدود القصوى والدنيا للمعادلة يمكن العثور عليها من خلال إيجاد النقاط حيث تختفي مشتقاتها (أي تساوي الصفر). والحدود القصوى لتابعي الدوال يمكن الحصول عليها من خلال إيجاد معادلات مشتقتها تساوي الصفر. وهذا يؤدي إلى حل معادلة اويلر-لاغرانج . انظر في المعادلة :

$J[y]=\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}L[x,y(x),y^{\prime }(x)]dx$

حيث ان

قالب:تعبير رياضي ثوابت

قالب:تعبير رياضي قابلة للتفاضل مرتين

قالب:تعبير رياضي,

قالب:تعبير رياضي قابلة للتفاضل مرتين بالنسبة إلى قالب:تعبير رياضي.

إذا كانت الدالة قالب:تعبير رياضي تؤول إلى حد ادنى محلي عند قالب:تعبير رياضي و قالب:تعبير رياضي عبارة عن معادلة تعسفية التي لدبها ما لايقل عن مشتقة واحدة وتختفي عند نقاط النهاية قالب:تعبير رياضي و قالب:تعبير رياضي ولأي رقم قالب:تعبير رياضي قريب من الصفر. $J[f]\le J[f+\epsilon \eta ]$

قالب:تعبير رياضي هو تغير الدالة قالب:تعبير رياضي ويعبر عنه قالب:تعبير رياضي. بالتعويض عن قالب:تعبير رياضي في قالب:تعبير رياضي في المعادلة قالب:تعبير رياضي تكون النتيجة

$\mathrm{\Phi }(\epsilon )=J[f+\epsilon \eta ]$

بما ان المعادلة قالب:تعبير رياضي لها حد ادنى عند قالب:تعبير رياضي و الدالة قالب:تعبير رياضي لها حد ادنى عند قالب:تعبير رياضي فبالتالي

${\mathrm{\Phi }}^{\prime }(0)\equiv {\frac{d\mathrm{\Phi }}{d\epsilon }|}_{\epsilon =0}=\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}{\frac{dL}{d\epsilon }|}_{\epsilon =0}dx=0.$

بأخد المشتقة الكاملة ل قالب:تعبير رياضي حيث ان قالب:تعبير رياضي و قالب:تعبير رياضي هم دوال في قالب:تعبير رياضي وليس قالب:تعبير رياضي

$\frac{dL}{d\epsilon }=\frac{\partial L}{\partial y}\frac{dy}{d\epsilon }+\frac{\partial L}{\partial y^{\prime }}\frac{d{y}^{\prime }}{d\epsilon }$

وبما ان قالب:تعبير رياضي و قالب:تعبير رياضي

$\frac{dL}{d\epsilon }=\frac{\partial L}{\partial y}\eta +\frac{\partial L}{\partial y^{\prime }}{\eta }^{\prime }$ .

لذلك

$\begin{array}{cc}\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}{\frac{dL}{d\epsilon }|}_{\epsilon =0}dx& =\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}(\frac{\partial L}{\partial f}\eta +\frac{\partial L}{\partial f^{\prime }}{\eta }^{\prime })dx\\ & =\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}(\frac{\partial L}{\partial f}\eta -\eta \frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial f^{\prime }})dx+{\frac{\partial L}{\partial f^{\prime }}\eta |}_{x_1}^{x_2}\\ \end{array}$

حيث ان قالب:تعبير رياضي عندما تكون ε = 0 و لذلك استعملنا التكامل بالأجزاء . أخر حد اختفى بسبب ان قالب:تعبير رياضي عند قالب:تعبير رياضي و قالب:تعبير رياضي من التعريف . أيضا، كما ذكر من القبل أن الجانب الأيسر من المعادلة يساوي الصفر لذلك

$\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}\eta (\frac{\partial L}{\partial f}-\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial f^{\prime }})dx=0$

من النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل من الاختلافات يكون التكامل بين القوسين يساوي الصفر

$\frac{\partial L}{\partial f}-\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial f^{\prime }}=0$

وهي التي يطلق عليها معادلة اويلر-لاغرانج . الجزء الأيسر من النعادلة يطلق عليه مشتقة تابعة الدالة قالب:تعبير رياضي ويعبر عنها قالب:تعبير رياضي بشكل عام يكون الناتج معادلة تفاضلية عادية من الدرجة الثانية التي يمكن حلها للحصول على الدالة القصوى قالب:تعبير رياضي . معادلة لاغرانج ضرورية ولكن ليست كافية للحصول على النقاط القصوى ل قالب:تعبير رياضي . الشروط الكافية تم مناقشتها في المراجع.

المراجع

قالب:ضبط استنادي قالب:روابط شقيقة