حساب التفاضل والتكامل من الاختلافات

معادلة يولر-لاغرانج

العثور على القيم القصوى للعمليات مشابه لإيجاد القيم العظمى والصغرى للمعادلات. الحدود القصوى والدنيا للمعادلة يمكن العثور عليها من خلال إيجاد النقاط حيث تختفي مشتقاتها (أي تساوي الصفر). والحدود القصوى للعمليات يمكن الحصول عليها من خلال إيجاد معادلات مشتقتها تساوي الصفر. وهذا يؤدي إلى حل معادلة يولر-لاغرانج . انظر في المعادلة :

$J[y]=\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}L[x,y(x),y^{\prime }(x)]dx$

حيث ان

قالب:تعبير رياضي ثوابت

قالب:تعبير رياضي قابلة للتفاضل مرتين

قالب:تعبير رياضي,

قالب:تعبير رياضي قابلة للتقاضل مرتين بالنسبة إلى قالب:تعبير رياضي.

إذا كانت الدالة قالب:تعبير رياضي تؤول إلى حد ادنى محلي عند قالب:تعبير رياضي و قالب:تعبير رياضي عبارة عن معادلة تعسفية التي لدبها ما لايقل عن مشتقة واحدة وتختفي عند نقاط النهاية قالب:تعبير رياضي و قالب:تعبير رياضي ولأي رقم قالب:تعبير رياضي قريب من الصفر. $J[f]\le J[f+\epsilon \eta ]$

قالب:تعبير رياضي هو تغير الدالة قالب:تعبير رياضي ويعبر عنه قالب:تعبير رياضي. بالتعويض عن قالب:تعبير رياضي في قالب:تعبير رياضي في المعادلة قالب:تعبير رياضي تكون النتيجة

$\mathrm{\Phi }(\epsilon )=J[f+\epsilon \eta ]$

بما ان المعادلة قالب:تعبير رياضي لها حد ادنى عند قالب:تعبير رياضي و الدالة قالب:تعبير رياضي لها حد ادنى عند قالب:تعبير رياضي فبالتالي

${\mathrm{\Phi }}^{\prime }(0)\equiv {\frac{d\mathrm{\Phi }}{d\epsilon }|}_{\epsilon =0}=\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}{\frac{dL}{d\epsilon }|}_{\epsilon =0}dx=0.$

بأخد المشتقة الكاملة ل قالب:تعبير رياضي حيث ان قالب:تعبير رياضي و قالب:تعبير رياضي هم دوال في قالب:تعبير رياضي وليس قالب:تعبير رياضي

$\frac{dL}{d\epsilon }=\frac{\partial L}{\partial y}\frac{dy}{d\epsilon }+\frac{\partial L}{\partial y^{\prime }}\frac{d{y}^{\prime }}{d\epsilon }$

وبما ان قالب:تعبير رياضي و قالب:تعبير رياضي

$\frac{dL}{d\epsilon }=\frac{\partial L}{\partial y}\eta +\frac{\partial L}{\partial y^{\prime }}{\eta }^{\prime }$ .

لذلك

$\begin{array}{cc}\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}{\frac{dL}{d\epsilon }|}_{\epsilon =0}dx& =\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}(\frac{\partial L}{\partial f}\eta +\frac{\partial L}{\partial f^{\prime }}{\eta }^{\prime })dx\\ & =\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}(\frac{\partial L}{\partial f}\eta -\eta \frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial f^{\prime }})dx+{\frac{\partial L}{\partial f^{\prime }}\eta |}_{x_1}^{x_2}\\ \end{array}$

حيث ان قالب:تعبير رياضي عندما تكون ε = 0 و لذلك استعملنا التكامل بالأجزاء . أخر حد اختفى بسبب ان قالب:تعبير رياضي عند قالب:تعبير رياضي و قالب:تعبير رياضي من التعريف . أيضا، كما ذكر من القبل أن الجانب الأيسر من المعادلة يساوي الصفر لذلك

$\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}\eta (\frac{\partial L}{\partial f}-\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial f^{\prime }})dx=0$

من النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل من الاختلافات يكون التكامل بين القوسين يساوي الصفر

$\frac{\partial L}{\partial f}-\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial f^{\prime }}=0$

وهي التي يطلق عليها معادلة يولر-لاغرانج . الجزء الأيسر من النعادلة يطلق عليه المشتقة الوظيفية ل قالب:تعبير رياضي ويعبر عنها قالب:تعبير رياضي بشكل عام يكون الناتج معادلة تفاضلية اعتيادية التي يمكن حلها للحصول على الدالة القصوى قالب:تعبير رياضي . معادلة لاغرانج ضرورية ولكن ليست كافية للحصول على النقاط القصوى ل قالب:تعبير رياضي . الشروط الكافية تم مناقشتها في المراجع.