جذر عدد صحيح

في نظرية الأعداد ، يتم تعريف الجَذْر الأساسي أو جَذْر العدد الصحيح الموجب n على أنه ناتج قسمة الأعداد الأولية المتفردة على n. يظهر كل عامل أولي لـ n مرة واحدة فقط كعامل للجداء التالي:$$\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(n)=\prod _{\genfrac{}{}{0ex}{}{p\mid n}{p\text{ prime}}}p$$تلعب الجذور دورًا مركزيًا في صياغة حدسية abc.

أمثلة

الأعداد الجذرية للأعداد الصحيحة الموجبة القليلة الأولى هي

1 ، 2 ، 3 ، 2 ، 5 ، 6 ، 7 ، 2 ، 3 ، 10 ، 11 ، 6 ، 13 ، 14 ، 15 ، 2 ، 17 ، 6 ، 19 ، 10 ، 21 ، 22 ، 23 ، 6 ، 5 ، 26 ، 3 ، 14 ، 29 ، 30 ، 31 ، 2 ، 33 ، 34 ، 35 ، 6 ، 37 ، 38 ، 39 ، 10 ، 41 ، 42 ، 43 ، 22 ، 15 ، 46 ، 47 ، 6 ، 7 ، 10 ، ... قالب:OEIS .

علي سبيل المثال،$$504=2^3\cdot 3^2\cdot 7$$وبالتالي$$\mathrm{rad}(504)=2\cdot 3\cdot 7=42$$

خواص

الدالة $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$ هي دالة جدائية (لكن ليست جدائية كاملة)

جَذْر أي عدد صحيح $n$ هو أكبر قاسم غير تربيعي لـ $n$ وكذا تُوصَف أيضًا بأنها نواة خالية من التربيعات لـ $n$. لا توجد خوارزمية بزمن متعدد الحدود لحساب الجزء الخالي من التربيع من عدد صحيح.

يُعمم التعريف ليشمل أكبر رقم $t$ خالٍ يقسم كلا من $n$ و ${\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}_t$، وهي دوال جدائية نطاقها القوى الأولية مثل$${\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}_t(p^e)=p^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(e,t-1)}$$الحالات عندما تكون $t=3$ و $t=4$ مجدولة في قالب:OEIS2C و قالب:OEIS2C .

اُستخدم مفهوم الجذر الأساسي في حدسية abc، والتي تنص على ذلك ، لأي $\epsilon >0$ ، يوجد رقم ثابت $K_{\epsilon }$ بحيث أنه لكل الثلاثيات المكونة من الأعداد الصحيحة الموجبة الأولية نسبيا فيما بينهم، يتحقق في $a$ و $b$ ، و $c$ العلاقة التالية $a+b=c$ ، $$c<K_{\epsilon }\mathrm{rad}(abc{)}^{1+\epsilon }$$