توطئة إقليدس

ملف:Title page of Sir Henry Billingsley's first English version of Euclid's Elements, 1570 (560x900).jpg

توطئة إقليدس هي توطئة في الجبر ونظرية الأعداد تصف خاصية أساسية للأعداد الأولية وتحديدًا:قالب:Refn

كمثال، لو كان قالب:تعبير رياضي، قالب:تعبير رياضي، قالب:تعبير رياضي، إذا قالب:تعبير رياضي، وبما أن هذه القيمة قابلة للقسمة على 19، فبحسب التوطئة يكون أحد العددين 133 أو 143 أو كليهما قابلا للقسمة على 19. وبالفعل نجد أن قالب:تعبير رياضي.

استخدمت هذه الخاصية لإثبات مبرهنة الحساب الأساسية.قالب:Refn واستخدمت لتعريف العناصر الأولية، وهي تعميم للأعداد الأولية في الحلقات التبادلية العشوائية. توضح توطئة إقليدس أن العناصر غير القابلة للاختزال في مجموعة الأعداد الصحيحة هي أيضًا عناصر أولية. يستخدم البرهان الاستقراء الرياضي لذا لا ينطبق على جميع المجالات التكاملية.

صياغات التوطئة

عادة ما تستخدم توطئة إقليدس بالشكل التالي: قالب:مبرهنة يمكن تعميم توطئة إقليدس من الأعداد الأولية إلى أي أعداد صحيحة على النحو التالي. قالب:مبرهنة هذا تعميم لأن العدد الأولي قالب:Mvar هو أولي نسبيا مع العدد الصحيح قالب:Mvar إذا وفقط إذا كان قالب:Mvar لا يقسم قالب:Mvar.

تاريخ

ظهرت التوطئة لأول مرة كمبرهنة رقم 30 في الكتاب السابع من أصول إقليدس. وضمنيا هو جزء في أي كتاب يغطي نظرية الأعداد الأولية.

ظهر تعميم التوطئة للأعداد الصحيحة عام 1681 في كتاب جان برستيه Nouveaux Elémens de Mathématiques.

ظهرت التوطئة في أطروحة جاوس Disquisitiones Arithmeticae، كمبرهنة إقليدس رقم 14 (القسم 2)، والني استخدمها جاوس لإثبات تفرد ناتج تحليل عدد صحيح لعوامله الأولية (نظرية 16)، مقرا ببديهية هذا الأمر. ومن ثم يصل لتعميم الأعداد الأولية على الأعداد الصحيحة. لهذا السبب، يُشار أحيانًا لتعميم توطئة إقليدس باسم توطئة جاوس، ولكن يعتقد البعض أن هذا الاستخدام غير صحيح بسبب الخلط بينها وبين توطئة جاوس للبواقي التربيعية.

انظر أيضا

• خوارزمية أقليدس