توزيع كوشي

في نظرية الاحتمالات والإحصاء، توزيع كوشي توزيع احتمالي مستمر سمي باسم الرياضي الفرنسي أوغستين لوي كوشي ويعرف في الأوساط الفيزيائية باسم توزيع لورنتز.

الخواص

دالة الكثافة

دالة كثافته الخاصة بتوزيع كوشي تعطى بالشكل التالي:

$f(x;x_0,\gamma )=\frac{1}{\pi \gamma [1+{\left(\frac{x-x_0}{\gamma }\right)}^2]}=\frac{1}{\pi }\left[\frac{\gamma }{(x-x_0{)}^2+{\gamma }^2}\right],$

أما بالنسبة لتوزيع كوشي القياسي حيث $x_0=0$ و $\gamma =1$ فتكون دالة الكثافة كالتالي:

$f(x;0,1)=\frac{1}{\pi (1+x^2)}.$

أما في الفيزياء. فإن دالة لورنتز تأخذ الصيغة التالية:

$f(x;x_0,\gamma ,I)=\frac{I}{[1+{\left(\frac{x-x_0}{\gamma }\right)}^2]}=I\left[\frac{{\gamma }^2}{(x-x_0{)}^2+{\gamma }^2}\right],$

انظر معامل لورنتز.

دالة التوزيع

دالة التوزيع التراكمي لمتغير عشوائي يتبع توزيع كوشي تعطى بالشكل التالي:

$F(x;x_0,\gamma )=\frac{1}{\pi }\arctan \left(\frac{x-x_0}{\gamma }\right)+\frac{1}{2}$