تربيع غاوسي

مقارنة بين التربيع الغاوسي ثنائي النقاط والتربيع شبه المنحرفي. المنحنى الأزرق هو كثير الحدود معادلته $y(x)=7x^3-8x^2-3x+3$ ، التي تكاملها في قالب:تعبير رياضي يساوي قالب:تعبير رياضي. تُرجع قاعدة شبه المنحرف تكامل الخط البرتقالي المتقطع، مساوٍ لـ $y(-1)+y(1)=-10$. تُرجع قاعدة التربيع الغاوسية المكونة من نقطتين تكامل المنحنى الأسود المتقطع، مساوٍ لـ $y(-\sqrt{\frac{1}{3}})+y\left(\sqrt{\frac{1}{3}}\right)=\frac{2}{3}$. هذه النتيجة دقيقة، حيث أن المنطقة الخضراء لها نفس مساحة مجموع المناطق الحمراء.

في التحليل العددي، تعد قاعدة التربيع تقريبًا للتكامل المحدد للدالة، وعادة ما يتم ذكرها مجموعا مرجحا لقيم الدالة عند نقاط محددة داخل مجال التكامل. قاعدة التربيع الغاوسي المتعدد النقاط (n نقطة)، المسماة باسم كارل فريدريش غاوس، هي قاعدة تربيعية أُنشأت لتحقيق نتيجة دقيقة لكثيرة الحدود من الدرجة قالب:تعبير رياضي أو أقل من خلال اختيار مناسب للعقد قالب:Mvar والأوزان قالب:Mvar لـ i = 1،…، n. طوِّرت الصيغة الحديثة باستخدام كثيرات الحدود المتعامدة من قبل كارل غوستاف جاكوبي سنة 1826. يُؤخذ المجال الأكثر شيوعًا للتكامل لمثل هذه القاعدة على النحو قالب:تعبير رياضي، لذلك تنص القاعدة على أن:

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f(x)dx\approx \sum _{i=1}^n{w}_{i}f(x_i),$

والتي تكون مضبوطة بالنسبة لكثيرات الحدود من الدرجة قالب:تعبير رياضي أو أقل. تُعرف هذه القاعدة المضبوطة باسم قاعدة غاوس-ليجاندر التربيعية. ستكون قاعدة التربيع فقط تقريبًا دقيقًا للتكامل أعلاه إذا تم تقريب قالب:تعبير رياضي بشكل جيد بواسطة كثير الحدود من الدرجة قالب:تعبير رياضي أو أقل في قالب:تعبير رياضي.

انظر أيضا

• صيغة أويلر-ماكلورين