انحراف مجموع مقلوبات الأعداد الأولية

يزيد مجموع مقلوبات الأعداد الأولية بدون حد. المحور الأفقي بمقياس لوغاريتمي, يظهر بطء التباعد. المنحنى الأحمر هو دالة الحد الأدنى لهذا التباعد.

مجموع مقلوبات الأعداد الأولية هو متسلسلة متباعدة حيث أن:

$\sum _{p\text{ prime}}\frac{1}{p}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13}+\frac{1}{17}+\cdots =\mathrm{\infty }.$

كان ليونارد أويلر قد برهن على ذلك في 1737، كما أنها تعزيز لمبرهنة إقليدس في القرن الثالث الميلادي التي تنص على أن هناك عدد لا منته من الأعداد الأولية.

يوجد العديد من البراهين على نتيجة أويلر بما فيها الحد الأدنى للمجاميع الجزئية الذي ينص على:

$\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{p\text{ prime }}{p\le n}}\frac{1}{p}\ge \ln \ln (n+1)-\ln \frac{{\pi }^2}{6}$

لجميع الأعداد الطبيعية n.

صيغة مبسطة للبرهان أعلاه

$\begin{array}{cc}& \ln \left(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}\right)=\ln \left(\prod _p\frac{1}{1-p^{-1}}\right)=\sum _p\ln \left(\frac{p}{p-1}\right)=\sum _p\ln (1+\frac{1}{p-1})\end{array}$

وبما أنه

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots ,$

فإن e^x > 1 + x و (x > ln(1 + x. وهكذا :

$\sum _p\ln (1+\frac{1}{p-1})<\sum _p\frac{1}{p-1}$

ومنه فإن $\sum _p\frac{1}{p-1}$ متباعد. ولكن $\frac{1}{p_i-1}<\frac{1}{p_{i-1}}$

حيث p_i هو العدد الأولي من الرتبة i. وبالتالي $\sum _p\frac{1}{p}$ متسلسلة متباعدة.

انظر أيضا

• مبرهنة إقليدس،
• مبرهنة برون.