متباينة مينكوفسكي

قالب:يتيمة قالب:مقالة غير مراجعة في التحليل الرياضي، تنص متباينة مينكوفسكي( Minkowski inequality) على أن فضاءات L ^p هي متجهية معيارية . اترك $S$ ليكون مساحة قياس، و $1\le p<\mathrm{\infty }$ ثم $f$ و $g$ $L^p(S).$ ثم بعدها $f+g$ هو في $L^p(S),$ و لدينا متباينة المثلث $$\Vert f+g{\Vert }_p\le \Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p$$ مع التساوي ل $1<p<\mathrm{\infty }$ إذا و فقط إذا كان $f$ و $g$ تعتمد بشكل خطي إيجابي؛ أي، $f=\lambda g$ لبعض $\lambda \ge 0$ أو $g=0.$$$\Vert f{\Vert }_p={(\int |f{|}^{p}d\mu )}^{\frac{1}{p}}$$ و إذا$p<\mathrm{\infty },$ أو في حالة $p=\mathrm{\infty }$ بواسطة الحد الأقصى الأساسي $$\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}={\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}_{x\in S}|f(x)|.$$

متباينة مينوفسكي هي متباينة المثلث في $L^p(S).$ إنها حالة خاصة للحقيقة الأكثر عمومية $$\Vert f{\Vert }_p=\underset{\Vert g{\Vert }_q=1}{\sup }\int |fg|d\mu ,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$$ حيث أنه من الواضح جليا أن الجانب الأيمن يلبي المتباينة المثلثية.

كما هو الحال مع متباينة هولدر، تخصص متباينة مينكوفسكي للمتتاليات و المتجهات باستخدام مقياس العد : $$(\sum _{k=1}^n|x_k+y_k{|}^p{)}^{1/p}\le (\sum _{k=1}^n|x_k{|}^p{)}^{1/p}+(\sum _{k=1}^n|y_k{|}^p{)}^{1/p}$$ و ذلك لجميع الأعداد الحقيقية أو المركبة $x_1,\dots ,x_n,y_1,\dots ,y_n$ و عندما $n$ هي عددية $S$ أي عدد العناصر في $S$ .

المتباينة سميت على إسم عالم الرياضيات الألماني هيرمان مينكوفسكي.

الأدلة

أولاً، نثبت أن $f+g$ له حد $p$ - القاعدة إذا $f$ و $g$ كلاهما يفعل ذلك، و الذي يتبعه $$|f+g{|}^p\le 2^{p-1}(|f{|}^p+|g{|}^p).$$ في الواقع، نستخدم هنا عادة حقيقة أن $h(x)=|x{|}^p$ محدبا على ${ℝ}^{+}$ (ل $p>1$ ) و بالتالي، و وفقًا لتعريف التحدب، $${|\frac{1}{2}f+\frac{1}{2}g|}^p\le {|\frac{1}{2}|f|+\frac{1}{2}|g||}^p\le \frac{1}{2}|f{|}^p+\frac{1}{2}|g{|}^p.$$ مما يعني أن $$|f+g{|}^p\le \frac{1}{2}|2f{|}^p+\frac{1}{2}|2g{|}^p=2^{p-1}|f{|}^p+2^{p-1}|g{|}^p.$$

الآن، يمكننا أن نتحدث بشكل منطقي عن $\Vert f+g{\Vert }_p.$ إذا كان صفرًا، فإن متباينة مينكوفسكي صحيحة. لنفترض الآن أن $\Vert f+g{\Vert }_p$ ليس صفرًا. باستخدام متباينة المثلث ثم متباينة هولدر، نجد أن:$$\begin{array}{cc}\Vert f+g{\Vert }_p^p& =\int |f+g{|}^p\mathrm{d}\mu \\ & =\int |f+g|\cdot |f+g{|}^{p-1}\mathrm{d}\mu \\ & \le \int (|f|+|g|)|f+g{|}^{p-1}\mathrm{d}\mu \\ & =\int |f||f+g{|}^{p-1}\mathrm{d}\mu +\int |g||f+g{|}^{p-1}\mathrm{d}\mu \\ & \le ({(\int |f{|}^p\mathrm{d}\mu )}^{\frac{1}{p}}+{(\int |g{|}^p\mathrm{d}\mu )}^{\frac{1}{p}}){(\int |f+g{|}^{(p-1)\left(\frac{p}{p-1}\right)}\mathrm{d}\mu )}^{1-\frac{1}{p}}& & \text{ Hölder's inequality}\\ & =(\Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p)\frac{\Vert f+g{\Vert }_p^p}{\Vert f+g{\Vert }_p}\end{array}$$

للحصول على متباينة مينكوفسكي يجب ضرب كلا الطرفين في $$\frac{\Vert f+g{\Vert }_p}{\Vert f+g{\Vert }_p^p}.$$

متباينة مينكوفسكي المتكاملة

لفترض أن $(S_1,{\mu }_1)$ و $(S_2,{\mu }_2)$ هما مساحتان قياس منتهيتان 𝜎 و $F:S_1\times S_2\to ℝ$ قابلة للقياس. إذن ستكون متباينة مينكوفسكي التكاملية على الشكل: قالب:Sfn قالب:Sfn $${[\underset{S_2}{\int }{|\underset{S_1}{\int }F(x,y){\mu }_1(\mathrm{d}x)|}^p{\mu }_2(\mathrm{d}y)]}^{\frac{1}{p}}\le \underset{S_1}{\int }{(\underset{S_2}{\int }|F(x,y){|}^p{\mu }_2(\mathrm{d}y))}^{\frac{1}{p}}{\mu }_1(\mathrm{d}x),$$ مع تعديلات واضحة في الخالة$p=\mathrm{\infty }.$ لو $p>1,$ وكلا الجانبين محدودان، يتحقق التساوي فقط إذا $|F(x,y)|=\phi (x)\psi (y)$ ae لبعض الدوال القابلة للقياس غير السلبي $\phi$ و $\psi .$

إذا ${\mu }_1$ هو مقياس العد لمجموعة من نقطتين $S_1=\{1,2\},$ إذن فمتباينة مينكوفسكي التكاملية تعطي متباينة مينكوفسكي المعتادة كحالة خاصة: لوضع $f_i(y)=F(i,y)$ ل $i=1,2,$ التفاوت المتكامل سيعطي $$\Vert f_1+f_2{\Vert }_p={(\underset{S_2}{\int }{|\underset{S_1}{\int }F(x,y){\mu }_1(\mathrm{d}x)|}^p{\mu }_2(\mathrm{d}y))}^{\frac{1}{p}}\le \underset{S_1}{\int }{(\underset{S_2}{\int }|F(x,y){|}^p{\mu }_2(\mathrm{d}y))}^{\frac{1}{p}}{\mu }_1(\mathrm{d}x)=\Vert f_1{\Vert }_p+\Vert f_2{\Vert }_p.$$

إذا كانت الدالة قابلة للقياس$F:S_1\times S_2\to ℝ$ ليست سالبة إذن للجميع $1\le p\le q\le \mathrm{\infty },$ قالب:Sfn $${\Vert {\Vert F(\cdot ,s_2)\Vert }_{L^p(S_1,{\mu }_1)}\Vert }_{L^q(S_2,{\mu }_2)}\le {\Vert {\Vert F(s_1,\cdot )\Vert }_{L^q(S_2,{\mu }_2)}\Vert }_{L^p(S_1,{\mu }_1)}.$$

و قد تم تعميم هذا الترميز على $$\Vert f{\Vert }_{p,q}={\left(\underset{{ℝ}^m}{\int }{[\underset{{ℝ}^n}{\int }|f(x,y){|}^q\mathrm{d}y]}^{\frac{p}{q}}\mathrm{d}x\right)}^{\frac{1}{p}}$$ ل $f:{ℝ}^{m+n}\to E,$ مع ${ℒ}_{p,q}({ℝ}^{m+n},E)=\{f\in E^{{ℝ}^{m+n}}:\Vert f{\Vert }_{p,q}<\mathrm{\infty }\}.$ باستخدام هذا الترميز، يكشف التلاعب بالأسس أنه إذا $p<q,$ إذن $\Vert f{\Vert }_{q,p}\le \Vert f{\Vert }_{p,q}.$

عكس عدم المساواة

$p<1$ فالتباين العكسي ينطبق على: $$\Vert f+g{\Vert }_p\ge \Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p.$$

نحن بحاجة أيضًا إلى التقييد الذي يفرضه كل من $f$ و $g$ ليست سالبة كما يمكننا أن نلاحظ من المثال $f=-1,g=1$ و $p=1:$$\Vert f+g{\Vert }_1=0<2=\Vert f{\Vert }_1+\Vert g{\Vert }_1.$

تتبع المتباينة العكسية نفس الحجة التي تتبعها متباينة مينكوفسكي القياسية، لكنها تستخدم متباينة هولدر المعكوسة أيضًا في هذا النطاق

باستخدام متباينة مينكوفسكي العكسية، يمكننا إثبات أن متوسطات القوة مع p ≤ 1، مثل المتوسط التوافقي و الهندسي مقعرة.

التعميم على الوظائف الأخرى

تُعمم متباينة مينكوفسكي على وظائف أخرى $\varphi (x)$ ما وراء دالة القدرة $x^p.$ التفاوت المعمم له الشكل التالي$${\varphi }^{-1}\left(\sum _{i=1}^n\varphi (x_i+y_i)\right)\le {\varphi }^{-1}\left(\sum _{i=1}^n\varphi (x_i)\right)+{\varphi }^{-1}\left(\sum _{i=1}^n\varphi (y_i)\right).$$

بشروط كافية مختلفة على $\varphi$ تم العثور عليها بواسطة مولهولاند و آخرين. مثلا، بالنسبة لـ $x\ge 0$ مجموعة واحدة من الشروط الكافية من مولهولاند هي:

1. $\varphi (x)$ مستمرة و متزايدة بشكل صارم مع $\varphi (0)=0.$
2. $\varphi (x)$ هي دالة محدبة لـ $x.$
3. $\log \varphi (x)$ هي دالة محدبة لـ $\log (x).$