زاوية التوازي

زاوية التوازي في الهندسة الزائدية

في الهندسة الزائدية ، زاوية التوازيangle of parallelism) $\mathrm{\Pi }(a)$ هي الزاوية عند الرأس غير القائم الزاوية في مثلث زائدي قائم الزاوية أيضا و له ضلعان متوازيان مقاربان . تعتمد الزاوية على طول القطعةa بين الزاوية القائمة و رأس زاوية التوازي.

إذا كانت هناك نقطة ليست على خط مستقيم، فقم بإسقاط خط عمودي على الخط من هذه النقطة . ليكن a هو طول هذا المقطع العمودي، و $\mathrm{\Pi }(a)$ تكون أصغر زاوية بحيث لا يتقاطع الخط المرسوم عبر النقطة مع الخط المعطى. نظرًا لأن الجانبين متوازيان بشكل مقارب،

$\underset{a\to 0}{\lim }\mathrm{\Pi }(a)=\frac{1}{2}\pi \text{ and }\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{\Pi }(a)=0.$

هناك خمسة تعبيرات متكافئة تربط $\mathrm{\Pi }(a)$ و :

$\sin \mathrm{\Pi }(a)=\mathrm{sech}a=\frac{1}{\cosh a}=\frac{2}{e^a+e^{-a}}$

$\cos \mathrm{\Pi }(a)=\tanh a=\frac{e^a-e^{-a}}{e^a+e^{-a}}$

$\tan \mathrm{\Pi }(a)=\mathrm{csch}a=\frac{1}{\sinh a}=\frac{2}{e^a-e^{-a}},$

$\tan (\frac{1}{2}\mathrm{\Pi }(a))=e^{-a},$

$\mathrm{\Pi }(a)=\frac{1}{2}\pi -\mathrm{gd}(a),$

حيث sinh و cosh وtanh و sech وcsch هي دوال زائدية وgd هي دالة غودرمان .

البناء

اكتشف يانوس بولياي إنشاءً يعطي الموازي المقارب s لخط r يمر عبر نقطة A وليس على r . قم بإسقاط خط عمودي من A إلى B على r . اختر أي نقطة C على r مختلفة عن B. أنشئ عموديًا t على r عند C. أسقط خط عموديا من A إلى D على t . عندئذٍ يكون الطول DA أطول من CB ، ولكنه أقصر من CA. أرسم دائرة حول C بنصف قطر يساوي DA . سيتقاطع مع القطعة المستقيمة AB عند النقطة E. عندها تكون الزاوية BEC مستقلة عن الطول BC ، و تعتمد فقط على AB ؛ و هي زاوية التوازي. قم بإنشاء s خلال A بزاوية BEC من AB .

$\sin BEC=\frac{\sinh BC}{\sinh CE}=\frac{\sinh BC}{\sinh DA}=\frac{\sinh BC}{\sin ACD\sinh CA}=\frac{\sinh BC}{\cos ACB\sinh CA}=\frac{\sinh BC\tanh CA}{\tanh CB\sinh CA}=\frac{\cosh BC}{\cosh CA}=\frac{\cosh BC}{\cosh CB\cosh AB}=\frac{1}{\cosh AB}.$

راجع علم مثلثاث المثلثات القائمة لمعرفة الصيغ المستخدمة هنا.

التاريخ

تم تطوير زاوية التوازي في عام 1840 في المنشور الألماني "Geometrische Unter suchungen zur Theory der Parallellinien" بقلم نيكولاي لوباتشيفسكي .

أصبح هذا المنشور معروفًا على نطاق واسع باللغة الإنجليزية بعد أن قام الأستاذ من تكساس جي بي هالستيد بترجمة الكتاب في عام 1891. ( أبحاث هندسية حول نظرية المتوازيات )

تتناول المقاطع التالية هذا المفهوم المحوري في الهندسة الزائدية:

الزاوية HAD بين HA الموازي وAD العمودي تسمى زاوية التوازي (زاوية التوازي) والتي سنشير إليها هنا بـ Π(p) لـ AD = p . قالب:صفحات مرجع

التوضيح

زاوية التوازي، Φ ، يمكن صياغتها على النحو التالي: (أ) الزاوية بين المحور x والخط الممتد من x ، مركز Q ، إلى y ، نقطة تقاطع Q مع المحور y، و(ب) الزاوية من مماس Q عند y إلى المحور y.



</br> هذا الرسم البياني، مع المثلث المثالي الأصفر، يشبه الرسم البياني الموجود في كتاب سموجورزيفسكي.

في نموذج بوانكاريه لنصف المستوى للمستوى الزائدي (انظر الحركات الزائدية )، يمكننا إقامة علاقة Φ مع a باستخدام الهندسة الإقليدية . ليكن Q هو نصف الدائرة التي يبلغ قطرها على المحور السيني والتي تمر عبر النقطتين (1,0) و(0, y )، حيث y > 1. نظرًا لأن Q مماس لنصف الدائرة الوحدوية التي يقع مركزها في الأصل، فإن نصفي الدائرتين يمثلان خطوطًا زائدية متوازية . يتقاطع المحور y مع نصفي الدائرة، مما يشكل زاوية قائمة مع نصف الدائرة الوحدوية و زاوية متغيرة Φ مع Q. الزاوية في مركز Q التي يحيط بها نصف القطر إلى (0، y ) هي أيضًا Φ لأن الزاويتين لهما جوانب متعامدة، من الجانب الأيسر إلى الجانب الأيسر، و من الجانب الأيمن إلى الجانب الأيمن كذلك. نصف الدائرة Q يقع مركزها عند ( x ، 0)، x < 0، لذا نصف قطرها هو 1 − x . و بالتالي، فإن مربع نصف قطر Q هو

$x^2+y^2=(1-x{)}^2,$

لذلك

$x=\frac{1}{2}(1-y^2).$

مقياس نموذج نصف المستوى لبوانكاريه للهندسة الزائدية يحدد المسافة على الشعاع {(0، ي ) : y > 0 } بمقياس لوغاريتمي. دع المسافة الزائدية من (0، ي ) إلى (0، 1) كن ، لذا: log y − log 1 = a، لذا y = e ^a حيث e هو أساس اللوغاريتم الطبيعي . و من ثم يمكن استنتاج العلاقة بين Φ و a من المثلث {( x , 0)، (0, 0)، (0, y )}، على سبيل المثال:

$\tan \varphi =\frac{y}{-x}=\frac{2y}{y^2-1}=\frac{2e^a}{e^{2a}-1}=\frac{1}{\sinh a}.$

مراجع

• مارفن جيه جرينبيرج (1974) الهندسة الإقليدية وغير الإقليدية ، ص. 211 – 3، شركة دبليو إتش فريمان .
• روبن هارتشورن (1997) رفيق إقليدس ص. 319, 325، الجمعية الرياضية الأمريكية ،قالب:ردمك .
• جيريمي جراي (1989) أفكار الفضاء: الإقليدية وغير الإقليدية والنسبية ، الطبعة الثانية، مطبعة كلارندون ، أكسفورد (انظر الصفحات من 113 إلى 118).
• بيلا كيريكارتو (1966) Les Fondements de la Géométry ، Tome Deux، §97.6 زاوية التوازي للهندسة الزائدية، ص 411،2، Akademiai Kiado، بودابست.