صيغ ظل نصف الزاوية

في علم المثلثات، تربط صيغ ظل نصف الزاوية ظل نصف الزاوية بالدوال المثلثية لكامل الزاوية. ظل نصف الزاوية هو الإسقاط المجسامي للدائرة على المستقيم. ومن هذه الصيغ:$$\begin{array}{cc}\tan \frac{1}{2}(\eta \pm \theta )& =\frac{\tan \frac{1}{2}\eta \pm \tan \frac{1}{2}\theta }{1\mp \tan \frac{1}{2}\eta \tan \frac{1}{2}\theta }=\frac{\sin \eta \pm \sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }=-\frac{\cos \eta -\cos \theta }{\sin \eta \mp \sin \theta },\\ \tan \frac{1}{2}\theta & =\frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }=\frac{\tan \theta }{\sec \theta +1}=\frac{1}{\csc \theta +\cot \theta },& & (\eta =0)\\ \tan \frac{1}{2}\theta & =\frac{1-\cos \theta }{\sin \theta }=\frac{\sec \theta -1}{\tan \theta }=\csc \theta -\cot \theta ,& & (\eta =0)\\ \tan \frac{1}{2}(\theta \pm \frac{1}{2}\pi )& =\frac{1\pm \sin \theta }{\cos \theta }=\sec \theta \pm \tan \theta =\frac{\csc \theta \pm 1}{\cot \theta },& & (\eta =\frac{1}{2}\pi )\\ \tan \frac{1}{2}(\theta \pm \frac{1}{2}\pi )& =\frac{\cos \theta }{1\mp \sin \theta }=\frac{1}{\sec \theta \mp \tan \theta }=\frac{\cot \theta }{\csc \theta \mp 1},& & (\eta =\frac{1}{2}\pi )\\ \frac{1-\tan \frac{1}{2}\theta }{1+\tan \frac{1}{2}\theta }& =\pm \sqrt{\frac{1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}\\ \tan \frac{1}{2}\theta & =\pm \sqrt{\frac{1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}\\ \end{array}$$من هذه يمكن اشتقاق المتطابقات التي تعبر عن الجيب وجيب التمام والظل دوالًا لظلال نصف الزاوية:$$\begin{array}{cc}\sin \alpha & =\frac{2\tan \frac{1}{2}\alpha }{1+{\tan }^2\frac{1}{2}\alpha }\\ \cos \alpha & =\frac{1-{\tan }^2\frac{1}{2}\alpha }{1+{\tan }^2\frac{1}{2}\alpha }\\ \tan \alpha & =\frac{2\tan \frac{1}{2}\alpha }{1-{\tan }^2\frac{1}{2}\alpha }\end{array}$$

البراهين

البراهين الجبرية

باستخدام صيغ الزاوية المزدوجة ومتطابقة فيثاغورس $1+{\tan }^2\alpha =1/{\cos }^2\alpha$، نحصل على:$$\sin \alpha =2\sin \frac{1}{2}\alpha \cos \frac{1}{2}\alpha =\frac{2\sin \frac{1}{2}\alpha \cos \frac{1}{2}\alpha /{\cos }^2\frac{1}{2}\alpha }{1+{\tan }^2\frac{1}{2}\alpha }=\frac{2\tan \frac{1}{2}\alpha }{1+{\tan }^2\frac{1}{2}\alpha },\text{and}$$$$\cos \alpha ={\cos }^2\frac{1}{2}\alpha -{\sin }^2\frac{1}{2}\alpha =\frac{({\cos }^2\frac{1}{2}\alpha -{\sin }^2\frac{1}{2}\alpha )/{\cos }^2\frac{1}{2}\alpha }{1+{\tan }^2\frac{1}{2}\alpha }=\frac{1-{\tan }^2\frac{1}{2}\alpha }{1+{\tan }^2\frac{1}{2}\alpha },\text{and}$$

بأخذ حاصل قسمة صيغ الجيب وجيب التمام:$$\tan \alpha =\frac{2\tan \frac{1}{2}\alpha }{1-{\tan }^2\frac{1}{2}\alpha }$$بالجمع بين متطابقة فيثاغورس وصيغة ضعف الزاوية لجيب التمام: $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1,$

بإعادة ترتيب، وأخذ الجذور التربيعية:$$|\sin \alpha |=\sqrt{\frac{1-\cos 2\alpha }{2}}$$و$$|\cos \alpha |=\sqrt{\frac{1+\cos 2\alpha }{2}}$$التي تعطي عند القسمة:$$|\tan \alpha |=\frac{\sqrt{1-\cos 2\alpha }}{\sqrt{1+\cos 2\alpha }}=\frac{\sqrt{1-\cos 2\alpha }\sqrt{1+\cos 2\alpha }}{1+\cos 2\alpha }=\frac{\sqrt{1-{\cos }^{2}2\alpha }}{1+\cos 2\alpha }=\frac{|\sin 2\alpha |}{1+\cos 2\alpha }.$$بدلاً عن ذلك:$$|\tan \alpha |=\frac{\sqrt{1-\cos 2\alpha }}{\sqrt{1+\cos 2\alpha }}=\frac{1-\cos 2\alpha }{\sqrt{1+\cos 2\alpha }\sqrt{1-\cos 2\alpha }}=\frac{1-\cos 2\alpha }{\sqrt{1-{\cos }^{2}2\alpha }}=\frac{1-\cos 2\alpha }{|\sin 2\alpha |}.$$اتضح أن إشارات القيمة المطلقة في هاتين الصيغتين الأخيرتين قد تُسْقَط، بغض النظر عن الربع قالب:Mvar الموجود فيه. مع أو بدون رموز القيمة المطلقة، لا تنطبق هذه الصيغ عندما يكون البسط والمقام على الطرف الأيمن صفرًا.

أيضًا، باستخدام صيغ جمع وطرح الزوايا لكل من جيب التمام وجيب التمام، نحصل على:$$\begin{array}{cc}\cos (a+b)& =\cos a\cos b-\sin a\sin b\\ \cos (a-b)& =\cos a\cos b+\sin a\sin b\\ \sin (a+b)& =\sin a\cos b+\cos a\sin b\\ \sin (a-b)& =\sin a\cos b-\cos a\sin b\end{array}$$بجمع الصيغتان الأولى والثانية وجمع الثالثة والرابعة الموضحة أعلاه:$$\begin{array}{cc}& \sin (a+b)+\sin (a-b)\\ & =\sin a\cos b+\cos a\sin b+\sin a\cos b-\cos a\sin b\\ & =2\sin a\cos b\\ & \cos (a+b)+\cos (a-b)\\ & =\cos a\cos b-\sin a\sin b+\cos a\cos b+\sin a\sin b\\ & =2\cos a\cos b\end{array}$$بوضع $a=\frac{1}{2}(p+q)$ و $b=\frac{1}{2}(p-q)$ وتعويض به:$$\begin{array}{cc}& \sin p+\sin q\\ & =\sin (\frac{1}{2}(p+q)+\frac{1}{2}(p-q))+\sin (\frac{1}{2}(p+q)-\frac{1}{2}(p-q))\\ & =2\sin \frac{1}{2}(p+q)\cos \frac{1}{2}(p-q)\\ & \cos p+\cos q\\ & =\cos (\frac{1}{2}(p+q)+\frac{1}{2}(p-q))+\cos (\frac{1}{2}(p+q)-\frac{1}{2}(p-q))\\ & =2\cos \frac{1}{2}(p+q)\cos \frac{1}{2}(p-q)\end{array}$$بقسمة مجموع الجيبين على مجموع جيبي التمام، نحصل على:$$\frac{\sin p+\sin q}{\cos p+\cos q}=\frac{2\sin \frac{1}{2}(p+q)\cos \frac{1}{2}(p-q)}{2\cos \frac{1}{2}(p+q)\cos \frac{1}{2}(p-q)}=\tan \frac{1}{2}(p+q)$$

البراهين الهندسية

أضلاع هذا المعين لها طول يساوي 1. الزاوية المحصورة بين المستقيم الأفقي والقطر الموضح تساوي قالب:تعبير رياضي. هذه طريقة هندسية لإثبات صيغة ظل نصف الزاوية الخاصة التي تنص على أن قالب:تعبير رياضي . الصيغتان قالب:تعبير رياضي و قالب:تعبير رياضي هي نسب المسافات الفعلية إلى طول القطر.

بتطبيق الصيغ المشتقة أعلاه على المعين الموجود على اليسار، يتضح ذلك بسهولة أن:$$\tan \frac{1}{2}(a+b)=\frac{\sin \frac{1}{2}(a+b)}{\cos \frac{1}{2}(a+b)}=\frac{\sin a+\sin b}{\cos a+\cos b}$$وفي دائرة الوحدة، تطبيق ما سبق يوضح ذلك أن $t=\tan \frac{1}{2}\phi$. بتطبيق خاصية تشابه المثلثات، نلاحظ أن:$$\frac{t}{\sin \phi }=\frac{1}{1+\cos \phi }$$يترتب على ذلك أن:$$t=\frac{\sin \phi }{1+\cos \phi }=\frac{\sin \phi (1-\cos \phi )}{(1+\cos \phi )(1-\cos \phi )}=\frac{1-\cos \phi }{\sin \phi }$$

تعويض ظل نصف الزاوية في حساب التكامل

برهان هندسي على تعويض فايرشتراس

في التطبيقات المختلفة لحساب المثلثات، من المفيد إعادة كتابة الدوال المثلثية (مثل الجيب وجيب التمام) بدلالة الدوال الكسرية لمتغير جديد $t$. تُعْرَف هذه المتطابقات جماعيًّا باسم صيغ ظل نصف الزاوية بسبب تعريف $t$ . يمكن أن تكون هذه المتطابقات مفيدة في حساب التفاضل والتكامل لتحويل الدوال الكسرية بدلالة الجيب وجيب التمام إلى دوال قالب:تعبير رياضي من أجل إيجاد مشتقاتها العكسية.

هندسيًا، تُنْشَأ على النحو التالي: من أجل أي نقطة قالب:تعبير رياضي على دائرة الوحدة، نرسم المستقيم الذي يمر عبرها وعبر النقطة قالب:تعبير رياضي ويقطع محور قالب:تعبير رياضي عند نقطة ما قالب:تعبير رياضي . يمكن إظهار باستخدام هندسة بسيطة أن قالب:تعبير رياضي. معادلة المستقيم المرسوم هي قالب:تعبير رياضي . معادلة تقاطع المستقيم والدائرة هي معادلة تربيعية تتضمن قالب:تعبير رياضي. حلا هذه المعادلة هما قالب:تعبير رياضي و قالب:تعبير رياضي. هذا يسمح لنا بكتابة الأخير دوالًا كسرية لـ قالب:تعبير رياضي (الحلول موضحة أدناه).

يمثل الوسيط قالب:تعبير رياضي الإسقاط المجسامي للنقطة قالب:تعبير رياضي على محور قالب:تعبير رياضي مع مركز الإسقاط عند قالب:تعبير رياضي. وبالتالي، فإن صيغ ظل نصف الزاوية تعطي تحويلات بين الإحداثيات المجسامية قالب:تعبير رياضي على دائرة الوحدة والإحداثيات الزاوية القياسية قالب:تعبير رياضي.

عندئذ لدينا:$$\begin{array}{cccc}& \sin \phi =\frac{2t}{1+t^2},& & \cos \phi =\frac{1-t^2}{1+t^2},\\ & \tan \phi =\frac{2t}{1-t^2}& & \cot \phi =\frac{1-t^2}{2t},\\ & \sec \phi =\frac{1+t^2}{1-t^2},& & \csc \phi =\frac{1+t^2}{2t},\end{array}$$و$$e^{i\phi }=\frac{1+it}{1-it},e^{-i\phi }=\frac{1-it}{1+it}.$$بإزالة φ بين ما ورد أعلاه مباشرة والتعريف الأولي لـ $t$، نصل إلى العلاقة المفيدة التالية لقوس الظل بدلالة اللوغاريتم الطبيعي:$$2\arctan t=-i\ln \frac{1+it}{1-it}.$$في حساب التفاضل والتكامل، يُستخدم تعويض فايرشتراس لإيجاد المشتقات العكسية للدوال الكسرية لـ قالب:تعبير رياضي و قالب:تعبير رياضي. بعد وضع:$$t=\tan \frac{1}{2}\phi$$وهذا يقتضي:$$\phi =2\arctan (t)+2\pi n$$من أجل بعض الأعداد الصحيحة قالب:تعبير رياضي، وبالتالي:$$d\phi =\frac{2dt}{1+t^2}$$

انظر أيضا

• قائمة المتطابقات المثلثية

الروابط الخارجية

• ظل الزاوية النصفية في Planetmath