قانون الاحتمالات الكلية

توضيح بصري لنظرية الاحتمالية الكلية

في نظرية الاحتمالات ، قانون (أو صيغة ) الاحتمال الكلي هو قاعدة أساسية تربط الاحتمالات الهامشية بالاحتمالات الشرطية . إنه يعبر عن الاحتمال الكلي لنتيجة يمكن تحقيقها من خلال عدة أحداث متميزة ، ومن هنا جاء الاسم.

القانون

قانون الاحتمال الكلي هو نظرية تنص ، في حالتها المنفصلة(المتقطعة) ، إذا $\left\{B_n:n=1,2,3,\dots \right\}$ هو قسم محدود أو لانهائي من مساحة عينة (بمعنى آخر ، مجموعة من الأحداث المنفصلة الزوجية التي يكون اتحادها هو مساحة العينة بأكملها) وكل حدث $B_n$ قابل للقياس ، إذن لأي حدث $A$ من نفس مجال الاحتمال :

$P(A)=\sum _{n}P(A\cap B_n)$

أو ، بدلاً من ذلك ،

$P(A)=\sum _{n}P(A\mid B_n)P(B_n),$

حيث ، لأي $n$ لأي منهم $P(B_n)=0$ تم حذف هذه المصطلحات ببساطة من الجمع ، لأن $P(A\mid B_n)$ محدود.

يمكن تفسير التجميع على أنه متوسط موزون ، وبالتالي الاحتمال الهامشي ، $P(A)$ ، تسمى أحيانًا "الاحتمال المتوسط" ؛ يُستخدم مصطلح "الاحتمال الإجمالي" أحيانًا في الكتابات الأقل رسمية.

يمكن أيضًا تحديد قانون الاحتمال الكلي للاحتمالات الشرطية:

$P(A|C)=\frac{P(A,C)}{P(C)}=\frac{\sum _{n}P(A,B_n,C)}{P(C)}=\frac{\sum _{n}P(A\mid B_n,C)P(B_n\mid C)P(C)}{P(C)}=\sum _{n}P(A\mid B_n,C)P(B_n\mid C)$

أخذ $B_n$ على النحو الوارد أعلاه ، وافتراض $C$ هو حدث مستقل عن أي من $B_n$ :

$P(A\mid C)=\sum _{n}P(A\mid C\cap B_n)P(B_n)$

حالة مستمرة

يمتد قانون الاحتمال الكلي إلى حالة التكييف على الأحداث الناتجة عن المتغيرات العشوائية المستمرة. يترك $(\mathrm{\Omega },ℱ,P)$ يكون مجال احتمالي . افترض $X$ هو متغير عشوائي مع دالة التوزيع $F_X$ ، و $A$ حدث يوم $(\mathrm{\Omega },ℱ,P)$ . ثم ينص قانون الاحتمال الكلي

$P(A)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}P(A|X=x)d{F}_X(x).$

إذا $X$ يعترف بدالة الكثافة $f_X$ ، ثم النتيجة

$P(A)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}P(A|X=x)f_X(x)dx.$

علاوة على ذلك ، بالنسبة للحالة المحددة حيث $A=\{Y\in B\}$ ، حيث $B$ هي مجموعة Borel ، ثم هذا ينتج

$P(Y\in B)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}P(Y\in B|X=x)f_X(x)dx.$

مثال

لنفترض أن هناك مصنعين يزودان السوق بمصابيح كهربائية . تعمل مصابيح Factory X لأكثر من 5000 ساعة في 99٪ من الحالات ، بينما تعمل مصابيح المصنع Y لأكثر من 5000 ساعة في 95٪ من الحالات. من المعروف أن المصنع X يوفر 60٪ من إجمالي المصابيح المتاحة و Y يوفر 40٪ من إجمالي المصابيح المتاحة. ما هي احتمالية أن يعمل المصباح الذي تم شراؤه لمدة تزيد عن 5000 ساعة؟

بتطبيق قانون الاحتمال الكلي ، نحصل على:

$\begin{array}{cc}P(A)& =P(A\mid B_X)\cdot P(B_X)+P(A\mid B_Y)\cdot P(B_Y)\\ & =\frac{99}{100}\cdot \frac{6}{10}+\frac{95}{100}\cdot \frac{4}{10}=\frac{594+380}{1000}=\frac{974}{1000}\end{array}$

حيث أن:

• $P(B_X)=\frac{6}{10}$ هو احتمال أن يكون المصباح الذي تم شراؤه قد تم تصنيعه بواسطة المصنع X ؛
• $P(B_Y)=\frac{4}{10}$ هو احتمال أن يكون المصباح الذي تم شراؤه قد تم تصنيعه بواسطة المصنع Y ؛
• $P(A\mid B_X)=\frac{99}{100}$ هو احتمال أن يعمل المصباح المصنوع بواسطة X لأكثر من 5000 ساعة ؛
• $P(A\mid B_Y)=\frac{95}{100}$ هو احتمال أن يعمل المصباح المصنوع بواسطة Y لأكثر من 5000 ساعة.

وبالتالي فإن كل مصباح كهربائي يتم شراؤه لديه فرصة 97.4٪ للعمل لأكثر من 5000 ساعة.

أنظر أيضا

• قانون القيم المتوقعة الكلية