دالة غودرمانية

تربط الدالة الغودرمانية أو دالة غودرمان، التي سميت على اسم كريستوف غودرمان (1798–1852)، الدوال المثلثية بالدوال الزائدية دون استخدام الأعداد المركبة.

تعرّف بـ :

$\mathrm{gd}x=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\mathrm{sech}t\mathrm{d}t.$

الخصائص

التعريفات البديلة

$\begin{array}{cc}\mathrm{gd}x& =\arcsin (\tanh x)=\arctan (\sinh x)=\mathrm{arccsc}(\coth x)\\ & =\mathrm{sgn}(x)\arccos (\mathrm{sech}x)=\mathrm{sgn}(x)\mathrm{arcsec}(\cosh x)\\ & =2\arctan (\tanh \frac{x}{2})\\ & =2\arctan \left(e^x\right)-\frac{\pi }{2}=-i\ln (\mathrm{sech}x+i\tanh x)\\ & =-\frac{i}{2}\ln \left(\frac{1+i\sinh x}{1-i\sinh x}\right)=-i\ln \left(\frac{1+i\sinh x}{\cosh x}\right)\\ & =-i\ln \left(\frac{1+i\tanh \frac{x}{2}}{1-i\tanh \frac{x}{2}}\right)=-i\ln (i\tanh (\frac{x}{2}-\frac{i\pi }{4})).\end{array}$

بعض المتطابقات

$\begin{array}{cccc}\sin (\mathrm{gd}x)& =\tanh x;& \csc (\mathrm{gd}x)& =\coth x;\\ \cos (\mathrm{gd}x)& =\mathrm{sech}x;& \sec (\mathrm{gd}x)& =\cosh x;\\ \tan (\mathrm{gd}x)& =\sinh x;& \cot (\mathrm{gd}x)& =\mathrm{csch}x;\\ \tan \left(\frac{\mathrm{gd}x}{2}\right)& =\tanh \frac{x}{2}.\end{array}$

الدالة العكسية

رسم بياني لمعكوس دالة غودرمانية

$\begin{array}{cc}{\mathrm{gd}}^{-1}x& =\underset{0}{\overset{x}{\int }}\sec t\mathrm{d}t\text{ for }-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2}\\ & =\ln \left|\frac{1+\sin x}{\cos x}\right|=\frac{1}{2}\ln \left|\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right|=\ln \left|\frac{1+\tan \frac{x}{2}}{1-\tan \frac{x}{2}}\right|\\ & =\ln |\tan x+\sec x|=\ln |\tan (\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4})|\\ & =\mathrm{artanh}(\sin x)=\mathrm{arsinh}(\tan x)\\ & =2\mathrm{artanh}(\tan \frac{x}{2})\\ & =\mathrm{arcoth}(\csc x)=\mathrm{arcsch}(\cot x)\\ & =\mathrm{sgn}(x)\mathrm{arcosh}(\sec x)=\mathrm{sgn}(x)\mathrm{arsech}(\cos x)\\ & =-i\mathrm{gd}(ix).\end{array}$

بعض المتطابقات

$\begin{array}{cccc}\sinh \left({\mathrm{gd}}^{-1}x\right)& =\tan x;& \mathrm{csch}\left({\mathrm{gd}}^{-1}x\right)& =\cot x;\\ \cosh \left({\mathrm{gd}}^{-1}x\right)& =\sec x;& \mathrm{sech}\left({\mathrm{gd}}^{-1}x\right)& =\cos x;\\ \tanh \left({\mathrm{gd}}^{-1}x\right)& =\sin x;& \coth \left({\mathrm{gd}}^{-1}x\right)& =\csc x.\end{array}$

المشتقات

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{gd}x=\mathrm{sech}x;\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\mathrm{gd}}^{-1}x=\sec x.$

أنظر أيضا

• دوال زائدية عكسية
• إسقاط مركاتور
• منحنى متساوي المماسات
• قائمة المتطابقات المثلثية