دالة المؤشر لكارميكائيل

دالة كارميكائيل قالب:Mvar : قالب:Math عندما يتوفر قالب:Math (مقارنةً مع دالة المؤشر لأويلر قالب:Mvar)

في نظرية الأعداد، فرعا من الرياضيات، دالة المؤشر لكارميكائيل قالب:إنج، أو اختصارا، دالة كارميكائيل هي دالة قالب:Math، مدخلها عدد طبيعي قالب:Mvar وقيمتها هي أيضا عدد صحيح طبيعي، وحيث هذه القيمة هي أصغر عدد صحيح طبيعي قالب:Mvar يحقق المعادلة التالية:

قالب:تعبير رياضي مكبر

لكل عدد صحيح a محصور بين الواحد و قالب:Mvar، أوليٍ مع قالب:Mvar.

سميت هذه الدالة هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات الأمريكي روبرت دانييل كارميكائيل.

يطرح الجدول التالي القيم الستة والثلاثين لدالتي المؤشر لأويلر من جهة وكارميكائيل من جهة ثانية

قالب:Mvar	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36
قالب:Math	1	1	2	2	4	2	6	2	6	4	10	2	12	6	4	4	16	6	18	4	6	10	22	2	20	12	18	6	28	4	30	8	10	16	12	6
قالب:Math	1	1	2	2	4	2	6	4	6	4	10	4	12	6	8	8	16	6	18	8	12	10	22	8	20	12	18	12	28	8	30	16	20	16	24	12

أمثلة عددية

• قيمة دالة كارميكائيل مطبقةً على العدد 5 هي 4، أي أن قالب:Math، لأنه بالنسبة لكل عدد محصور بين الواحد والخمسة وفي نفس الوقت أولي مع الخمسة، يتوفر ما يلي:
  • $1<a<5$
  • $a\in \{1,2,3,4\}$
  • $a^m\equiv 1(\text{mod }5)$
  • $m=4$
  • قالب:Math
  • قالب:Math
  • قالب:Math
  • قالب:Math

خصائص دالة المؤشر لكارميكائيل

أصغر قيمة

افترض أن قالب:Math بالنسبة لجميع الأعداد قالب:Mvar الأولية مع قالب:Mvar. إذن قالب:Math.

البرهان: إذا كان قالب:Math حيث قالب:Math, إذن

$a^r=1^k\cdot a^r\equiv {\left(a^{\lambda (n)}\right)}^k\cdot a^r=a^{k\lambda (n)+r}=a^m\equiv 1(\mathrm{mod}n)$

بالنسبة لجميع الأعداد قالب:Mvar الأولية مع قالب:Mvar. يأتي من ذلك قالب:Math, بما أن قالب:Math وأن قالب:Math هو العدد الدنوي الذي يحقق هذه الخاصية.

الاستعمال في التعمية

دالة المؤشر لكارميكائيل هي مهمة في علم التعمية. سبب ذلك كونها مستعملة في خوارزمية آر إس إيه.

انظر أيضا

• عدد كارميكائيل