ممتد متري

قالب:مقالة غير مراجعة في المجال الرياضي للهندسة التفاضلية إحدى التعريفات تنص أن الممتد المتري أو الموتر المتري: هو نوع من الاقترانات التي تأخذ المُدخل كزوج من المتجهات المماسية قالب:Mvar وقالب:Mvar عند نقطة سطح أو متشعب قابل للتفاضل ذو أبعاد عالية منتجًا عددًا حقيقيًا قياسيًا قالب:تعبير رياضيبطريقةٍ تُعممُ العديدَ من الخصائص المألوفة في الضرب النقطي للمتجهات في الفضاء الإقليدي، كما أن الموترات المترية تمتلك نفس هدف الضرب النقطي حيث تُستخدم لتحديد طول المتجهات والزاوية بينهما، ومن خلال التكامل فإن الموتر المتري يسمح بتحديد وحساب طول المنحنيات في المتشعب.

يُطلق على الموتر المتري مُعرِف موجب إذا ربط قيمة موجبة قالب:تعبير رياضيلكل متجه غير صفري قالب:Mvar، فالمتشعب المزود بموتر متري مُعرِف موجب يُعرف باسم متشعب ريماني، وفي المتشعب الريماني يسمى المنحنى الذي يربط بين نقطتين لهما أصغر طول محليًا بالمنحنى الجيوديسي، وطوله هو المسافة التي يحتاجها مار ما في المتشعب قطعها للانتقال من نقطة إلى أخرى، وبالتزود بمفهوم الطول فإن المتشعب الريماني هو فضاء متري، مما يعني أنه يملك دالة مسافة قالب:تعبير رياضيالتي تكون قيمتها عند زوج من النقاط قالب:Mvar وقالب:Mvar هي المسافة من قالب:Mvar إلى قالب:Mvar وعلى العكس من ذلك فإن الممتد المتري نفسه هو مشتق من دالة المسافة مأخوذًا بطريقةٍ مناسبة، وبالتالي فإن الموتر المتري يعطي مسافة متناهية الصغر في المُتَشعب.

في حين أن فكرة الموتر المتري كانت معروفة إلى حدٍ ما في أوائل القرن التاسع عشر لعلماء الرياضيات أمثال كارل غاوس، إلا أنها لم تكن كذلك حتى أوائل القرن العشرين القرن الذي تم فهم خصائصه كموتّر من قِبل غريغوريو ريتشي-كورباسترو وتوليو ليفي-تشيفيتا على وجه الخصوص اللذان قاما أولاً بتدوين مفهوم الموتر، فالموتر المتري هو مثال على حقل الموتر.

تأخذ مُرَكِّبات الموتر المتري في القاعدة الإحداثية شكل مصفوفة متماثلة تتحول مُدخلاتها بشكل متغاير بفعل تغييرات نظام الإحداثيات، وبالتالي فإن الموتر المتري هو موتر متماثل متغاير، أما من وجهة نظر الإحداثيات المستقلة يُعرَّف كحقل موتر متري ليكون نموذج خطي متماثل غير منحل في كل فضاء مماسي متغير بنعومة (أي قابلة للاشتقاق) من نقطة إلى أخرى.

مقدمة

اعتبر كارل فريدريش غاوس عام 1827 في كتابه أو ما عُرف بتحقيقاته نحو الأسطح المنحنية أنها سطح حدودي، ومع الإحداثيات الديكارتية: قالب:Mvar وقالب:Mvar وقالب:Mvar للنقاط على السطح اعتمادًا على متغيرين مساعدين هما: قالب:Mvar وقالب:Mvar، وبالتالي فإن السطح الحدودي في مصطلحات اليوم هو دالة ذات قيمة متجهة:

$\overrightarrow{r}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$

بالاعتماد على زوج مرتب من المتغيرات الحقيقية قالب:تعبير رياضيومُعرفة على مجموعة مفتوحة قالب:Mvar في مستوى-قالب:Mvar، حيث كان أحد الأهداف الرئيسية لتحقيقات غاوس هو استنتاج خصائص ذلك السطح الذي يمكن وصفه باقتران يبقى دون تغيير إذا خضع السطح لتحول في الفضاء كثني السطح دون شده، أو أن يحدث تغيير في الشكل الحدودي المحدد لنفس السطح الهندسي.

إحدى هذه الكميات الثابتة الطبيعية هي طول المنحنى المرسوم على طول السطح، والأخرى هي الزاوية بين زوج المنحنيات المرسومة على طول السطح وتلتقيان في نقطة واحدة، أما الكمية الثالثة فهي مساحة قطعة من السطح؛ أدت دراسة هذه الثوابت للسطح إلى تقديم غاوس لمفهوم سبّاق حديث للموتر المتري.

طول القوس

إذا أُخذ المتغيرين قالب:Mvar وقالب:Mvar للاعتماد على متغير ثالث هو قالب:Mvar مع أخذ القيم في الفترة قالب:تعبير رياضي؛ فإن $\overrightarrow{r}(u(t),v(t))$ سوف يتتبع المنحنى الحدودي في السطح الحدودي قالب:Mvar، ويُعطى طول القوس لهذا المنحنى من خلال التكامل الآتي:

$\begin{array}{cc}s& =\underset{a}{\overset{b}{\int }}\Vert \frac{d}{dt}\overrightarrow{r}(u(t),v(t))\Vert dt\\ & =\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{u^{\prime }(t{)}^2{\overrightarrow{r}}_u\cdot {\overrightarrow{r}}_u+2u^{\prime }(t)v^{\prime }(t){\overrightarrow{r}}_u\cdot {\overrightarrow{r}}_v+v^{\prime }(t{)}^2{\overrightarrow{r}}_v\cdot {\overrightarrow{r}}_v}dt\end{array}$

حيث أن $\Vert \cdot \Vert$ يمثل المعيار الإقليدي، هنا تم تطبيق قاعدة السلسلة حيث تشير الرموز السفلية إلى المشتقات الجزئية:

${\overrightarrow{r}}_u=\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial u},{\overrightarrow{r}}_v=\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial v}$

المُكامل هو الحصر لمنحنى الجذر التربيعي للتفاضل التربيعي:

حيث أن:

الكمية قالب:Mvar في (1) تُسمى عنصر الخط، بينما قالب:تعبير رياضيتُسمى الشكل الأساسي الأول لـقالب:Mvar، ومن البديهي أنها تمثل الجزء الرئيسي من مربع الإزاحة التي خضع له $\overrightarrow{r}(u,v)$عندما ازدادت قالب:Mvar بوحدات قالب:Mvar، وازدادت قالب:Mvar بوحدات قالب:Mvar.

باستخدام تدوين المصفوفة تصبح الصيغة الأساسية الأولى كالتالي:

$d{s}^2=\left[\begin{array}{cc}du& dv\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}E& F\\ F& G\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}du\\ dv\end{array}\right]$

التحولات الإحداثية

افترض الآن أن حدود مختلفة حُددت من خلال السماح لـقالب:Mvar وقالب:Mvar الاعتماد على زوج آخر من المتغيرات هما: قالب:تعبير رياضيوقالب:تعبير رياضيفإن النظيرللمعادلة (2) للمتغيرات الجديدة هو:

تربط قاعدة السلسلة قالب:تعبير رياضيوقالب:تعبير رياضيوقالب:تعبير رياضيبقالب:Mvar وقالب:Mvar وقالب:Mvar من خلال معادلة المصفوفة التالية:

حيث يشير الحرف العلوي T إلى منقولة المصفوفة، والمصفوفة ذات المعاملات: قالب:Mvar وقالب:Mvar وقالب:Mvar المُرتبة بتلك الطريقة تتحول بواسطة مصفوفة ياكوبية لتغيير الإحداثيات:

$J=\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial u}{\partial u^{\prime }}& \frac{\partial u}{\partial v^{\prime }}\\ \frac{\partial v}{\partial u^{\prime }}& \frac{\partial v}{\partial v^{\prime }}\end{array}\right]$

المصفوفة التي تتحول بهذه الطريقة هي نوع واحد يسمى موتر، والمصفوفة هي:

$\left[\begin{array}{cc}E& F\\ F& G\end{array}\right]$

ومع قانون التحويل (3) يُعرف هذا بالموتر المتري للسطح.

ثبات طول القوس الخاضع لتحولات إحداثية

لاحظ ريتشي كورباسترو وليفي تشيفيتا عام (1900) لأول مرة أهمية نظام المعاملات: قالب:Mvar وقالب:Mvar وقالب:Mvar التي تحولت بهذه الطريقة عند الانتقال من أحد نظام الإحداثيات لآخر، والنتيجة هي أن الشكل الأساسي الأول (1) ثابت في ظل التغييرات المُحدَثة في نظام الإحداثيات، حيث تُبعَ هذا حصريًا من خصائص التحويل ل قالب:Mvarوقالب:Mvar وقالب:Mvar، وبالفعل من خلال استخدام قاعدة السلسلة فإن:

$\left[\begin{array}{c}du\\ dv\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial u}{\partial u^{\prime }}& \frac{\partial u}{\partial v^{\prime }}\\ \frac{\partial v}{\partial u^{\prime }}& \frac{\partial v}{\partial v^{\prime }}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}d{u}^{\prime }\\ d{v}^{\prime }\end{array}\right]$

ولهذا نحصل على أن:

$\begin{array}{cc}d{s}^2& =\left[\begin{array}{cc}du& dv\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}E& F\\ F& G\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}du\\ dv\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}d{u}^{\prime }& d{v}^{\prime }\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial u}{\partial u^{\prime }}& \frac{\partial u}{\partial v^{\prime }}\\ \frac{\partial v}{\partial u^{\prime }}& \frac{\partial v}{\partial v^{\prime }}\end{array}\right]}^{𝖳}\left[\begin{array}{cc}E& F\\ F& G\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial u}{\partial u^{\prime }}& \frac{\partial u}{\partial v^{\prime }}\\ \frac{\partial v}{\partial u^{\prime }}& \frac{\partial v}{\partial v^{\prime }}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}d{u}^{\prime }\\ d{v}^{\prime }\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}d{u}^{\prime }& d{v}^{\prime }\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{E}^{\prime }& F^{\prime }\\ F^{\prime }& G^{\prime }\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}d{u}^{\prime }\\ d{v}^{\prime }\end{array}\right]\\ & =(d{s}^{\prime }{)}^2\end{array}$

طول وزاوية

تفسير آخر للموتر المتري الذي أخذه غاوس بعين الاعتبار أيضًا: هو أنه يوفر طريقة لحساب طول المتجهات المماسية للسطح، إضافةً إلى الزاوية بين متجهين مماسين، وبالمصطلحات المعاصرة يسمح الموتر المتري بحساب الضرب النقطي لمتجهات المماس بطريقة مستقلة عن الوصف الحدودي للسطح، حيث يمكن كتابة أي متجه مماسي عند نقطة في السطح الحدودي قالب:Mvar بالصيغة التالية:

$𝐩=p_1{\overrightarrow{r}}_u+p_2{\overrightarrow{r}}_v$

للأعداد الحقيقية المناسبة قالب:تعبير رياضيوقالب:تعبير رياضيإذا أُعطيَ متجهان مماسيان هما:

$\begin{array}{cc}𝐚& =a_1{\overrightarrow{r}}_u+a_2{\overrightarrow{r}}_v\\ 𝐛& =b_1{\overrightarrow{r}}_u+b_2{\overrightarrow{r}}_v\end{array}$

ثم باستخدام الثنائي الخطي للضرب النقطي ينتج أن:

$\begin{array}{cc}𝐚\cdot 𝐛& =a_1{b}_1{\overrightarrow{r}}_u\cdot {\overrightarrow{r}}_u+a_1{b}_2{\overrightarrow{r}}_u\cdot {\overrightarrow{r}}_v+b_1{a}_2{\overrightarrow{r}}_v\cdot {\overrightarrow{r}}_u+a_2{b}_2{\overrightarrow{r}}_v\cdot {\overrightarrow{r}}_v\\ & =a_1{b}_{1}E+a_1{b}_{2}F+b_1{a}_{2}F+a_2{b}_{2}G\\ & =\left[\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}E& F\\ F& G\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\end{array}\right]\end{array}$

من الواضح أن هذه الدالة مُكوَنة من المتغيرات الأربعة: قالب:تعبير رياضيو قالب:تعبير رياضيو قالب:تعبير رياضيو قالب:تعبير رياضي، لكن يُنظر إليها بشكل أكثر إفادة على أنها دالة تأخذ زوجًا من الوسيطات قالب:تعبير رياضيو قالب:تعبير رياضيوهي متجهات في المستوى-قالب:Mvar، وهذا يعني أن:

$g(𝐚,𝐛)=a_1{b}_{1}E+a_1{b}_{2}F+b_1{a}_{2}F+a_2{b}_{2}G$

هذه دالة متماثلة في قالب:تعبير رياضيوقالب:تعبير رياضي، مما يعني أن:

$g(𝐚,𝐛)=g(𝐛,𝐚)$

هو أيضًا ثنائي خطي مما يعني أنه خطي في كل متغير قالب:تعبير رياضيوقالب:تعبير رياضيعلى حدة، يعني أن:

$\begin{array}{cc}g(\lambda 𝐚+\mu {𝐚}^{\prime },𝐛)& =\lambda g(𝐚,𝐛)+\mu g({𝐚}^{\prime },𝐛),\text{and}\\ g(𝐚,\lambda 𝐛+\mu {𝐛}^{\prime })& =\lambda g(𝐚,𝐛)+\mu g(𝐚,{𝐛}^{\prime })\end{array}$

لأي متجهات قالب:تعبير رياضيو قالب:تعبير رياضيو قالب:تعبير رياضيو قالب:تعبير رياضيفي المستوى-قالب:Mvar وأي أعداد حقيقية قالب:Mvar وقالب:Mvar.

على وجه الخصوص يُعطى طول متجه المماس قالب:تعبير رياضيمن خلال:

$\Vert 𝐚\Vert =\sqrt{g(𝐚,𝐚)}$

وتُحسب الزاوية θ بين متجهين قالب:تعبير رياضيوقالب:تعبير رياضيمن خلال:

$\cos (\theta )=\frac{g(𝐚,𝐛)}{\Vert 𝐚\Vert \Vert 𝐛\Vert }$

مساحة

مساحة السطح هي كمية عددية أخرى يجب أن تعتمد فقط على السطح نفسه، وليس على كيفية تحديد العوامل، فإذا كان السطح قالب:Mvar حُددت عوامله بواسطة الدالة $\overrightarrow{r}(u,v)$ على المجال قالب:Mvar في المستوى-قالب:Mvar؛ فإن مساحة السطح قالب:Mvar تُعطى من خلال التكامل الآتي:

$\underset{D}{\iint }|{\overrightarrow{r}}_u\times {\overrightarrow{r}}_v|dudv$

حيث تشير قالب:تعبير رياضيإلى الضرب التقاطعي (الضرب الاتجاهي)، والقيمة المطلقة تشير إلى طول المتجه في الفضاء الإقليدي، ومن خلال متطابقة لاغرانج للضرب التقاطعي فإنه يمكن كتابة التكامل الآتي:

$\begin{array}{cc}& \underset{D}{\iint }\sqrt{({\overrightarrow{r}}_u\cdot {\overrightarrow{r}}_u)({\overrightarrow{r}}_v\cdot {\overrightarrow{r}}_v)-{({\overrightarrow{r}}_u\cdot {\overrightarrow{r}}_v)}^2}dudv\\ =& \underset{D}{\iint }\sqrt{EG-F^2}dudv\\ =& \underset{D}{\iint }\sqrt{\det \left[\begin{array}{cc}E& F\\ F& G\end{array}\right]}dudv\end{array}$

حيث: قالب:تعبير رياضيهي المُحَدِّد.

تعريف

لنجعل قالب:Mvar متشعبًا ناعمًا بُعده قالب:Mvar، على سبيل المثال سطح في حالة قالب:تعبير رياضيأو سطح فائق في الفضاء الديكارتي قالب:تعبير رياضي؛ ففي كل نقطة قالب:تعبير رياضيهناك فضاء متجهي قالب:تعبير رياضييسمى فضاء المماس، حيث يتألف من جميع المتجهات المماسية للمتشعب عند النقطة قالب:Mvar، والموتر المتري عند قالب:Mvar هو دالة: قالب:تعبير رياضيالتي تأخذ زوجًا من متجهات المماس قالب:تعبير رياضيوقالب:تعبير رياضيعند قالب:Mvar كمدخلات، وتنتجُ رقمًا حقيقيًا قياسيًا كمخرج، حيث أن الشروط التالية مُستوفية:

• $g_p$ خطي: تكون دالة الوسيطتين المتجهتين خطيتين إذا كانت خطية بشكل منفصل في: كل وسيطة، لذلك إذا كانت $U_p$ و$V_p$ و$Y_p$: هي ثلاث: مماسات لمتجهات عند قالب:Mvar، وقالب:Mvar وقالب:Mvar: هي أعداد حقيقية، إذًا:

$\begin{array}{cc}{g}_p(a{U}_p+b{V}_p,Y_p)& =a{g}_p(U_p,Y_p)+b{g}_p(V_p,Y_p),\text{و}\\ g_p(Y_p,a{U}_p+b{V}_p)& =a{g}_p(Y_p,U_p)+b{g}_p(Y_p,V_p)\end{array}$

• $g_p$ متماثل: تكون دالة الوسيطتين: المتجهتين متماثلة شرط أن تكون لكل المتجهات $X_p$ و$Y_p$؛ حيث أن:

$g_p(X_p,Y_p)=g_p(Y_p,X_p)$

• $g_p$ غير منحل (غير منعدم): حيث أن الدالة الثنائية الخطية غير منحلة شرط أن تكون الدالة لكل متجه مماس $X_p\ne 0$ هي:

$Y_p\mapsto g_p(X_p,Y_p)$

حُصِل عليها عن طريق بقاء قالب:تعبير رياضيثابت والسماح لـ قالب:تعبير رياضيبالتغير وأن يكون ليس صفرًا تمامًا، هذا يعني أن لكل قالب:تعبير رياضييوجد قالب:تعبير رياضي، مثل قالب:تعبير رياضي.

حقل الموتر المتري قالب:Mvar في قالب:Mvar يُخصص لكل نقطة قالب:Mvar من قالب:Mvar موتر متري قالب:تعبير رياضيفي مساحة المماس عند قالب:Mvar بطريقةٍ تتفاوت بنعومةٍ مع قالب:Mvar، وبشكلٍ أدق وبإعطاء أي مجموعة فرعية مفتوحة قالب:Mvar من المتشعب قالب:Mvar وأي حقول متجهات ناعمة: قالب:Mvar وقالب:Mvar في قالب:Mvar، فالاقتران الحقيقي:

$g(X,Y)(p)=g_p(X_p,Y_p)$

هو اقتران ناعم لقالب:Mvar.

مركبات المتري

تُعطى مُرَكِّبات المتري في أي قاعدة لحقول المتجهات أو إطارقالب:تعبير رياضيمن خلال:

عدد قالب:تعبير رياضيمن الاقترانات قالب:تعبير رياضيفإنها تُشكل مدخلات لمصفوفة متماثلة رتبتها قالب:تعبير رياضيهي: قالب:تعبير رياضيإذا كان:

$v=\sum _{i=1}^n{v}^i{X}_i,w=\sum _{i=1}^n{w}^i{X}_i$

متجهان عند قالب:تعبير رياضي؛ فإن قيمة المتري المُطبق على قالب:Mvar وقالب:Mvar يُحدد بواسطة المعاملات (4) عن طريق الثنائي الخطي:

$g(v,w)=\sum _{i,j=1}^n{v}^i{w}^{j}g(X_i,X_j)=\sum _{i,j=1}^n{v}^i{w}^j{g}_{ij}[𝐟]$

دلالة المصفوفة قالب:تعبير رياضيبواسطة قالب:تعبير رياضيوترتيب مُرَكِّبات المتجهين قالب:Mvar وقالب:Mvar في متجهات العمود قالب:تعبير رياضيو قالب:تعبير رياضيهو:

$g(v,w)=𝐯[𝐟{]}^{𝖳}G[𝐟]𝐰[𝐟]=𝐰[𝐟{]}^{𝖳}G[𝐟]𝐯[𝐟]$

حيث تشير قالب:تعبير رياضي^T و قالب:تعبير رياضي^T لمنقولة المتجهين: قالب:تعبير رياضيو قالب:تعبير رياضيعلى التوالي، وبتغيير قاعدة النموذج نحصل على أن:

$𝐟\mapsto {𝐟}^{\prime }=(\sum _k{X}_k{a}_{k1},\dots ,\sum _k{X}_k{a}_{kn})=𝐟A$

بالنسبة لمصفوفة عكسية $A=(a_{ij})$ رتبتها قالب:تعبير رياضيفإن مصفوفة المُرَكِّبات المترية تتغير بمقدار قالب:Mvar أيضًا، وهذا هو:

$G[𝐟A]=A^{𝖳}G[𝐟]A$

أو بلغة مدخلات هذه المصفوفة:

$g_{ij}[𝐟A]=\sum _{k,l=1}^n{a}_{ki}{g}_{kl}[𝐟]a_{lj}$

لهذا السبب يُقال إن نظام الكميات قالب:تعبير رياضييتحول بشكل متغاير بخصوص تغيرات في الإطار قالب:تعبير رياضي.

متري في الإحداثيات

نظام عدد قالب:Mvar من الاقترانات قالب:تعبير رياضيذات القيمة الحقيقية يعطي نظام إحداثيات محلي على مجموعة مفتوحة قالب:Mvar في قالب:Mvar، محددًا قاعدةً لحقول المتجهات في قالب:Mvar:

$𝐟=(X_1=\frac{\partial }{\partial x^1},\dots ,X_n=\frac{\partial }{\partial x^n})$

المتري قالب:Mvar يملك مُرَكِّبات متعلقة بهذا الإطار يُعطى من خلال:

$g_{ij}\left[𝐟\right]=g(\frac{\partial }{\partial x^i},\frac{\partial }{\partial x^j})$

بالنسبة لنظام جديد من الإحداثيات المحلية، يُقال أن:

$y^i=y^i(x^1,x^2,\dots ,x^n),i=1,2,\dots ,n$

الموتر المتري سيحدد مصفوفة مختلفة من المعاملات هي:

$g_{ij}\left[{𝐟}^{\prime }\right]=g(\frac{\partial }{\partial y^i},\frac{\partial }{\partial y^j})$

هذا التضام الجديد من الاقترانات يتعلق بالأصلي قالب:تعبير رياضيعن طريق قاعدة السلسلة:

$\frac{\partial }{\partial y^i}=\sum _{k=1}^n\frac{\partial x^k}{\partial y^i}\frac{\partial }{\partial x^k}$

لهذا فإن:

$g_{ij}\left[{𝐟}^{\prime }\right]=\sum _{k,l=1}^n\frac{\partial x^k}{\partial y^i}{g}_{kl}\left[𝐟\right]\frac{\partial x^l}{\partial y^j}$

أو من ناحية المصفوفات: قالب:تعبير رياضيوقالب:تعبير رياضي:

$G\left[{𝐟}^{\prime }\right]={((Dy{)}^{-1})}^{𝖳}G\left[𝐟\right](Dy{)}^{-1}$

حيث يشير قالب:Mvar إلى المصفوفة الياكوبية لتغيير الإحداثيات.

شكل مميز للمتري

يرتبط الشكل التربيعي المُعرف في كل مساحة مماس بأي موتر متري من خلال:

$q_m(X_m)=g_m(X_m,X_m),X_m\in T_{m}M$

إذا كان قالب:تعبير رياضيموجب لجميع قالب:تعبير رياضيغير الصفرية؛ فإن المتري يكون محددًا موجبًا عند قالب:Mvar، وإذا كان المتري موجب التحديد عند كل قالب:تعبير رياضي؛ فإن قالب:Mvar يسمى متري ريماني، وبشكلٍ عام إذا كانت الأشكال التربيعية قالب:تعبير رياضيلها شكل مميز ثابت مستقل عن قالب:Mvar؛ فإن شكل قالب:Mvar المميز هو هذا الشكل المميز، ويطلق على يه ريماني متري زائف، أما إذا كان $M$ متصل؛ فإن شكل $q_m$ المميز لا يعتمد على $m$.

وفقًا لقانون سيلفستر للقصور الذاتي، يمكن اختيار قاعدة متجهات المماس $X_i$ محليًا بحيث يتحول الشكل التربيعي إلى الشكل التالي:

$q_m\left(\sum _i{\xi }^i{X}_i\right)=({\xi }^1{)}^2+({\xi }^2{)}^2+...+({\xi }^p{)}^2-({\xi }^{p+1}{)}^2-...-({\xi }^n{)}^2$

بالنسبة لبعض النقاط قالب:Mvar بين 1 وقالب:Mvar، فإن أي تعبيرين من هذا القبيل لـقالب:Mvar عند نفس النقطة قالب:Mvar في قالب:Mvar سيكون لهما نفس العدد قالب:Mvar من الإشارات الموجبة، وشكل قالب:Mvar هوزوج من الأعداد الصحيحة قالب:تعبير رياضي، مما يدل على أن هناك قالب:Mvar من الإشارات الموجبة و قالب:تعبير رياضيسلبية في أي تعبير من هذا القبيل، وبشكلٍ مكافِئ فإن المتري له شكل مميز وهو: قالب:تعبير رياضيإذا كانت المصفوفة قالب:تعبير رياضيللمتري تحتوي على قيم مميزة وهي: قالب:Mvar الموجبة و قالب:تعبير رياضيالسلبية.

بعض الأشكال المترية التي تظهر بشكلٍ متكرر في التطبيقات هي:

• إذا كان قالب:Mvar له الشكل $(n,0)$؛ فإن قالب:Mvar هي ريماني متري، وتسمى قالب:Mvar متشعب ريماني، خلاف ذلك (قالب:Mvar ليس لها توقيع) فإنقالب:Mvar هو متري ريماني زائف وقالب:Mvar يسمى متشعب ريماني زائف أو شبه ريماني.
• إذا كان قالب:Mvar رباعي الأبعاد مع الشكل $(1,3)$ أو $(3,1)$، فإن المتري يسمى لورنتزيان، وبشكلٍ عام الموتر المتري في البعد قالب:Mvar يمتلك 4 أشكال هي: قالب:تعبير رياضيأو قالب:تعبير رياضيتسمى أحيانًا لورنتزيان.
• إذا كانت قالب:Mvar ثنائية الأبعاد وقالب:Mvar لها الشكل $(n,n)$، فإن المتري يسمى زائدي.

متري معكوس

لنفترض أن قالب:تعبير رياضيقاعدة لحقول المتجهات وكما ذكرنا سابقًا لندع قالب:تعبير رياضيمصفوفة المعاملات، حاصلين على أن:

$g_{ij}[𝐟]=g(X_i,X_j)$

يمكن اعتبارالمصفوفة المعكوسة قالب:تعبير رياضي، والذي يتم تعريفها باستخدام المتري المعكوس أو المتري المتقارن أو الثنائي، ويطبق المتري المعكوس قانون التحول عندما يتم تغيير الإطار قالب:تعبير رياضيبواسطة مصفوفة قالب:Mvar من خلال الآتي:

يتحول المتري المعكوس بشكل مخالف أو فيما يتعلق بمعكوس تغيير قاعدة المصفوفةقالب:Mvar ، في حين أن المتري نفسه يوفر طريقة لقياس طول حقول المتجهات أو الزاوية بينهما، فيوفر المتري المعكوس وسيلة لقياس طول حقول المتجهات المشتركة أو الزاوية بينهما، وهذا هو حقول الاقترانات الخطية.

لتفسير ما سبق رياضيًا افترض أن قالب:Mvarهو حقل متجهات مشترك، هذا يعني أن لكل نقطة قالب:Mvar هناك قالب:Mvar تحدد اقتران قالب:تعبير رياضيمُعرف على متجهات مماسية عند قالب:Mvar بحيث يكون الشرط الخطي التالي ينطبق على جميع المتجهات المماسية قالب:تعبير رياضيو قالب:تعبير رياضيوجميع الأعداد الحقيقية قالب:Mvar وقالب:Mvar:

${\alpha }_p(a{X}_p+b{Y}_p)=a{\alpha }_p\left(X_p\right)+b{\alpha }_p\left(Y_p\right)$

مع اختلاف قالب:Mvar يُفترض أن تكون قالب:Mvar دالة ناعمة بمعنى أن:

$p\mapsto {\alpha }_p\left(X_p\right)$

هي دالة ناعمة لـ قالب:Mvar لأي حقل متجهات ناعم قالب:Mvar.

أي حقل متجهات مشترك قالب:Mvar له مُرَكِّبات في قاعدة حقول المتجهات قالب:تعبير رياضي، حيث يُحددوا من خلال التالي:

${\alpha }_i=\alpha \left(X_i\right),i=1,2,\dots ,n.$

يُشار إلى متجه الصف لهذه المُرَكِّبات من خلال:

$\alpha [𝐟]=\left[\begin{array}{cccc}{\alpha }_1& {\alpha }_2& \dots & {\alpha }_n\end{array}\right].$

وبتغيير قالب:تعبير رياضيبواسطة مصفوفة قالب:Mvar؛ فإن قالب:تعبير رياضيتتغير حسب القاعدة الآتية:

$\alpha [𝐟A]=\alpha [𝐟]A$

وهذا يعني أن متجه الصف للمُرَكِّبات قالب:تعبير رياضييتحول إلى متجه متغير.

بالنسبة للزوج قالب:Mvar وقالب:Mvar في حقول المتجهات المشتركة، وتعريف المتري المعكوس المُطبق على هذين المتجهين من خلال:

التعريف الناتج على الرغم من أنه يشمل اختيار القاعدة قالب:تعبير رياضيإلا أنه لا يعتمد فعليًا على قالب:تعبير رياضيبطريقةٍ أساسية، ففي الواقع تغيير القاعدة إلى قالب:تعبير رياضييعطي:

$\begin{array}{cc}& \alpha [𝐟A]G[𝐟A{]}^{-1}\beta [𝐟A{]}^{𝖳}\\ =& (\alpha [𝐟]A)(A^{-1}G[𝐟{]}^{-1}{\left(A^{-1}\right)}^{𝖳})(A^{𝖳}\beta [𝐟{]}^{𝖳})\\ =& \alpha [𝐟]G[𝐟{]}^{-1}\beta [𝐟{]}^{𝖳}.\end{array}$

حيث يكون الجانب الأيمن من المعادلة (6) لا يتأثر بتغيير القاعدة قالب:تعبير رياضيإلى أي قاعدة أخرى قالب:تعبير رياضيعلى الإطلاق، وبالتالي يمكن تخصيص المعادلة لمعنى بغض النظر عن اختيار القاعدة، يُشار إلى مدخلات المصفوفة قالب:تعبير رياضيبواسطة قالب:تعبير رياضي، حيث تم رفع المؤشرين قالب:Mvar و قالب:Mvar للإشارة إلى قانون التحول (5).

رفع وخفض المؤشرات

في قاعدة حقول المتجهات f = (X 1... X n) يمكن كتابة أي حقل متجهات ناعم مماسي قالب:Mvar من خلال النموذج التالي:

لبعض الاقترانات الناعمة المحددة بشكل فريد قالب:تعبير رياضيعند تغيير القاعدة قالب:تعبير رياضيبواسطة مصفوفة غير أحادية قالب:Mvar، تتغيير المعامِلات قالب:تعبير رياضيبالطريقة المذكورة في المعادلة (7) حيث تبقى صحيحة، وهذا يعني أن:

$X=𝐟𝐀v[𝐟𝐀]=𝐟v[𝐟].$

وبالتالي قالب:تعبير رياضي، بمعنى آخر تتحول مُرَكِّبات المتجه بشكل متناقض (عكسي) بسبب التغيير في القاعدة بواسطة المصفوفة غير الأحادية قالب:Mvar، ويُحدد تناقض مُرَكِّبات قالب:تعبير رياضيبصورةٍ تشكيلية بوضع المؤشرات قالب:تعبير رياضيفي الموضع العلوي.

يُسمح للإطار أيضًا بالتعبير عنه باستخدام المتجهات المشتركة بدلالة مُرَكِّباتها، ولقاعدة حقول المتجهات قالب:تعبير رياضيعُرِفت القاعدة المزدوجة لتكون خطية الوظائف قالب:تعبير رياضيأي أن:

${\theta }^i[𝐟](X_j)=\{\begin{array}{cc}1& \mathrm{i}\mathrm{f}i=j\\ 0& \mathrm{i}\mathrm{f}i=j.\end{array}$

حيث، قالب:تعبير رياضي: دلتا كرونكر. فلنفترض التالي:

$\theta [𝐟]=\left[\begin{array}{c}{\theta }^1[𝐟]\\ {\theta }^2[𝐟]\\ ⋮\\ {\theta }^n[𝐟]\end{array}\right]$

بتغيير القاعدة قالب:تعبير رياضيلمصفوفة غير أحادية قالب:تعبير رياضي،قالب:تعبير رياضييتحول عن طريق:

$\theta [𝐟A]=A^{-1}\theta [𝐟]$

يمكن توسيع أي اقتران خطي قالب:Mvar في المتجهات المماسية بدلالة القاعدة المزدوجة قالب:Mvar:

حيث تشير قالب:تعبير رياضيإلى متجه الصف قالب:تعبير رياضي، والمُرَكِّبات قالب:تعبير رياضيتتحول عندما يتم استبدال القاعدة قالب:تعبير رياضيبـقالب:تعبير رياضيبطريقةٍ تبقى فيها المعادلة (8) صحيحة، هذا يعني:

$\alpha =a[𝐟A]\theta [𝐟A]=a[𝐟]\theta [𝐟]$

ولأن قالب:تعبير رياضييتبع ذلك = a[f]A}، أي أن المُرَكِّبات قالب:Mvar تتحول بشكل متغاير بواسطة المصفوفة قالب:Mvar بدلاً من معكوسها، يُحدد تَغيُر المُركِبات لقالب:تعبير رياضيبشكلٍ تشكيلي بوضع المؤشرات لقالب:تعبير رياضيفي الموضع السفلي.

الآن وبما أن الموتر المتري يعطي وسيلة لتحديد المتجهات والمتجهات المشتركة على النحو التالي بتثبيت قالب:تعبير رياضي:

$g_p(X_p,-):Y_p\mapsto g_p(X_p,Y_p)$

لمتجه المماس قالب:تعبير رياضييحدد اقتران خطي على مساحة المماس عند قالب:Mvar، وتأخذ هذه العملية المتجه قالب:تعبير رياضيعند النقطة قالب:Mvar مُنتجةً متجه مشتركقالب:تعبير رياضيفي قاعدة حقول المتجهات قالب:تعبير رياضيإذا كان حقل المتجهات قالب:Mvar يمتلك مُرَكِّباتقالب:تعبير رياضي؛ فإن مُرَكِّبات حقل المتجهات المشترك قالب:تعبير رياضيفي القاعدة المزدوجة يُعطى من خلال مدخلات متجه الصف:

$a[𝐟]=v[𝐟{]}^{𝖳}G[𝐟].$

بتغيير القاعدة قالب:تعبير رياضييتحول الجانب الأيمن من هذه المعادلة عن طريق:

$v[𝐟A{]}^{𝖳}G[𝐟A]=v[𝐟{]}^{𝖳}{\left(A^{-1}\right)}^{𝖳}{A}^{𝖳}G[𝐟]A=v[𝐟{]}^{𝖳}G[𝐟]A$

لذلك يتحول قالب:تعبير رياضي: قالب:Mvar بشكل متغاير. عملية ارتباط المُرَكِّبات المتناقضة لحقل المتجهات field قالب:تعبير رياضي^T بالمُرَكِّبات المتغيرة لحقل المتجهات المشترك قالب:تعبير رياضي، حيث أن:

$a_i[𝐟]=\sum _{k=1}^n{v}^k[𝐟]g_{ki}[𝐟]$

يسمى خافض المُؤشِّر.

لرفع المؤشر تُطبق نفس الطريقة ولكن باستخدام المتري المعكوس بدلاً من المتري، فإذا كانت قالب:تعبير رياضيهي مُرَكِّبات لمتجه مشترك في القاعدة المزدوجة قالب:تعبير رياضي؛ فإن متجه العمود:

يملك مُرَكِّبات تتحول بشكل متناقض:

$v[𝐟A]=A^{-1}v[𝐟].$

بالتالي فإن الكمية قالب:تعبير رياضيلا تعتمد على اختيار القاعدة قالب:تعبير رياضيبشكل أساسي لذلك يُحدد حقل المتجهات في قالب:Mvar. العملية (9) ترتبط بالمُرَكِّبات المتغيرة للمتجه المشترك قالب:تعبير رياضيوالمُرَكِّبات المتناقضة للمتجه قالب:تعبير رياضيالمُعطى يسمى رافع المؤشر. وفي المُرَكِّبات،(9) هي:

$v^i[𝐟]=\sum _{k=1}^n{g}^{ik}[𝐟]a_k[𝐟].$

متري مستحث

لنجعل قالب:Mvar مجموعة مفتوحة فيقالب:تعبير رياضي، وليكن قالب:Mvar دالة مستمرة قابلة للتفاضل من قالب:Mvar إلى الفضاء الإقليدي ℝ حيث قالب:تعبير رياضي، تعيين قالب:Mvar يسمى الغمر إذا كان تفاضله عن طريق الحقن في كل نقطة في قالب:Mvar، وصورة قالب:Mvar تسمى المتشعب الفرعي المغمور، بشكلٍ أكثرَ تحديدًا بالنسبة إلى قالب:تعبير رياضيمما يعني أن الفضاء الإقليدي المحيط هو قالب:تعبير رياضي، ويسمى الموتر المتري المستحث بالشكل الأساسي الأول.

افترض أن قالب:Mvar غُمر في متشعب فرعي قالب:تعبير رياضي، والناتج النقطي الإقليدي المعتاد قالب:تعبير رياضيهو متري، فعندما يُقتصر على متجهات مماسية في M يعطي وسيلة لأخذ حاصل الضرب النقطي لهذه المتجهات المماسية، وهذا ما يسمى بالمتري المستحث.

افترض أن قالب:Mvar متجه مماسي عند نقطة في قالب:Mvar، ولنعتبر أن:

$v=v^1{𝐞}_1+\dots +v^n{𝐞}_n$

حيث قالب:تعبير رياضيهي متجهات الإحداثيات المعيارية في ℝⁿ، وعندما يتم تطبيق قالب:Mvar على قالب:Mvar ينتقل المتجه قالب:Mvar إلى المتجه المماسي في قالب:Mvar المُعطى من خلال:

${\phi }_{*}(v)=\sum _{i=1}^n\sum _{a=1}^m{v}^i\frac{\partial {\phi }^a}{\partial x^i}{𝐞}_a$

وهذا ما يسمى الدفع الأمامي لـ قالب:Mvar على طول قالب:Mvar، وبإعطاء متجهين من هذا القبيل: قالب:Mvar و قالب:Mvar، يُعرف المتري المستحث عن طريق:

$g(v,w)={\phi }_{*}(v)\cdot {\phi }_{*}(w)$

يُتبع من عملية حسابية مباشرة أن مصفوفة المتري المستحث في قاعدة حقول المتجهات الإحداثيةقالب:تعبير رياضيتُعطى بواسطة:

$G(𝐞)=(D\phi {)}^{𝖳}(D\phi )$

حيث قالب:Mvar هي المصفوفة اليعقوبية:

$D\phi =\left[\begin{array}{cccc}\frac{\partial {\phi }^1}{\partial x^1}& \frac{\partial {\phi }^1}{\partial x^2}& \dots & \frac{\partial {\phi }^1}{\partial x^n}\\ \frac{\partial {\phi }^2}{\partial x^1}& \frac{\partial {\phi }^2}{\partial x^2}& \dots & \frac{\partial {\phi }^2}{\partial x^n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial {\phi }^m}{\partial x^1}& \frac{\partial {\phi }^m}{\partial x^2}& \dots & \frac{\partial {\phi }^m}{\partial x^n}\end{array}\right]$

التعريفات الجوهرية للمتري

يمكن تعريف مفهوم المتري بشكل جوهري باستخدام لغة حزم الألياف وحزم المتجهات، في هذه المصطلحات الموتر المتري هو اقتران:

من ضرب الألياف للحزمة المماسية في قالب:Mvar مع نفسها في قالب:تعبير رياضيبحيث يكون تقييد قالب:Mvar لكل ليف هو ربط ثنائي خطي غير منحل:

$g_p:{\mathrm{T}}_{p}M\times {\mathrm{T}}_{p}M\to 𝐑$

الارتباط في (10) يجب أن يكون مستمرًا، وغالبًا ما يكون قابلاً للتفاضل بشكل مستمر أوناعمًا أوتحليليًا حقيقيًا، اعتمادًا على الحالة المدروسة وما إذا كان قالب:Mvar يمكن أن تدعم مثل هذا التركيب.

متري كجزء من حزمة

بواسطة الخاصية العامة لضرب الموتر، أي تعيين ثنائي خطي (10) يعطي رفع بشكل طبيعي إلى قسم قالب:تعبير رياضيلثنائي حزمة ضرب الموتر لـ قالب:تعبير رياضيمع نفسها:

$g_{\otimes }\in \mathrm{\Gamma }((\mathrm{T}M\otimes \mathrm{T}M{)}^{*})$

يتم تعريف القسم قالب:تعبير رياضيعلى عناصر بسيطة من قالب:تعبير رياضيمن خلال:

$g_{\otimes }(v\otimes w)=g(v,w)$

ويتم تعريفه على العناصر التعسفية لـ قالب:تعبير رياضيمن خلال التوسع خطيًا لمجموعات خطية من العناصر البسيطة، الشكل الثنائي الخطي الأصلي لقالب:Mvar متماثل إذاوفقط إذا:

$g_{\otimes }\circ \tau =g_{\otimes }$

حيث أن:

$\tau :\mathrm{T}M\otimes \mathrm{T}M\stackrel{\cong }{\to }TM\otimes TM$

هي خريطة الشريط.

نظرًا لأن قالب:Mvar ذات أبعاد محدودة، فهناك تماثل طبيعي:

$(\mathrm{T}M\otimes \mathrm{T}M{)}^{*}\cong {\mathrm{T}}^{*}M\otimes {\mathrm{T}}^{*}M,$

بحيث يُنظر إلى قالب:تعبير رياضيأيضًا كقسم من الحزمة قالب:تعبير رياضيلحزمة ظل التمام قالب:تعبير رياضيمع نفسها، ونظرًا لأن قالب:Mvar متماثل كتركيب الثنائي الخطي، فهو يتبع أن قالب:تعبير رياضيموتر متماثل .

متري في حزمة متجه

بشكلٍ عام يمكن أن التحدث عن متري في حزمة متجه، فإذا كانت قالب:Mvar عبارة عن حزمة متجه على متشعب قالب:Mvar؛ فإن المتري هو تعيين:

$g:E{\times }_{M}E\to 𝐑$

من ضرب الألياف من قالب:Mvar إلى قالب:تعبير رياضيوهو ثنائي خطي في كل ليف:

$g_p:E_p\times E_p\to 𝐑.$

باستخدام الازدواجية على النحو الوارد أعلاه غالبًا ما يتم تعريف المتري بجزء من حزمة ضرب الموتر قالب:تعبير رياضي.

تماثل مماس ظل التمام

يعطي الموتر المتري تماثلًا طبيعيًا من حزمة المماس إلى حزمة ظل التمام والتي تسمى أحيانًا التماثل الموسيقي، هذا التشابه حُصل عليه عن طريق الضبط، لكل متجه مماس قالب:تعبير رياضي:

$S_g{X}_p\stackrel{\text{def}}{=}g(X_p,-),$

الدالة الخطية في قالب:تعبير رياضيالتي ترسل متجهًا مماسيًا قالب:تعبير رياضيعند قالب:Mvar ل قالب:تعبير رياضي، هذا هو من حيث الاقتران [- ، -] بين قالب:تعبير رياضيومساحتها المزدوجة قالب:تعبير رياضي:

$[S_g{X}_p,Y_p]=g_p(X_p,Y_p)$

لجميع المتجهات المماسية قالب:تعبير رياضيو قالب:تعبير رياضيو التعيين قالب:تعبير رياضيهو تحول خطي من قالب:تعبير رياضيإلى قالب:تعبير رياضي، ويترتب على تعريف عدم الانحلال أن الكيرنل ل قالب:تعبير رياضييُخفض إلى الصفر، وبالتالي من خلال نظرية الرتبة-الصفرية؛ فإن قالب:تعبير رياضيهو تماثل خطي، علاوةً على ذلك قالب:تعبير رياضيعبارة عن تحول خطي متماثل بمعنى أن:

$[S_g{X}_p,Y_p]=[S_g{Y}_p,X_p]$

لجميع متجهات المماس قالب:تعبير رياضيو قالب:تعبير رياضي.

على العكس من ذلك فإن أي تماثل خطي قالب:تعبير رياضيمُعرّفًا شكلًا ثنائيًا خطيًا غير منحل على قالب:تعبير رياضيعن طريق:

$g_S(X_p,Y_p)=[S{X}_p,Y_p].$

هذا الشكل الخطي متماثل إذا وفقط إذا كانت قالب:Mvar متماثلة، وبالتالي هناك تطابق طبيعي واحد لواحد بين الأشكال ثنائية الخطية المتماثلة فيقالب:تعبير رياضيوالتماثل الخطي المتماثل في قالب:تعبير رياضيللمزدوج قالب:تعبير رياضي.

نظرًا لأن قالب:Mvar يتغير في قالب:Mvar، ويعرف قالب:تعبير رياضيقِسمًا من حزمة قالب:تعبير رياضيمن تماثل حزمة متجه حزمة المماس إلى حزمة ظل التمام، هذا القسم له نفس نعومة قالب:Mvar: إنه مستمر، أو قابل للتفاضل، أو ناعم، أو تحليلي حقيقي وفقًا لـ قالب:Mvar، تمثيل قالب:تعبير رياضيالذي يرتبط بكل حقل المتجهات الموجود على قالب:Mvar يعطي حقل المتجهات المشترك على قالب:Mvar صيغة مجردة لـ «خافض المؤشر» في حقل متجه، ومعكوس قالب:تعبير رياضيهو تعيين قالب:تعبير رياضيوالذي بالقيياس يعطي صيغة مجردة لـ «رافع المؤشر» في حقل المتجهات المشترك.

المعكوس قالب:تعبير رياضييعرّف التعيين الخطي على أنه:

$S_g^{-1}:{\mathrm{T}}^{*}M\to \mathrm{T}M$

وهو غير أحادي ومتماثل بمعنى أن:

$[S_g^{-1}\alpha ,\beta ]=[S_g^{-1}\beta ,\alpha ]$

لجميع المتجهات المشتركة: قالب:Mvar وقالب:Mvar، يؤدي مثل هذا التعيين المتماثل غير أحادي إلى ظهور الخريطة من خلال دالة الموتر-هوم (Hom):

${\mathrm{T}}^{*}M\otimes {\mathrm{T}}^{*}M\to 𝐑$

أو عن طريق تماثل مزدوج ثنائي لجزء الضرب الموتر:

$\mathrm{T}M\otimes \mathrm{T}M.$

طول القوس وعنصر الخط

افترض أن قالب:Mvar ريماني متري في قالب:Mvar، وفي نظام إحداثيات محلي قالب:تعبير رياضيأن: قالب:تعبير رياضي، فيظهر موتر متري كمصفوفة يُشار إليها هنا بواسطة قالب:تعبير رياضيالتي تكون مدخلاتها هي المُرَكِّبات قالب:تعبير رياضيللموتر المتري بالنسبة لحقول المتجهات الإحداثية.

لنفترض أن قالب:تعبير رياضيمنحنى حدودي قابل للتفاضل متعدد المتغيرات في قالب:Mvar لقالب:تعبير رياضي، يُحدد طول القوس من خلال:

$L=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{\sum _{i,j=1}^n{g}_{ij}(\gamma (t))(\frac{d}{dt}{x}^i\circ \gamma (t))(\frac{d}{dt}{x}^j\circ \gamma (t))}dt$

فيما يتعلق بهذا التطبيق الهندسي هو الشكل التفاضلي التربيعي:

$d{s}^2=\sum _{i,j=1}^n{g}_{ij}(p)d{x}^{i}d{x}^j$

يسمى الشكل الأساسي الأول المرتبط بالمتري، وبينما قالب:Mvar هو عنصر الخط، فإنه عندما تُسحب قالب:تعبير رياضيمرةً أخرى إلى صورة المنحنى في قالب:Mvar فهي تمثل مربع التفاضل بالنسبة لطول القوس.

بالنسبة للريماني المتري الزائف لا يتم تعريف معادلة الطول أعلاه دائمًا؛ لأن الحد تحت الجذر التربيعي قد يصبح سالبًا، وبشكلٍ عام نحن فقط نحدد طول المنحنى عندما تكون الكمية الموجودة تحت الجذر التربيعي علامة واحدة أو أخرى دائمًا، ففي هذه الحالة يُحدد بواسطة:

$L=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{|\sum _{i,j=1}^n{g}_{ij}(\gamma (t))(\frac{d}{dt}{x}^i\circ \gamma (t))(\frac{d}{dt}{x}^j\circ \gamma (t))|}dt$

لاحظ أنه بينما تستخدم هذه الصيغ التعبيرات الإحداثية إلا أنها في الواقع مستقلة عن الإحداثيات المُختارة؛ حيث تعتمد هذه الصيغ فقط على المتري والمنحنى على طول الصيغ المُكاملة.

الطاقة والمبادئ المتغيرة والجيوديسية

بالنظر إلى جزء من منحنى ما هناك كمية أخرى محددة بشكل متكرر وهي الطاقة الحركية للمنحنى:

$E=\frac{1}{2}\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sum _{i,j=1}^n{g}_{ij}(\gamma (t))(\frac{d}{dt}{x}^i\circ \gamma (t))(\frac{d}{dt}{x}^j\circ \gamma (t))dt$

يأتي هذا الاستخدام من الفيزياء تحديداً الميكانيكا الكلاسيكية، حيث يمكن ملاحظة أن التكامل قالب:Mvar على أنه يتوافق مباشرةً مع الطاقة الحركية لجسم نقطي يتحرك على سطح متشعب؛ لذلك على سبيل المثال في صيغة ياكوبي لمبدأ موبرتويس يمكن ملاحظة الموتر المتري على أنه يتوافق مع كتلة الموتر للجسم المتحرك.

في كثير من الحالات، كلما دعت عملية حسابية إلى استخدام الطول يمكن إجراء حساب مماثل باستخدام الطاقة أيضًا، وهذا غالبًا ما يؤدي إلى أبسط الصيغ عن طريق تجنب الحاجة إلى استخدام الجذر التربيعي، وبالتالي على سبيل المثال يمكن الحصول على المعادلات الجيوديسية من خلال تطبيق مبادئ التغيير إما على الطول أو الطاقة، في الحالة الأخيرة يُنظر إلى المعادلات الجيوديسية على أنها تنشأ من مبدأ الفعل الأدنى، فهي تصف حركة «الجسم الحر» (يشعر الجسم بعدم وجود قوى تؤثر عليه) المقيد بالتحرك في المتشعب ولكنه يتحرك بحرية مع زخم ثابت داخل المتشعب.

قياس كنسي وشكل الحجم

بالتشابه مع حالة الأسطح فإن الموتر المتري على متشعب باراكومباكت قالب:Mvar ذو أبعاد عدد قالب:Mvar يعطي ظهور لطريقة طبيعية لقياس حجم الأبعاد قالب:Mvar لمجموعات فرعية من المتشعب، ويسمح مقياس بورل الطبيعي الناتج لتطوير نظرية الاقترانات المُكامَلة في المشعب عن طريق الوسائل المرتبطة بتكامل لوبيغ.

يمكن تعريف المتري من خلال نظرية ريسز التمثيلية، ومن خلال إعطاء دالة خطية موجبة قالب:Mvar في الفضاء قالب:تعبير رياضيلاقتران مستمر مدعوم مختصر في قالب:Mvar، بتعبيرٍ أدق إذا كان قالب:Mvar مشعب مع موتر متري ريماني زائف قالب:Mvar فهناك مقياس بوريل موجب فريد قالب:تعبير رياضيمثل أي مخطط إحداثي قالب:تعبير رياضيفإن:

$\mathrm{\Lambda }f=\underset{U}{\int }fd{\mu }_g=\underset{\phi (U)}{\int }f\circ {\phi }^{-1}(x)\sqrt{|\det g|}dx$

لجميع قالب:Mvar المدعومة في قالب:Mvar، وهناقالب:تعبير رياضيهو محدد المصفوفة المكونة من مُرَكِّبات الموتر المتري في المخطط الإحداثي، وقالب:Mvar محدد جيد للاقترانات المدعومة في منطقة الإحداثيات مُسوغ من خلال التغيير الياكوبي للمتغيرات، ويمتد إلى دالة خطية موجبة فريدة في قالب:تعبير رياضيبواسطة وسائل تقسيم الوحدة.

إذا كان قالب:Mvar موجه أيضًا فمن الممكن تحديد شكل الحجم الطبيعي من الموتر المتري، ففي نظام إحداثيات موجه موجب قالب:تعبير رياضيفإن نموذج الحجم يُمثل مثل التالي:

$\omega =\sqrt{|\det g|}d{x}^1\wedge \cdots \wedge d{x}^n$

حيث قالب:تعبير رياضيهي الإحداثية التفاضلية، وتشير قالب:تعبير رياضيإلى الضرب الخارجي في جبر الأشكال التفاضلية، ويعطي شكل الحجم أيضًا طريقة لتكامل الاقترانات الموجودة في المشعب، وهذا التكامل الهندسي يتوافق مع التكامل الذي حُصل عليه بواسطة مقياس بوريل الكنسي.

أمثلة

متري إقليدي

المثال الأكثر شيوعًا في الهندسة الإقليدية الأولية هو الموتر الإقليدي ثنائي الأبعاد، ففي الإحداثيات المعتادة قالب:تعبير رياضييمكننا كتابة:

$g=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$

طول المنحنى يُختصر للصيغة التالية:

$L=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{(dx{)}^2+(dy{)}^2}$

يمكن كتابة المتري الإقليدي في بعض أنظمة الإحداثيات الشائعة الأخرى على النحو التالي:

في الإحداثيات القطبية قالب:تعبير رياضي:

$\begin{array}{cc}x& =r\cos \theta \\ y& =r\sin \theta \\ J& =\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -r\sin \theta \\ \sin \theta & r\cos \theta \end{array}\right]\end{array}$

لذلك:

$g=J^{𝖳}J=\left[\begin{array}{cc}{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta & -r\sin \theta \cos \theta +r\sin \theta \cos \theta \\ -r\cos \theta \sin \theta +r\cos \theta \sin \theta & r^2{\sin }^2\theta +r^2{\cos }^2\theta \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& r^2\end{array}\right]$

عن طريق المطابقات المثلثية.

بشكل عام في نظام الإحداثيات الديكارتية قالب:تعبير رياضيفي الفضاء الإقليدي، والمشتقات الجزئية قالب:تعبير رياضيمتعامدة بالنسبة للإقليدي المتري؛ لذلك فإن الموتر المتري هو دلتا كرونكر δ_ij في نظام الإحداثيات هذا. الموتر المتري بالنسبة للإحداثيات التقريبية ربما تكون منحنية قالب:تعبير رياضيتُعطى بواسطة:

$g_{ij}=\sum _{kl}{\delta }_{kl}\frac{\partial x^k}{\partial q^i}\frac{\partial x^l}{\partial q^j}=\sum _k\frac{\partial x^k}{\partial q^i}\frac{\partial x^k}{\partial q^j}$

المتري الدائري في الكرة

كرة الوحدة في قالب:تعبير رياضيتأتي مزودةً بمقياس طبيعي ناتج من المتري الإقليدي المحيط من خلال العملية الموضحة في قسم المتري المستحث، في الإحداثيات الكروية القياسية قالب:تعبير رياضيمع قالب:تعبير رياضيالخطية، والزاوية المقاسة من المحور z ، والزاويةقالب:Mvar المقاسة من المحور قالب:Mvar في المستوى قالب:Mvar؛ فإن المتري يأخذ الشكل:

$g=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& {\sin }^2\theta \end{array}\right]$

عادةً تُكتب على هذا النموذج:

$d{s}^2=d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\phi }^2$

لورنتزيان المتري في النسبية

في فضاء مينكوفسكي المسطح في النسبية الخاصة ومع الإحداثيات:

$r^{\mu }\to (x^0,x^1,x^2,x^3)=(ct,x,y,z)$

اعتمادًا على اختيار شكل متري فإن المتري هو:

$g=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right]\text{وأ}g=\left[\begin{array}{cccc}-1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

بالنسبة لمنحنى مع إحداثيات زمنية ثابتة على سبيل المثال؛ فإن صيغة الطول لهذا المتري تُقلل إلى صيغة الطول المعتادة، حيث أنه لمثل منحنى الوقت صيغة الطول تُعطي الزمن المناسب على طول المنحنى.

في هذه الحالة تُكتب فترة الزمكان بالشكل التالي:

$d{s}^2=c^{2}d{t}^2-d{x}^2-d{y}^2-d{z}^2=d{r}^{\mu }d{r}_{\mu }=g_{\mu \nu }d{r}^{\mu }d{r}^{\nu }$

مصفوفة شوارزشيلد يصف الزمكان حول جسم كروي متماثل ككوكب أو ثقب أسود مع الإحداثيات التالية:

$(x^0,x^1,x^2,x^3)=(ct,r,\theta ,\phi )$

يمكننا كتابة المتري كـالآتي:

$g_{\mu \nu }=\left[\begin{array}{cccc}(1-\frac{2GM}{r{c}^2})& 0& 0& 0\\ 0& -{(1-\frac{2GM}{r{c}^2})}^{-1}& 0& 0\\ 0& 0& -r^2& 0\\ 0& 0& 0& -r^2{\sin }^2\theta \end{array}\right]$

حيث قالب:Mvar داخل المصفوفة: هو ثابت الجاذبية ويمثل قالب:Mvar إجمالي محتوى الطاقة والكتلة للجسم المركزي.

انظر أيضًا

• مقدمة لرياضيات النسبية العامة
• حساب ريتشي

مراجع

• قالب:استشهاد
• قالب:استشهاد.
• قالب:استشهاد translated by A. M. Hiltebeitel and J. C. Morehead; "Disquisitiones generales circa superficies curvas", Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores Vol. VI (1827), pp. 99–146.
• قالب:استشهاد.
• قالب:استشهاد.
• قالب:استشهاد.
• قالب:استشهاد.
• قالب:استشهاد (to appear).
• قالب:استشهاد
• قالب:استشهاد
• قالب:استشهاد
• قالب:استشهاد
• قالب:استشهاد