متوسط حسابي هندسي

بيان للمتوسط الحسابي الهندسي $\mathrm{agm}(1,x)$ بين عدة قالب:وإو.

في الرياضيات، يعرف المتوسط الحسابي الهندسي أو الوسط الحسابي الهندسي قالب:إنج لعددين حقيقيين موجبين x و y على النحو التالي:

نسمي قالب:تعبير رياضي و قالب:تعبير رياضي :قالب:تعبير رياضي و قالب:تعبير رياضي:

$\begin{array}{cc}{a}_0& =x,\\ g_0& =y.\end{array}$

ثم نقم بتعريف التسلسلين المترابطين قالب:تعبير رياضي و قالب:تعبير رياضي كـ:

$\begin{array}{cc}{a}_{n+1}& =\frac{1}{2}(a_n+g_n),\\ g_{n+1}& =\sqrt{a_n{g}_n},\end{array}$

حيث يأخذ الجذر التربيعي القيمة الرئيسية (قيمة موجبة). تتقارب هتان المتتاليتان إلى نفس العدد، المتوسط الحسابي الهندسي لـ x و y ؛ يُشار إليه بـ قالب:تعبير رياضي، أو أحيانًا بـ قالب:تعبير رياضي.

يستخدم الوسط الحسابي الهندسي في الخوارزميات السريعة للدوال الأسية والمثلثية، وكذلك بعض الثوابت الرياضية، بالأخص حساب [[ط (رياضيات)|الثابت قالب:تعبير رياضي]].

الأمثلة

لإيجاد المتوسط الحسابي والهندسي لـ قالب:تعبير رياضي و قالب:تعبير رياضي ، نكرر ما يلي:

$\begin{array}{ccccc}{a}_1& =& \frac{1}{2}(24+6)& =& 15\\ g_1& =& \sqrt{24\cdot 6}& =& 12\\ a_2& =& \frac{1}{2}(15+12)& =& 13.5\\ g_2& =& \sqrt{15\cdot 12}& =& 13.4164078649\dots \\ & & ⋮& & \end{array}$

تعطي التكرارات الخمس الأولى القيم التالية:

قالب:تعبير رياضي	قالب:تعبير رياضي	قالب:تعبير رياضي
0	24	6
1	قالب:سطر تحتي5	قالب:سطر تحتي2
2	قالب:سطر تحتي.5	قالب:سطر تحتي.416 407 864 998 738 178 455 042...
3	قالب:سطر تحتي 203 932 499 369 089 227 521...	قالب:سطر تحتي 139 030 990 984 877 207 090...
4	قالب:سطر تحتي45 176 983 217 305...	قالب:سطر تحتي06 053 858 316 334...
5	قالب:سطر تحتي20...	قالب:سطر تحتي06...

يتضاعف عدد الأرقام قالب:تعبير رياضي و قالب:تعبير رياضي المتفقة (تحتها خط) تقريبًا مع كل تكرار. المتوسط الحسابي و الهندسي لـ 24 و 6 هو الحد المشترك لهتين المتتاليتين، وهو تقريبا:

قالب:Val.

نبذة تاريخية

ظهرت الخوارزمية الأولى القائمة على هذا الزوج من المتتاليات في أعمال لاغرانج. وحلّل خصائصه غاوس.

خصائص

المتوسط الهندسي لعددين موجبين لا يكون أكبر من المتوسط الحسابي.  ونتيجة لذلك ، بالنسبة إلى قالب:تعبير رياضي، قالب:تعبير رياضي هي متتالية متزايدة، قالب:تعبير رياضي هي متتالية متناقصة، و قالب:تعبير رياضي. هذه هي متباينة قطعية إذا كان قالب:تعبير رياضي.

وبالتالي فإن قالب:تعبير رياضي هو عدد محصور بين المتوسط الهندسي والمتوسط الحسابي لـ x و y؛ وهي أيضًا محصورة بين x وy.

إذا كان قالب:تعبير رياضي، فإن قالب:تعبير رياضي.

هناك الشكل التكاملي لـ قالب:تعبير رياضي:

$\begin{array}{cc}M(x,y)& =\frac{\pi }{2}÷\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{d\theta }{\sqrt{x^2{\cos }^2\theta +y^2{\sin }^2\theta }}\\ & =\frac{\pi }{4}\cdot \frac{x+y}{K\left(\frac{x-y}{x+y}\right)}\end{array}$

حيث قالب:تعبير رياضي هو التكامل الإهليلجي التام من النوع الأول:

$K(k)=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{d\theta }{\sqrt{1-k^2{\sin }^2(\theta )}}$

في الواقع، بما أن العملية الحسابية الهندسية تتقارب بسرعة كبيرة، فإنها توفر طريقة فعالة لحساب التكامل الإهليلجي من خلال هذه الصيغة.