مبرهنة التدرج

قالب:تفاضل وتكامل تنص مبرهنة التدرج قالب:إنج، والمعروفة أيضًا باسم المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل للتكاملات الخطية، أنه يمكن تقييم تكامل خطي من خلال حقل التدرج من خلال تقييم الحقل السلمي الأصلي في نقاط النهاية للمنحنى. المبرهنة هي تعميم المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل لأي منحنى في مستوى أو فضاء (بشكل عام n الأبعاد) بدلاً من مجرد الخط الحقيقي.

لتكن قالب:تعبير رياضي دالة قابلة للاشتقاق باستمرار و قالب:Mvar أي منحنى في U يبدأ عند قالب:تعبير رياضي وينتهي عند قالب:تعبير رياضي. تنص المبرهنة على أن:

$\underset{\gamma }{\int }\mathrm{\nabla }\phi (𝐫)\cdot \mathrm{d}𝐫=\phi \left(𝐪\right)-\phi \left(𝐩\right)$

(حيث تشير قالب:تعبير رياضي إلى تدرج الحقل المتجهي لـ قالب:تعبير رياضي)

تستلزم نظرية التدرج بأن التكاملات الخطية عبر حقول التدرج مستقلة عن المسار.  في الفيزياء هذه المبرهنة هي إحدى طرق تعريف القوة المحافظة. بوضع قالب:Mvar ككمون، قالب:تعبير رياضي هو حقل محافظ. لا يعتمد الشغل الذي تقوم به القوى المحافظة على المسار الذي يتبعه الكائن، ولكن يعتمد فقط على نقاط النهاية، كما تظهر المعادلة أعلاه.

إثبات

إذا كانت قالب:Mvar دالة قابلة للتفاضل من المجموعة الجزئية المفتوحة قالب:Mvar (لـ قالب:تعبير رياضي) نحو قالب:تعبير رياضي، وإذا كانت قالب:تعبير رياضي دالة قابلة للتفاضل من الفترة المغلقة قالب:تعبير رياضي نحو قالب:Mvar، حسب قاعدة السلسلة متعددة المتغيرات، فإن الدالة المركبة قالب:تعبير رياضي قابلة للتفاضل على قالب:تعبير رياضي و:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\phi \circ 𝐫)(t)=\mathrm{\nabla }\phi (𝐫(t))\cdot {𝐫}^{\prime }(t)$

لكل قالب:Mvar في قالب:تعبير رياضي. هنا، تشير " قالب:تعبير رياضي " إلى الجداء الداخلي.

نفترض الآن أن المجال قالب:Mvar لـ قالب:Mvar يحتوي على المنحنى القابل للتفاضل قالب:Mvar بنقاط النهاية قالب:تعبير رياضي و قالب:تعبير رياضي, (موجه في الاتجاه من قالب:تعبير رياضي إلى قالب:تعبير رياضي). إذا كانت قالب:تعبير رياضي توسِّط قالب:Mvar من أجل قالب:Mvar في الفترة قالب:تعبير رياضي، فإن ما ورد أعلاه يوضح ما يلي:

$\begin{array}{cc}\underset{\gamma }{\int }\mathrm{\nabla }\phi (𝐮)\cdot \mathrm{d}𝐮& =\underset{a}{\overset{b}{\int }}\mathrm{\nabla }\phi (𝐫(t))\cdot {𝐫}^{\prime }(t)\mathrm{d}t\\ & =\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{d}{dt}\phi (𝐫(t))\mathrm{d}t=\phi (𝐫(b))-\phi (𝐫(a))=\phi \left(𝐪\right)-\phi \left(𝐩\right)\end{array}$

حيث تُستخدَم تعريف التكامل الخطي في المساواة الأولى، وتُستخدَم المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل في المساواة الثالثة.