معادلة الزخم لكوشي

معادلة الزخم لكوشي هي معادلة تفاضلية جزئية متجهية وضعها كوشي تصف انتقال الزخم غير النسبي في أي مادة متصلة . بشكل لاغراني أو بالحمل تكتب:

$\frac{D𝐮}{Dt}=\frac{1}{\rho }\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{\sigma }+𝐠$

حيث:

قالب:Mvar :تمثل الكثافة عند نقطة داخل المادة المتصلة (التي تطبق عليها معادلة الاستمرارية)،

قالب:Math: تمثل ممتد الإجهاد،

قالب:Math:تحتوي كل قوى الجسم لكل وحدة كتلة (غالبًا تسارع الجاذبية)،

قالب:Math: تمثل سرعة التدفق (المتجهي)، وتعتمد على الموقع والزمن.

بعد التغيير المناسب للمتغيرات، يمكن أيضًا كتابتها في شكل حفظ (أو Eulerian):

$\frac{\partial 𝐣}{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅=𝐬$

حيث:

قالب:Math: تمثل كثافة الزخم في زمن ووقت محددين،:قالب:Math: التدفق المرتبط بالكثافة الزخمية،:قالب:Math: تحتوي كل قوى الجسم لكل وحدة حجم.

استنتاج

تطبيق قانون نيوتن الثاني إلى حجم دراسي في مادة متصلة يعطي:

$m{a}_i=F_i$

واستنادا إلى نظرية نقل رينولدز وعلى ترميز مشتقة المواد:

$\begin{array}{cc}\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\rho \frac{D{u}_i}{Dt}dV& =\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }{\mathrm{\nabla }}_j{\sigma }_i^{j}dV+\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\rho g_{i}dV\\ \underset{\mathrm{\Omega }}{\int }(\rho \frac{D{u}_i}{Dt}-{\mathrm{\nabla }}_j{\sigma }_i^j-\rho g_i)dV& =0\\ \rho \frac{D{u}_i}{Dt}-{\mathrm{\nabla }}_j{\sigma }_i^j-\rho g_i& =0\\ \frac{D{u}_i}{Dt}-\frac{{\mathrm{\nabla }}_j{\sigma }_i^j}{\rho }-g_i& =0\end{array}$

حيث قالب:Mvar تمثل الحجم الدراسي.

بما ان هذه المعادلة يجب ان تنطبق على كل حجم دراسي، فانه يجب ان يكون قيمة التكامل لها صفرًا، ومن هنا تكمل معادلة الزخم لكوشي.

الخطوة الأهم في استنتاج هذه المعادلة هو البدء بأن مشتقة ممتد الإجهاد هو واحد من القوى التي تكون قالب:Mvar

شكل الحفظ

يمكن كتابة معادلات كوشي بالشكل التالي،

$\frac{\partial 𝐣}{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅=𝐬$

ببساطة عن طريق تعريف:

$\begin{array}{cc}𝐣& =\rho 𝐮\\ 𝐅& =\rho 𝐮\otimes 𝐮-\mathit{\sigma }\\ 𝐬& =\rho 𝐠\end{array}$

حيث:

قالب:Math: هو كثافة الزخم عند نقطة محددة في المادة المتصلة (التي تطبق عليها معادلة الاستمرارية ) ،

قالب:Math : يمثل التدفق المرتبط بكثافة الزخم،

ويحتوي قالب:Math على كل قوى الجسم لكل وحدة حجم. قالب:Math هو ناتج من السرعة u.

هنا قالب:Math و قالب:Math لهما نفس عدد الأبعاد قالب:Mvar كسرعة التدفق و تسارع الجسم،

بينما قالب:Math ، كونه ممتد (موتر) ، لديه قالب:Math .

في صيغ أويلريان، من الواضح أن افتراض عدم وجود إجهاد منحرف يجعل معادلات كوشي تمثل معادلات أويلر.

تسارع الحمل

مثال على تسارع الحمل. يكون التدفق ثابتًا (مستقل عن الوقت) ، لكن السائل يتباطأ أثناء تحركه لأسفل القناة المتباعدة (بافتراض تدفق غير قابل للضغط ).