تحويلات نجمية مثلثية

دائرة واي نجمية (Y) ودائرة دلتا (Δ) مثلثة

تحويلة نجمية مثلثية (تحويلة Y-Δ)، يمكن تسميتها أيضا بتحويلة واي دلتا، هي طريقة رياضية لتبسيط تحليل الدوائر الكهربائية. يرجع الفضل في اكتشاف تلك الطريقة إلى عالم الرياضيات إيرلندي المولد أمريكي الجنسية آرثر إدوين كينلي الذي اكتشفها في عام 1899. تستخدم الطريقة على نطاق واسع في تحليل الدوائر الكهربائية ثلاثية الطور.

يمكن اعتبار التحويلة النجمية المثلثية حالة خاصة من تحويلة الشبكة النجمية لثلاثة مقاومات. في الرياضيات، تلعب التحويلة دوراً هامّاً في نظرية الرسوم البيانية المستوية الدائرية.

التسمية

تحويلة ستار دلتا.

يُشتق الاسم الإنكليزي الاسم من أشكال مخططات الرسم البياني فالنجمة تشبة الحرف Y والمثلث هو حرف يوناني قديم Δ.

للتحويلة مجموعة كبيرة من الأسماء المشهورة بها، يستند معظمها إلى الأشكال. فعلى سبيل المثال، يمكن أن يطلق على الشكل Y ستار، وي أو تي، بينما يمكن تسمية رمز Δ دلتا، المثلث، باي Π أو ميش. لذلك تحويلة ستار دلتا هي نفسها وي دلتا، ستار ميش أو T-Π.

التحويلات

دائرة Y ودائرة Δ، التي تعتمد عليها هذه المقالة.

تستخدم الطريقة لإيجاد دائرة مكافئة بسيطة بثلاثة أطراف للدوائر المعقدة. في دوائر الدلتا يشترك كل عنصرين في عقدة بينما في حالة الستار يشترك الثلاث عناصر في عقدة واحدة.

تحويل من مثلث إلى نجمة

الفكرة العامة هي إيجاد المقاومة $R_{\text{Y}}$ لأي عنصرين $R^{\prime }$, $R^{″}$ بشرط أن يكونوا متجاورين من المعادلة التالية:

$R_{\text{Y}}=\frac{R^{\prime }{R}^{″}}{\sum R_{\mathrm{\Delta }}}$

حيث $R_{\mathrm{\Delta }}$ هي المقاومة الكلية لدائرة دلتا Δ.
لتحويل كل عنصر من دلتا إلى ستار من المعادلة التالية:

$\begin{array}{cc}{R}_1& =\frac{R_{\text{b}}{R}_{\text{c}}}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}\\ R_2& =\frac{R_{\text{a}}{R}_{\text{c}}}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}\\ R_3& =\frac{R_{\text{a}}{R}_{\text{b}}}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}\end{array}$

تحويل من نجمة إلى مثلث

الفكرة العامة هي الحصول على $R_{\mathrm{\Delta }}$ للدائرة Δ من المعادلة التالية:

$R_{\mathrm{\Delta }}=\frac{R_P}{R_{\text{opposite}}}$

حيث:

$R_P=R_1{R}_2+R_2{R}_3+R_3{R}_1$

هي مجموع كل عنصرين في الدائرة ستار، بينما $R_{\text{opposite}}$ هي العنصر المراد تحويلة إلى دلتا. بذلك تصبح المعادلات كالتالي:

$\begin{array}{cc}{R}_{\text{a}}& =\frac{R_1{R}_2+R_2{R}_3+R_3{R}_1}{R_1}\\ R_{\text{b}}& =\frac{R_1{R}_2+R_2{R}_3+R_3{R}_1}{R_2}\\ R_{\text{c}}& =\frac{R_1{R}_2+R_2{R}_3+R_3{R}_1}{R_3}\end{array}$

أو بالشكل التالي:

$\begin{array}{cc}{Y}_{\text{a}}& =\frac{Y_3{Y}_2}{\sum Y_{\text{Y}}}\\ Y_{\text{b}}& =\frac{Y_3{Y}_1}{\sum Y_{\text{Y}}}\\ Y_{\text{c}}& =\frac{Y_1{Y}_2}{\sum Y_{\text{Y}}}\end{array}$

تبسيط الدوائر

يمكن أن تستخدم التحويلة أكثر من مرة في نفس الدائرة المعقدة لتبسيطها، فعلى سبيل المثال يمكن استخدام تحويلة دلتا ستار لحل عقدة ثم تحويلة ستار دلتا لتبسيط عقدة أخرى، كما هو موضح في الأشكال التالية:

تحويلة دائرة ستار إلى دائرة دلتا ثم تبسيط الدائرة أكثر لحلها.

نفس الدائرة يمكن تبسيطها باستخدام تحويلة دلتا إلى ستار.

نظرية البيان

في نظرية البيان، تعني التحويلات النجمية المثلثية استبدال مخطط Y إلى مخطط Δ مع الاحتفاظ بقيمة المقاومات المكافئة، لكن ليس عدد العناصر. فعلى سبيل المثال، يمكن تحويل 3 أشكال دلتا إلى شكل Y وحيد في ثلاث خطوات.

البرهنة

معادلات تحويل مثلث إلى نجمة

دائرتي Δ و Y.

لتحويل العناصر $\{R_{\text{a}},R_{\text{b}},R_{\text{c}}\}$ من المثلث Δ إلى $\{R_1,R_2,R_3\}$ في النجمة Y. تُربَط بداية كل عنصر ونهايته بالعقد. يمكن ملاحظة أن العقد N₁ و N₂ و N₃ يكونوا مثلث Δ:

$\begin{array}{cc}{R}_{\mathrm{\Delta }}(N_1,N_2)& =R_{\text{c}}\parallel (R_{\text{a}}+R_{\text{b}})\\ & =\frac{1}{\frac{1}{R_{\text{c}}}+\frac{1}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}}}\\ & =\frac{R_{\text{c}}(R_{\text{a}}+R_{\text{b}})}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}\end{array}$

للتبسيط، نجعل $R_{\text{T}}$ هي حاصل جمع العناصر التالية $\{R_{\text{a}},R_{\text{b}},R_{\text{c}}\}$.

$R_{\text{T}}=R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}$

المقاومة بين العقدة N₁ والعقدة N₂ في الدائرة Δ:

$R_{\mathrm{\Delta }}(N_1,N_2)=\frac{R_{\text{c}}(R_{\text{a}}+R_{\text{b}})}{R_{\text{T}}}$

تكون المقاومة المكافئة في الدائرة Y:

$R_{\text{Y}}(N_1,N_2)=R_1+R_2$

بالتالي:

$R_1+R_2=\frac{R_{\text{c}}(R_{\text{a}}+R_{\text{b}})}{R_{\text{T}}}$   (1)

وبالمثل في حالة $R(N_2,N_3)$:

$R_2+R_3=\frac{R_{\text{a}}(R_{\text{b}}+R_{\text{c}})}{R_{\text{T}}}$   (2)

وبالمثل أيضا في حالة $R(N_1,N_3)$:

$R_1+R_3=\frac{R_{\text{b}}(R_{\text{a}}+R_{\text{c}})}{R_{\text{T}}}.$   (3)

وبالتالي يمكن استنتاج قيم $\{R_1,R_2,R_3\}$ عن طريق عمليات الجمع والطرح.
على سبيل المثال يمكن جمع كل من معادلة (1) و (3) ثم طرح الناتج من معادلة (2)، كالتالي:

$\begin{array}{cc}{R}_1+R_2+R_1+R_3-R_2-R_3& =\frac{R_{\text{c}}(R_{\text{a}}+R_{\text{b}})}{R_{\text{T}}}+\frac{R_{\text{b}}(R_{\text{a}}+R_{\text{c}})}{R_{\text{T}}}-\frac{R_{\text{a}}(R_{\text{b}}+R_{\text{c}})}{R_{\text{T}}}\\ \Rightarrow 2R_1& =\frac{2R_{\text{b}}{R}_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}\\ \Rightarrow R_1& =\frac{R_{\text{b}}{R}_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}.\end{array}$

لتكون المعادلة النهائية بالشكل التالي:

$R_1=\frac{R_{\text{b}}{R}_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}$ (4)

$R_2=\frac{R_{\text{a}}{R}_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}$ (5)

$R_3=\frac{R_{\text{a}}{R}_{\text{b}}}{R_{\text{T}}}$ (6)

معادلات تحويل نجمة إلى مثلث

نجعل

$R_{\text{T}}=R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}$.

يمكن استخلاص معادلات Δ من Y:

$R_1=\frac{R_{\text{b}}{R}_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}$   (1)

$R_2=\frac{R_{\text{a}}{R}_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}$   (2)

$R_3=\frac{R_{\text{a}}{R}_{\text{b}}}{R_{\text{T}}}.$   (3)

بضرب كل معادلتين، يكون شكل المعادلات كالتالي:

$R_1{R}_2=\frac{R_{\text{a}}{R}_{\text{b}}{R}_{\text{c}}^2}{R_{\text{T}}^2}$   (4)

$R_1{R}_3=\frac{R_{\text{a}}{R}_{\text{b}}^2{R}_{\text{c}}}{R_{\text{T}}^2}$   (5)

$R_2{R}_3=\frac{R_{\text{a}}^2{R}_{\text{b}}{R}_{\text{c}}}{R_{\text{T}}^2}$   (6)

ثم جمع المعادلات، لتكون المعادلة كالتالي:

$R_1{R}_2+R_1{R}_3+R_2{R}_3=\frac{R_{\text{a}}{R}_{\text{b}}{R}_{\text{c}}^2+R_{\text{a}}{R}_{\text{b}}^2{R}_{\text{c}}+R_{\text{a}}^2{R}_{\text{b}}{R}_{\text{c}}}{R_{\text{T}}^2}$   (7)

بأخذ $R_{\text{a}}{R}_{\text{b}}{R}_{\text{c}}$ عامل مشترك في الطرف الأيمن، فتظهر $R_{\text{T}}$ ثم اختصارها مع $R_{\text{T}}$ الموجودة في المقام.

$\begin{array}{cc}{R}_1{R}_2+R_1{R}_3+R_2{R}_3& =\frac{\left(R_{\text{a}}{R}_{\text{b}}{R}_{\text{c}}\right)(R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}})}{R_{\text{T}}^2}\\ & =\frac{R_{\text{a}}{R}_{\text{b}}{R}_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}\end{array}$ (8)

بعد قسمة (8) على (1):

$\begin{array}{cc}\frac{R_1{R}_2+R_1{R}_3+R_2{R}_3}{R_1}& =\frac{R_{\text{a}}{R}_{\text{b}}{R}_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}\frac{R_{\text{T}}}{R_{\text{b}}{R}_{\text{c}}}\\ & =R_{\text{a}},\end{array}$

وبالتالي نحصل على $R_{\text{a}}$ في دائرة دلتا. وبالمثل قسمة (8) على (2) مرة وعلى (3) مرة أخرى لنحصل على $R_{\text{b}}$ , $R_{\text{c}}$

انظر أيضا

• دائرة كهربائية
• تحويلة ستار ميش
• ثلاثي الأطوار

وصلات خارجية

• إثبات تحويلة ستار دلتا
• أمثلة على تحويلات ستار دلتا