متفاوتة هوغنس

متفاوتة هوغنس على الدائرة المثلثية

متفاوتة هوغنس هي نتيجة رياضية تنص على أنه، في المجال $[0;\frac{\pi }{2}[$ من $ℝ$، المتفاوتة التالية محققة: $\mathrm{\forall }x\in [0;\frac{\pi }{2}[,x\le \frac{2}{3}\cdot \sin x+\frac{1}{3}\cdot \tan x$.

إثبات باستخدام المشتقة

لتكن الدالة العددية الحقيقية f للمتغير الحقيقي x، والمعرفة على المجال $I=[0;\frac{\pi }{2}[$ بما يلي: $f(x)=2\times \sin x+\tan x-3x$

f قابلة للاشتقاق على $I$ و لكل x من$I$ : $f^{\prime }(x)=\frac{2{\cos }^{3}x-3{\cos }^{2}x+1}{{\cos }^{2}x}=\frac{(\cos x-1{)}^2(2\cos x+1)}{{\cos }^{2}x}$.

و بما أن $\mathrm{\forall }x{\cos }^{2}x>0$ و $\mathrm{\forall }x(\cos x-1{)}^2(2\cos x+1)\ge 0$.

فإن، $\mathrm{\forall }x\in [0;\frac{\pi }{2}[,f^{\prime }(x)\ge 0$، و منه f تزايدية على$I$، و بما أن: $f(0)=0$ فإن: $\mathrm{\forall }x\in [0;\frac{\pi }{2}[,f(x)\ge 0\iff \mathrm{\forall }x\in [0;\frac{\pi }{2}[,2\sin x+\tan x\ge 3x$.