متفاوتة بطليموس

متفاوتة بطليموس تهم المسافات بين أربع نقط من فضاء تآلفي إقليدي.

نص المتفاوتة

متفاوتة بطليموس - لتكن A و B و C و D أربع نقط في فضاء تآلفي إقليدي. إذن،

$A B . C D \leq A C . B D + A D . B C$

تستنتج هذه المتفاوتة مباشرة من المتفاوتة المثلثية بالتفاف.

لتكن d c b المتجهات AC AB و AD.

حساب فوري يعطي:

{‖ \frac{b}{‖ b ‖^{2}} - \frac{c}{‖ c ‖^{2}} ‖}^{2} = \frac{1}{‖ b ‖^{2}} - 2 \frac{< b | c >}{‖ b ‖^{2} ‖ c ‖^{2}} + \frac{1}{‖ c ‖^{2}} = \frac{‖ b - c ‖^{2}}{‖ b ‖^{2} ‖ c ‖^{2}}

‖ \frac{b}{‖ b ‖^{2}} - \frac{c}{‖ c ‖^{2}} ‖ = \frac{‖ b - c ‖}{‖ b ‖ . ‖ c ‖}

لنطبق المتفاوتة المثلثية ل $\frac{b}{‖ b ‖^{2}}$ ، $\frac{c}{‖ c ‖^{2}}$ ، $\frac{d}{‖ d ‖^{2}}$ :

$\frac{‖ d - c ‖}{‖ c ‖ . ‖ d ‖} \leq \frac{‖ d - b ‖}{‖ b ‖ . ‖ d ‖} + \frac{‖ b - c ‖}{‖ b ‖ . ‖ c ‖}$

لنضرب هذه المتفاوتة ب $: ‖ b ‖ . ‖ c ‖ . ‖ d ‖$

$‖ b ‖ . ‖ d - c ‖ \leq ‖ c ‖ . ‖ d - b ‖ + ‖ d ‖ . ‖ b - c ‖$

و منه المتفاوتة المطلوبة !