معضلة بازل

قالب:شريط جانبي الثابت باي مسألة بازل أو معضلة بازل هي مسألة في التحليل الرياضي ذات صلة بنظرية الأعداد. طرحها بترو منجولي عام قالب:بحاجة لمصدر وحلها ليونارد أويلر في عام 1734. وقد عَرض الحل في 5 ديسمبر 1735 في أكاديمية سانت بطرسبرغ للعلوم. صمدَت المسألة ضد هجمات علماء الرياضيات البارزين في ذلك العصر. حل أويلر جلب له شهرة فورية وعمره لم يكن يتجاوز الثامنة والعشرين. قام أويلر بتعميم طريقة حله، وقد أخذ برنارد ريمان أفكاره لاحقًا بسنوات في بحثه المنشور عام 1859 بعنوان حول عدد الأعداد الأولية الأصغر من عدد ما، والذي حدد فيه دالة زيتا وأثبت خصائصها الأساسية. سميت المسألة بـمعضلة بازل نسبة إلى المدينة السويسرية بازل، مسقط رأس أويلر والمدينة التي عاشت فيها عائلة برنولي الذين هاجموا المسألة بلا جدوى.

تطالب مسألة بازل بحاصل الجمع الدقيق لمقلوبات مربعات الأعداد الطبيعية، أي حاصل جمع المتسلسلة اللا نهائية:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots$ .

حاصل الجمع التقريبي لهذه المسألة هو 1.644934، ولكن المطلوب هو إيجاد حاصل الجمع الدقيق للمتسلسلة بصورة مبسطة (أي بتعبير منغلق الشكل مثل الكسور)، مع البرهان وهو الذي وجده أويلر قالب:كسر. أعلن عن اكتشافه للحل في عام 1735. استندَت حُجج وبراهين أويلر على نتائج رياضية لم يكن مبرهنا عنهن في ذلك الوقت، على الرغم من أن صحتها ثبتت في وقت لاحق. لم يقدم أويلر برهانا صارما على نتيجته هذه إلا في حدود عام 1741.

نهج أويلر

تحديد أويلر ل قالب:كسر مبني على الدراسة الدقيقة لسلوك كثيرات الحدود المنتهية وافتراض أن خصائصها تنطبق على المتسلسلات اللا نهائية. وبالطبع، تطلب منطق أويلر في الحل تبريرًا (بعد 100 عام، أثبت كارل ويرستراس أن تمثيل أويلر لدالة الجيب متسلسلةً لا نهائية كان صحيحًا، من خلال مبرهنة ويرستراس في التحليل إلى عوامل). لكن حتى من دون مبرر، بفضل الوصول إلى القيمة الصحيحة، والتي تم التأكد منها من خلال جمع حدود منتهية من المتسلسلة. هذا التوافق بين نتيجة أويلر وحاصل جمع تلك الحدود أعطى أويلر ثقة كافية لإعلان نتائجه للمجتمع الرياضي. لمتابعة برهان أويلر، تُستحضر أولًا متسلسلة تايلور مطبقة على دالة الجيب

$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$

قسّم الطرفين على قالب:Mvar

$\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+\cdots$

باستخدام مبرهنة ويرستراس في التحليل إلى عوامل، يُستنتج أن الجانب الأيسر هو حاصل ضرب العوامل الخطية بحلولها، كما نفعل لكثيرات الحدود المنتهية (والذي افترضه أويلر مساعدا لتوسيع درجة كثيرة الحدود اللا نهائية من حيث حلولها، ولكنه بشكل عام ليس دائمًا صحيحًا لكل $P(x)$)

$\begin{array}{cc}\frac{\sin x}{x}& =(1-\frac{x}{\pi })(1+\frac{x}{\pi })(1-\frac{x}{2\pi })(1+\frac{x}{2\pi })(1-\frac{x}{3\pi })(1+\frac{x}{3\pi })\cdots \\ & =(1-\frac{x^2}{{\pi }^2})(1-\frac{x^2}{4{\pi }^2})(1-\frac{x^2}{9{\pi }^2})\cdots \end{array}$

لو ضربنا كل حدود قالب:تعبير رياضي وجمعناهم في جهة (يمكن فعل ذلك، حسب متطابقات نيوتن) سنرى بالاستقراء بأن معامل قالب:تعبير رياضي لـقالب:تعبير رياضي هو:

$-(\frac{1}{{\pi }^2}+\frac{1}{4{\pi }^2}+\frac{1}{9{\pi }^2}+\cdots )=-\frac{1}{{\pi }^2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}.$

ولكن من متسلسلة الجيب الأصلية قالب:تعبير رياضي معامل قالب:تعبير رياضي هو قالب:تعبير رياضي، وعليه فيجب أن يكون هذان المعاملان متساويين، وهكذا:

$-\frac{1}{6}=-\frac{1}{{\pi }^2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}.$

والآن بضرب كِلا الطرفين بـ−قالب:Pi² سنحصل على ناتج هذه المسألة

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}.$

طريقة حساب $\zeta (2)$ مُفصّلة بطريقة مميزة في كتاب جاما هافل قالب:إنج والذي يُورد الكثير من تفاصيل دالة زيتا، والمتسلسلات المتعلقة باللوغارتمات، والتكامل، بالإضافة للمنظور التاريخي المرتبط بثابت أويلر جاما.

دالة زيتا لريمان

دالة زيتا لريمان قالب:تعبير رياضي هي واحدة من أهم الدوال في الرياضيات نظرا لعلاقتها بتوزيع الأعداد الأولية. تعرف دالة زيتا لريمان عند كل عدد عقدي s جزؤه الحقيقي أكبر قطعا من الواحد بالصيغة التالية:

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}.$

إذا كان المتغير s مساويا لاثنين، فإنه يتبين أن $\zeta (2)$ يساوي مجموع مقلوبات مربعات جميع الأعداد الصحيحة الطبيعية :

$\zeta (2)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots =\frac{{\pi }^2}{6}\approx 1.644934.$

يمكن البرهان على تقارب هذه المتسلسلة من خلال ما يلي

$\begin{array}{cc}\sum _{n=1}^N\frac{1}{n^2}& <1+\sum _{n=2}^N\frac{1}{n(n-1)}\\ & =1+\sum _{n=2}^N(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})\\ & =1+1-\frac{1}{N}\stackrel{N\to \mathrm{\infty }}{⟶}2.\end{array}$

يمكن البرهان أيضا على أن ل قالب:تعبير رياضي تعبيرا بسيطا مستعملا أعداد برنولي كلما كان قالب:تعبير رياضي يساوي عددا صحيحا طبيعيا زوجيا. إذا كان قالب:تعبير رياضي فإن :

$\zeta (2n)=\frac{(2\pi {)}^{2n}(-1{)}^{n+1}{B}_{2n}}{2\cdot (2n)!}.$

دليل قاطع باستخدام متسلسلة فورييه

استعمل متطابقة بارسيفال (مطبقةً على الدالة قالب:تعبير رياضي) من أجل الحصول على ما يلي:

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|c_n{|}^2=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{x}^{2}dx,$

حيث

$\begin{array}{cc}{c}_n& =\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}x{e}^{-inx}dx\\ & =\frac{n\pi \cos (n\pi )-\sin (n\pi )}{\pi n^2}i\\ & =\frac{\cos (n\pi )}{n}i\\ & =\frac{(-1{)}^n}{n}i\end{array}$

for قالب:تعبير رياضي, and قالب:تعبير رياضي. Thus,

$|c_n{|}^2=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{n^2},& \text{for }n\ne 0,\\ 0,& \text{for }n=0,\end{array}$

و

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|c_n{|}^2=2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{x}^{2}dx.$

إذن،

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=\frac{1}{4\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{x}^{2}dx=\frac{{\pi }^2}{6}$

وهذا ينهي البرهان.

برهان كوشي

البرهان

يعتمد هذا البرهان على المتراجحة التالية:

$\frac{1}{2}{r}^2\tan \theta >\frac{1}{2}{r}^2\theta >\frac{1}{2}{r}^2\sin \theta$

بقلب حدود هذه المتراجحة وحساب مربعاتهن، يحصل على ما يلي:

${\cot }^2\theta <\frac{1}{{\theta }^2}<{\csc }^2\theta$

حيث $\cot$ هي دالة الظل التمام و$\csc$ هي دالة القاطع التمام.

يتمثل هذا البرهان في الحصول على متسلسة أصغر من مجموع مربعات مقلوبات الأعداد الطبيعية باستعمال هذه الصيغة المثلثية، تؤول إلى ${\pi }^2/6$، والحصول على متسلسلة ثانية أكبر من مجموع مربعات مقلوبات الأعداد الطبيعية تؤول إلى ${\pi }^2/6$، هي الأخرى.

طالِع أيضًا

• دالة زيتا لريمان
• ثابتة أبيري

مراجع

• قالب:استشهاد.
• قالب:استشهاد.
• قالب:استشهاد.
• قالب:استشهاد
• قالب:استشهاد.