تكافؤ منطقي

التكافؤ المنطقي في علم المنطق الرياضياتي هو تكافؤ عبارتين أو افتراضين عندما يتشاركان في المحتوى أو المعنى. فيُقال بأن عبارتين منطقيتين متكافئتان في حال كان لهما نفس القيمة الصحيحة المنطقية. لو اعتبرنا $p$ و $q$ هما العبارتان المنطقيتان المتكافئتان، فيُرمز لها بالرمز الرياضي $p\equiv q$، $\mathsf{\text{E}}pq$ أو $p⟺q$. يمكن التعبير عن التكافؤ المنطقي بالصيغة الشرطية «تكافؤ إذا وفقط إذا».

تكافؤات منطقية

صيغة التكافؤ	الاسم
$p\wedge \mathbf{\text{T}}\equiv p$ $p\vee \mathbf{\text{F}}\equiv p$	قوانين التعريف (identitz laws)
$p\vee \mathbf{\text{T}}\equiv \mathbf{\text{T}}$ $p\wedge \mathbf{\text{F}}\equiv \mathbf{\text{F}}$	قوانين السيطرة (Domination laws)
$p\vee p\equiv p$ $p\wedge p\equiv p$	Idempotent laws
$\mathrm{\neg }(\mathrm{\neg }p)\equiv p$	قانون النفي المزدوج (Double negation law)
$p\vee q\equiv q\vee p$ $p\wedge q\equiv q\wedge p$	قوانين التبادل (Commutative laws)
$(p\vee q)\vee r\equiv p\vee (q\vee r)$ $(p\wedge q)\wedge r\equiv p\wedge (q\wedge r)$	قوانين الترابط (Associative laws)
$p\vee (q\wedge r)\equiv (p\vee q)\wedge (p\vee r)$ $p\wedge (q\vee r)\equiv (p\wedge q)\vee (p\wedge r)$	قوانين التوزيع (Distributive laws)
$\mathrm{\neg }(p\wedge q)\equiv \mathrm{\neg }p\vee \mathrm{\neg }q$ $\mathrm{\neg }(p\vee q)\equiv \mathrm{\neg }p\wedge \mathrm{\neg }q$	قوانين دي مورجان (De Morgan's laws)
$p\vee (p\wedge q)\equiv p$ $p\wedge (p\vee q)\equiv p$	قوانين الإمتصاص (Absorption laws)
$p\vee \mathrm{\neg }p\equiv \mathbf{\text{T}}$ $p\wedge \mathrm{\neg }p\equiv \mathbf{\text{F}}$	قوانين النفي (Negation laws)

تكافؤ رياضي شرطي: (القراءة من اليسار إلى اليمين)

1. $p⟹q\equiv \mathrm{\neg }p\vee q$
2. $p⟹q\equiv \mathrm{\neg }q⟹\mathrm{\neg }p$
3. $p\vee q\equiv \mathrm{\neg }p⟹q$
4. $p\wedge q\equiv \mathrm{\neg }(p⟹\mathrm{\neg }q)$
5. $\mathrm{\neg }(p⟹q)\equiv p\wedge \mathrm{\neg }q$
6. $(p⟹q)\wedge (p⟹r)\equiv p⟹(q\wedge r)$
7. $(p⟹q)\vee (p⟹r)\equiv p⟹(q\vee r)$
8. $(p⟹r)\wedge (q⟹r)\equiv (p\vee q)⟹r$
9. $(p⟹r)\vee (q⟹r)\equiv (p\wedge q)⟹r$

تكافؤ رياضي ثنائي الشرطية：(القراءة من اليسار إلى اليمين)

1. $p⟺q\equiv (p⟹q)\wedge (q⟹p)$
2. $p⟺q\equiv \mathrm{\neg }p⟺\mathrm{\neg }q$
3. $p⟺q\equiv (p\wedge q)\vee (\mathrm{\neg }p\wedge \mathrm{\neg }q)$
4. $\mathrm{\neg }(p⟺q)\equiv p⟺\mathrm{\neg }q$

مثال

نأخذ مثالاً بعبارتين رياضيتين متكافئتين:

1. إذا كانت ليزا من فرنسا، فهي أيضا من أوروبا (بالرموز: $f⟹e$.)
2. إذا لم تكن ليزا في أوروبا، فهي ليست في فرنسا (بالرموز: $\mathrm{\neg }e⟹\mathrm{\neg }f$)

العبارتين (1) و (2) مشتقان من بعضهما البعض عبر قوانين التضاد والنفي المزدوج.

انظر أيضًا

• منطق رياضي
• بوابة منطقية
• بوابة اختيار
• بوابة اقتران
• استتباع منطقي
• عكس استلزام