قاعدة لايبنتز للتكامل

قالب:بطاقة عامة قالب:تفاضل وتكامل قاعدة لايبنتز للتكامل هي قاعدة رياضياتية في حساب التفاضل والتكامل  سميت تيمنا بغوتفريد لايبنتز، والتي تقول أن كل تكامل على شاكلة:

$\underset{a(x)}{\overset{b(x)}{\int }}f(x,t)dt,$

حيث أن  $-\mathrm{\infty }<a(x),b(x)<\mathrm{\infty }$ مشتقته  بالشكل التالي:

$\frac{d}{dx}(\underset{a(x)}{\overset{b(x)}{\int }}f(x,t)dt)=f(x,b(x))\cdot \frac{d}{dx}b(x)-f(x,a(x))\cdot \frac{d}{dx}a(x)+\underset{a(x)}{\overset{b(x)}{\int }}\frac{\partial }{\partial x}f(x,t)dt,$

حيث آن المشتق الجزئي يدل على أن ما داخل التكامل يمكن الأخذ به عندما يكون المتغير f(x, t) x يعتبر في اتخاذ مشتق. لاحظ أنه إذا كان كلا من $a(x)$ و $b(x)$ ثوابت، بمعنى أنّ $a(x)\equiv a$ و $b(x)\equiv b$، فسنحصل على التعبير التّالي:

$\frac{d}{dx}(\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x,t)dt)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{\partial }{\partial x}f(x,t)dt.$

حالة الأبعاد الثلاثة التي تعتمد على الزمن

الشكل 1: حقل متجه F(r, t) محددة في جميع أنحاء الفضاء, سطح Σ يحدها منحنى ∂Σ تتحرك مع سرعة v على حقل دمج.

ان قاعدة لايبنتز للأبعاد الثنائية هي:

$\frac{d}{dt}\underset{\mathrm{\Sigma }(t)}{\iint }𝐅(𝐫,t)\cdot d𝐀=\underset{\mathrm{\Sigma }(t)}{\iint }({𝐅}_t(𝐫,t)+[\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅(𝐫,t)]𝐯)\cdot d𝐀-{\oint }_{\partial \mathrm{\Sigma }(t)}[𝐯\times 𝐅(𝐫,t)]\cdot d𝐬,$

حيث أن:

F(r, t) هو حقل متجه في موقف المكاني r في الوقت t,

Σ هو سطح متنقل في مساحة ثلاثية يحدها منحنى مغلق ∂Σ ،

dA هو متجه عنصر من سطح Σ،

ds هو متجه عنصر من منحنى ∂Σ،

v هي سرعة الحركة من المنطقة Σ،

∇⋅ هو متجه الاختلاف،

× هو متجه عبر المنتج،

إن ضعف التكامل هي التكاملات السطحية على سطح Σ و خط متكامل على إحاطة منحنى ∂Σ.

الأبعاد العليا

يمكن تمديد قانون ليبنيز ليشمل تكاملات في أبعاد متعددة. تسمى في حالة البعدين والثلاثة بمجال ديناميات السوائل كما في نظرية رينولدز للنقل:

$\frac{d}{dt}\underset{D(t)}{\int }F(\overrightarrow{\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">x</mi>}}},t)dV=\underset{D(t)}{\int }\frac{\partial }{\partial t}F(\overrightarrow{\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">x</mi>}}},t)dV+\underset{\partial D(t)}{\int }F(\overrightarrow{\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">x</mi>}}},t){\overrightarrow{\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}}}_b\cdot d\mathrm{\Sigma },$

انظر أيضًا

• قاعدة السلسلة
• قاعدة لايبنيز العامة

مزيد من القراءة

• قالب:استشهاد بكتاب
• قالب:استشهاد بكتاب
• قالب:استشهاد بكتاب