قاعدة الضرب

قالب:تفاضل وتكامل في التحليل الرياضي، قاعدة الضرب (وتدعى أيضًا قانون لايبنتز) قاعدة تستخدم لحساب اشتقاق حاصل ضرب دالتين قابلتين للاشتقاق :

لهذا يمكن القول تبعا لترميز لاغرانج :

(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}

\frac{d}{d x} (u v) = u \frac{d v}{d x} + v \frac{d u}{d x} .

.^[١]^[٢]^[٣]

أمثلة

لنحسب تفاضل $f (x) = \sin (x) \cos (x)$ . حسب قاعدة الضرب لدينا:

\begin{matrix} \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)] & = \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] \\ = - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \\ = 1 - 2 \sin^{2} (x) . \end{matrix}

لتكن $h (x) = f (x) g (x)$ ، ونعتبر أن $g^{'} (x)$ و $f^{'} (x)$ موجودين. لدينا:

\begin{matrix} h^{'} (x) & = \lim_{a \to 0} \frac{h (x + a) - h (x)}{a} = \lim_{a \to 0} \frac{f (x + a) g (x + a) - f (x) g (x)}{a} \\ = \lim_{a \to 0} \frac{f (x + a) g (x + a) - f (x) g (x + a) + f (x) g (x + a) - f (x) g (x)}{a} \\ = \lim_{a \to 0} \frac{[f (x + a) - f (x)] \cdot g (x + a) + f (x) \cdot [g (x + a) - g (x)]}{a} \\ = \lim_{a \to 0} \frac{f (x + a) - f (x)}{a} \cdot \lim_{a \to 0} g (x + a) + \lim_{a \to 0} f (x) \cdot \lim_{a \to 0} \frac{g (x + a) - g (x)}{a} \\ = f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x) . \end{matrix}

قاعدة الضرب يمكن أن تعمم عند حساب اشتقاق أكثر من حدين. على سبيل المثال، اشتقاق جداء ثلاثة حدود يُحسب كما يلي:

\frac{d (u v w)}{d x} = \frac{d u}{d x} v w + u \frac{d v}{d x} w + u v \frac{d w}{d x} .

من أجل حساب اشتقاق جداء عدد معين من الدوال $f_{1}, \dots, f_{k}$ ، يتوفر ما يلي:

\frac{d}{d x} [\prod_{i = 1}^{k} f_{i} (x)] = \sum_{i = 1}^{k} ((\frac{d}{d x} f_{i} (x)) \prod_{j = 1, j \neq i}^{k} f_{j} (x)) = (\prod_{i = 1}^{k} f_{i} (x)) (\sum_{i = 1}^{k} \frac{f'_{i} (x)}{f_{i} (x)}) .

d^{n} (u v) = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) \cdot d^{(n - k)} (u) \cdot d^{(k)} (v) .

(u v)^{(n)} (x) = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) \cdot u^{(n - k)} (x) \cdot v^{(k)} (x) .

{(\prod_{i = 1}^{k} f_{i})}^{(n)} = \sum_{j_{1} + j_{2} + \dots + j_{k} = n} (\binom{n}{j_{1}, j_{2}, \dots, j_{k}}) \prod_{i = 1}^{k} f_{i}^{(j_{i})} .