معيار (رياضيات)

قالب:عن في الجبر الخطي والتحليل الدالي والمجالات المتعلقة بهما في الرياضيات، معيار أو نظيم قالب:إنج هو دالة تعطي عددا حقيقيا موجبا لكل متجهة من فضاء متجهي ما. بحيث تحقق ثلاث خاصيات محددة (أنظر التعريف).

تعريف

ليكن $E$ فضاء متجهي معرف على حقل $K$ مزود بقيمة مطلقة $| \cdot |$

نعرف المعيار على أنه كل دالة $𝒩$ : $\begin{matrix} 𝒩 : & E ⟶ ℝ \\ x ⟼ 𝒩 (𝓍) \end{matrix}$ حيث : $\forall (x, y) \in E^{2} \forall λ \in K$

بعض الكتب تشترط في تعريفها أن تحقق $𝒩$ خاصية أخرى وهي $𝒩 (x) \geq 0$ لكل $x$ من $E$

لكنه لا توجد ضرورة لإدراجها في التعريف ما دامت الخاصيات المذكورة في التعريف تستلزم تحقيق هذه الخاصية :

$0 = 𝒩 (0_{E}) = 𝒩 (x + (- x)) \leq 𝒩 (x) + | - 1 | 𝒩 (x) = 2 𝒩 (x)$ $⟹ 0 \leq 𝒩 (x)$

في فضاء متجهي إقليدي $E$ وهو فضاء متجهي $E$ معرف على حقل الأعداد الحقيقية $ℝ$ مزود بجداء سلمي $⟨ x | y ⟩$ (لكل عنصر $x$ و $y$ من $E$ ) و بُعده منتهٍ كمثال الفضاء المتجهي $ℝ^{𝕟}$

نعرف ونرمز للمعيار الاقليدي بـ :

$‖ x ‖ = ‖ x ‖_{2} : = \sqrt{⟨ x | x ⟩}$

في حالة المثال $ℝ^{𝕟}$ يكون الجداء السلمي غالبا (لأنه يمكن إنشاء جداء سلمي مختلف ) :

$⟨ x | y ⟩ : = \sum_{k = 1}^{n} x_{k} . y_{k}$

||x|| و ||−x|| ليسا بالضرورة متساويين.