جداء ثلاثي

قالب:بطاقة عامة في الرياضيات، جداء ثلاثي قالب:إنج هو حاصل ضرب ثلاثة متجهات. وتكون نتيجته إما «جداء ثلاثيا غير متجه» أو «جداء ثلاثيا متجها» وهذا الأخير يحدث نادرا في الفيزياء.

جداء ثلاثي غير متجه

يعرّف الجداء الثلاثي غير المتجه بأنه حاصل ضرب جداء قياسي لأحد المتجهات في جداء اتجاهي.

التفسير الهندسي

التفسير الهندسي للجداء الثلاثي غير متجه

𝐚 \cdot (𝐛 \times 𝐜)

هو حجم متوازي السطوح الممثل بثلاثة متجهات.

خواصه

لا يتأثر الجداء الثلاثي غير المتجة بالإزاحة الدورانية ويتكون من ثلاثة متجهات (a, b, c):

𝐚 \cdot (𝐛 \times 𝐜) = 𝐛 \cdot (𝐜 \times 𝐚) = 𝐜 \cdot (𝐚 \times 𝐛)

استبدال المتجهين في الجداء الاتجاهي يعكس إشارة ناتج الجداء الثلاثي:

𝐚 \cdot (𝐛 \times 𝐜) = - 𝐚 \cdot (𝐜 \times 𝐛)

ترميزات مستخدمة أخرى

تستخدم بعض الرميزات الأخرى للتعبير عن الضرب الثلاثي غير المتجه مثل: $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$ .

وكذلك: $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$ و $⟨ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} ⟩$ .

شرح الخواص

عملية الضرب الثلاثي غير المتجه ليست عملية تبديلية. ولكن قيمته لا تتغير إذا بادلنا المعاملات تبديلا دورانيا:

(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = (\vec{b} \times \vec{c}) \cdot \vec{a} = (\vec{c} \times \vec{a}) \cdot \vec{b}

.

ويمكن حساب الجداء الثلاثي بواسطة المحددات، فمثلا ينطبق علي المعادلة:

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}), \vec{b} = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}), \vec{c} = (\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \end{matrix})

ينطبق عليها أن يكون:

(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = \det (\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix}) = \det (\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{matrix})

ويمكن إثبات ذلك بإجراء الحساب:

حيث أن الضرب القياسي يكون عملية تبديلية، فنحصل على:

(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})

.

أي باختيار أقواسا مناسبة يمكن تبديل العلامات الحسابية.

وبعكس التبادل الدوراني ينتج عند إجراء تبادل دوراني مضاد تغيير للإشارة:

(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = - (\vec{b}, \vec{a}, \vec{c})

كما أنه نظرا إلى أن $\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}$ يكون:

(\vec{a}, \vec{a}, \vec{b}) = 0

والضرب في كمية غير متجهة $α \in ℝ$ تنتج:

(α \cdot \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = α \cdot (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})

وهي عملية تسمى عملية تجميعية.