طاقة دركليه

في الرياضيات، تعد طاقة دركليه مقياسًا لمدى تغير دالة رياضية. وبشكل تجريدي أكثر، فإنها دالة رياضية تربيعية في فضاء سوبوليف قالب:تعبير رياضي. وترتبط طاقة دركليه ارتباطًا وثيقًا بمعادلة لابلاس، وقد تمت تسميتها على اسم عالم الرياضيات الألماني دركليه.

التعريف

مع الأخذ في الاعتبار المجموعة المفتوحة قالب:تعبير رياضي والدالة الرياضية قالب:تعبير رياضي، تكون طاقة دركليه في الدالة الرياضية قالب:تعبير رياضي هي العدد الحقيقي

$E[u]=\frac{1}{2}\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|\mathrm{\nabla }u(x){|}^2\mathrm{d}V,$

حيث يشير قالب:تعبير رياضي إلى حقل شعاعي متدرج للدالة الرياضية قالب:تعبير رياضي.

الخصائص والتطبيقات

حيث أنها عدد صحيح بقيمة غير سالبة، فإن طاقة دركليه غير سالبة في حد ذاتها، أي E[u] 0 لكل دالة رياضية قالب:تعبير رياضي.

حل معادلة لابلاس

$-\mathrm{\Delta }u(x)=0\text{ for all }x\in \mathrm{\Omega }$

(حسب الشروط الحدية الملائمة) تساوي حل مسألة التنوع للعثور على دالة رياضية قالب:تعبير رياضي تفي بالشروط الحدية ويكون لها الحد الأدنى من طاقة دركليه.

ويطلق على مثل هذا الحل اسم الدالة الرياضية التناسفية وتعد هذه الحلول هي موضوع الدراسة في نظرية الاحتماليات.

المراجع

• قالب:استشهاد بكتاب