مبرهنة فارينيون (ميكانيكا)

قالب:يتيمة مبرهنة فارينون (بالإنجليزية:Varignon Theorem) هي مبرهنة وضعها عالم الرياضيات الفرنسي بيير فارينيون (1654م-1722م)، نًشرت عام 1687م في كتابه "Projet d'une nouvelle mécanique". تنص المبرهنة على أن عزم القوة عند أي نقطة يكون مساويًا لمجموع العزوم لمركباتها عند النقطة نفسها.

الإثبات

في مجموعة $N$ من متجهات القوة ${𝐟}_1,{𝐟}_2,...,{𝐟}_N$ التي تتفق في نقطة ما $𝐎$ في الفضاء. تكون محصلتها :

$𝐅=\sum _{i=1}^N{𝐟}_i$.

عزم الدوران لكل متجه فيما يتعلق بنقطة أخرى ${𝐎}_1$ هو :

${\mathrm{T}}_{O_1}^{{𝐟}_i}=(𝐎-{𝐎}_1)\times {𝐟}_i$.

إضافة عزم الدوران وسحب العامل المشترك $(𝐎-{𝐎}_{\mathrm{𝟏}})$ يرى المرء أن النتيجة يمكن التعبير عنها فقط من حيث $𝐅$, وهو في الواقع عزم الدوران $𝐅$ فيما يتعلق بهذه النقطة ${𝐎}_1$:

$\sum _{i=1}^N{\mathrm{T}}_{O_1}^{{𝐟}_i}=(𝐎-{𝐎}_1)\times \left(\sum _{i=1}^N{𝐟}_i\right)=(𝐎-{𝐎}_1)\times 𝐅={\mathrm{T}}_{O_1}^{𝐅}$.

إثبات المبرهنة، أي مجموع عزم الدوران ${𝐎}_1$ هو نفس عزم الدوران لمجموع القوى حول نفس النقطة.

وصلات خارجية

• Varirgnon's Theorem at TheFreeDictionary.com
• Proof. Mechanics of Solids. S.S. Bhavikatti. (page 19)