القوى المعممة

قالب:يتيمة يندرج استخدام القوى المعممة في ميكانيكا لاغرانج ، حيث تتناقض مهامها مع الإحداثيات المعممة. ونحصل عليها من القوى التطبيقية، F_i, i=1,..., n، المؤثرة في أي نظام يتميز بمواصفات محددة في مصطلحات الإحداثيات المعممة. في معادلة الشغل الافتراضي، كل قوة معممة هي معامل اختلاف للإحداثيات المعممة.

الشغل الافتراضي

يمكن الحصول على القوى المعممة من حساب الشغل الافتراضي, δW, of the applied forces.قالب:صفحات مرجع

الشغل الافتراضي للقوى, F_i, بناءً على الجزيئات P_i, i=1,..., n, التي يتم الحصول عليها من

$\delta W=\sum _{i=1}^n{𝐅}_i\cdot \delta {𝐫}_i$

حيث δr_i هي النزوح الظاهري للجزيئات P_i.

الإحداثيات المعممة

لنفترض أن المتجهات الموضعية الجزيئات، r_i، هي وظيفة الإحداثيات المعممة، q_j, j=1,...,m. ثم يتم تقدير النزوح الظاهري δr_i عن طريق

$\delta {𝐫}_i=\sum _{j=1}^m\frac{\partial {𝐫}_i}{\partial q_j}\delta q_j,i=1,\dots ,n,$

حيث δq_j هي النزوح الظاهري للإحداثيات المعممة q_j.

يصبح الشغل الافتراضي لنظام الجزيئات

$\delta W={𝐅}_1\cdot \sum _{j=1}^m\frac{\partial {𝐫}_1}{\partial q_j}\delta q_j+\dots +{𝐅}_n\cdot \sum _{j=1}^m\frac{\partial {𝐫}_n}{\partial q_j}\delta q_j.$

جمع معاملات q_j لذلك

$\delta W=\sum _{i=1}^n{𝐅}_i\cdot \frac{\partial {𝐫}_i}{\partial q_1}\delta q_1+\dots +\sum _{i=1}^n{𝐅}_i\cdot \frac{\partial {𝐫}_i}{\partial q_m}\delta q_m.$

القوى المعممة

يمكن صياغة الشغل الافتراضي لأي نظام جزيئات في شكل

$\delta W=Q_1\delta q_1+\dots +Q_m\delta q_m,$

بحيث تكون

$Q_j=\sum _{i=1}^n{𝐅}_i\cdot \frac{\partial {𝐫}_i}{\partial q_j},j=1,\dots ,m,$

وتسمى قوى التعميم المرتبطة بالإحداثيات المعممة q_j, j=1,...,m.

معادلة السرعة

عند تطبيق مبدأ الشغل الافتراضي نجد سهولة في كثير من الأحيان في الحصول على النزوح الظاهري من سرعات النظام. لنظام الجزيئات n، ندع سرعة كل جزيء P_i be V_i, then the virtual displacement δr_i يمكن صياغته أيضًا في شكل

$\delta {𝐫}_i=\sum _{j=1}^m\frac{\partial {𝐕}_i}{\partial {\dot{q}}_j}\delta q_j,i=1,\dots ,n.$

يعني ذلك أن القوى المعممة، Q_j، يمكن تحديدها كما يلي

$Q_j=\sum _{i=1}^n{𝐅}_i\cdot \frac{\partial {𝐕}_i}{\partial {\dot{q}}_j},j=1,\dots ,m.$

مبدأ ألمبرت (D'Alembert's principle)

صاغ ألمبرت ديناميكيات الجزيئات كتوازن القوى المطبقة مع أي قوة قصور ذاتي (تُسمى القوة الظاهرة)، مبدأ ألمبرت. قوة القصور الذاتي للجزيء، P_i، للكتلة m_i هي

${𝐅}_i^{*}=-m_i{𝐀}_i,i=1,\dots ,n,$

بينما A_i هو تسريع للجزيء.

إذا اعتمد تكوين نظام الجزيئات على الإحداثيات المعممة q_j, j=1,...,m، فمن ثم نحصل على قوة القصور الذاتي بواسطة

$Q_j^{*}=\sum _{i=1}^n{𝐅}_i^{*}\cdot \frac{\partial {𝐕}_i}{\partial {\dot{q}}_j},j=1,\dots ,m.$

صيغة ألمبرت لمبدأ نواتج الشغل الافتراضي

$\delta W=(Q_1+Q_1^{*})\delta q_1+\dots +(Q_m+Q_m^{*})\delta q_m.$

انظر أيضاً

• احتكاك.
• آلة بسيطة.