تحليل إلى عوامل

في الرياضيات، التحليل إلى عوامل أو التفكيك أو التعميل هو فك دالة كثيرة حدود إلى حاصل ضرب دالتين أو أكثر، ويكون ناتج ضرب هذه الدوال مساوٍ للدالة الأصلية، ونفس الشيء بالنسبة للأعداد والمصفوفات، فعلى سبيل المثال، هذه الحدودية $x^2-4$ يمكن تحليلها إلى $(x-2)(x+2)$. والعدد $15$ يمكن تحليله إلى $5\times 3$. وفي جميع هذه الحالات ينتج حاصل ضرب لدوال أو أعداد أو مصفوفات أبسط.

التفكيك إلى جداء عوامل أولية

مبرهنة و تعريف

كل عدد صحيح طبيعي $n$ (حيث $n⩾2$) يمكن كتابته بكيفية وحيدة الشكل $n=P_1^{{\alpha }_1}\times P_2^{{\alpha }_2}\times ...\times P_k^{{\alpha }_k}$ حيث $P_1$ و $P_2$ و $.....$ و $P_k$ أعداد أولية موجبة و مختلفة و ${\alpha }_1$ و $\beta$ و $...$ و ${\alpha }_k$ أعداد صحيحة طبيعية غير منعدمة.

نقول إننا فككنا إلى جداء عوامل أولية.

ملاحظة

إذا كان $n\in \mathbb{Z}$ حيث $n\le -2$ يكفي تفكيك $-n$ للحصول على تفكيك $n$.

برهان

ليكن $n\in \mathbb{Z}$ حيث $n\ge 2$

• إذا كان $n$ عددا أوليا فإن $n=p^{\alpha }$ ( حيث $p=n$ أولي و $\alpha =1$)
• إذا كان غير أولي فإنه يقبل أصغر قاسم موجب $q_1$ و هو عدد أولي أي $n=p_1{q}_1$
  • إذا كان $q_1$ عددا أوليا فإن $n=p_1{q}_1$ إذن $n$ جداء عددين أوليين.
  • إذا كان $q_1$ غير أولي فإنه يقبل أصغر قاسم موجب $p_2$ و هو أولي إذن : $p_1=p_2{q}_2$ ومنه $n=p_1{p}_2{q}_2$
  • إذا كان $q_2$ عددا أوليا فإن $n=p_1{p}_2{q}_2$ وهو جدا أعداد أولية.
  • إذا كان $q_2$ غير أولي فإنه يقبل أصغر قاسم موجب $p_3$ أولي ومنه $n=p_1{p}_2{p}_3{q}_3$

وهكذا نحصل على متتالية $(q_n{)}_{n\ge 1}$ لأعداد صحيحة طبيعية بحيث : $1<...<q_i<..<q_2<q_1<n$. بما أن مجموعة قواسم عدد صحيح طبيعي منتهية، فإنه يوجد عدد صحيح طبيعي $k$ بحيث يكون $q_k$ عددا أوليا و منه $n=p_1\times p_2\times ...\times p_{k-1}\times p_k$ نستنتج أن كل عدد صحيح طبيعي $n$ حيث $(n\ge 2)$ يكتب على الشكل $n=p_1\times ...\times p_k$ (نأخذ $q_k=p_k$) حيث $p_1$ و $p_2$ و $...$ و $p_k$ أعدادا أولية أولية ليست بالضرورة مختلفة، إذن يمكن كتابة $n$ على الشكل $n=p_1^{\text{'}{\alpha }_1}\times p_2^{\text{'}{\alpha }_2}\times ....\times p_s^{\text{'}{\alpha }_s}$ (*) حيث $p_1^{\text{'}}$ و $p_2^{\text{'}}$ و $....$ و $p_s^{\text{'}}$ أعداد أولية مثنى مثنى و ${\alpha }_1$ و ${\alpha }_2$ و $....$ و ${\alpha }_s$ أعدادا صحيحة طبيعية غير منعدمة.

الحدوديات

يتم تفكيك الحدوديات من أجل حلها على شكل معادلات

للتوسع أنظر معادلة حدودية.

انظر أيضا

• مثلث باسكال
• طريقة التعميل لأويلر
• تحليل عدد صحيح إلى عوامل