قاطع (حساب المثلثات)

في حساب المثلثات والتحليل الرياضي، دالة قاطع الزاوية أو دالة القاطع قالب:إنج، سميّت سابقًا بقُطْر الظِّل، هي إحدى الدوال المثلثية التي تتبع قيمة زاوية، يرمز لها بـ $\sec (x)$، ويمثل القاطع مقلوب قيمة جيب التمام أي $\sec x=\frac{1}{\cos x}$. أي أنه إذا كانت لدينا زاوية ضمن مثلث قائم فإن قاطع هذه الزاوية يساوي نسبة طول الوتر إلى الضلع المجاور للزاوية.

إن القاطع هو دالة مثلثية فرعية نسبية إلى كون الدوال الرئيسية المعروفة هي الجيب وجيب التمام والظل.

يمكن التعبير عن قاطع زاوية x -معبرا عنها بالتقدير الدائري- بواسطة سلسلة تايلور التالية:

$\begin{array}{cc}\sec x& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{U_{2n}{x}^{2n}}{(2n)!}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{E}_{2n}{x}^{2n}}{(2n)!}\\ & =1+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{5}{24}{x}^4+\frac{61}{720}{x}^6+\cdots ,\text{for }|x|<\frac{\pi }{2}.\end{array}$

حيث $E_n$ هو عدد أويلر و $U_n$ هو عدد Up/down.

اشتقاق

مشتق الدالة هو: $$\frac{d}{dx}\sec x=\frac{d}{dx}\frac{1}{\cos x}=\frac{\sin x}{{\cos }^{2}x}=\frac{1}{\cos x}\cdot \frac{\sin x}{\cos x}=\sec x\cdot \tan x.$$

تكامل

تكامل الدالة لها ثلاثة أشكال متكافئة:

$\int \sec xdx=\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{2}\ln \left|\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right|+C\\ \ln |\sec x+\tan x|+C\\ \ln |\tan (\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4})|+C\end{array}\right\}\text{ (equivalent forms)}$

انظر أيضًا

• قاطع التمام
• ظل التمام
• جيب التمام
• جيب الزاوية
• ظل الزاوية
• القاطع الخارجي