مجسم دوراني

المجسم الدوراني في الرياضيات هو كل جسم ينشأ عن دوران منطقة مستوية حول محور دوران مستقيم ثابت دورة كاملة، ويسمى الخط المستقيم بمحور المجسم.

حساب الحجم

رموز :

r = نصف القطر

h = الارتفاع

A = المساحة أو مساحة القاعدة

V = الحجم

يتم حساب الحجم بعدة طرق، منها :

التكامل بالأقراص

تكامل بالأقراص لمجسم دوراني محور المحور الصادي
للدالة $f(y)=\sqrt{(}y)$

تقوم الطريقة على تقسيم الجسم إلى أقراص غير متناهية.

محور الدوران هو المحور السيني

إذا كان المجسم الدوراني ينتج عن دوران منطقة مستوية حول محور السينات فإنه حجمه يعطى بالمعادلة :

$V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}{[R(x)]}^2\mathrm{d}x$

حيث R هي المساحة بين الدالة ومحور الدوران .

محور الدوران هو المحور الصادي

إذا كان المجسم الدوراني ينتج عن دوران منطقة مستوية حول محور الصادات فإنه حجمه يعطى بالمعادلة:

$V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}{[R(y)]}^2\mathrm{d}y$

حيث R هي المساحة بين الدالة ومحور الدوران .

بعض أنواع المجسمات الدورانية

الأجسام الدورانية متنوعة بتنوع منحنيات الدوال، ولكن هناك أجسام مشهورة منها :

اسم الجسم	ينشأ عن دوران	معادلة المنطقة المستوية	تمثيل الشكل	معادلة حساب الحجم
اسطوانة	مستطيل	$f(x)=r$		$V=\pi \underset{0}{\overset{h}{\int }}f(x{)}^{2}dx$
مخروط	مثلث قائم الزاوية	$f(x)=\frac{r}{h}x$		$V=\pi \underset{0}{\overset{h}{\int }}f(x{)}^{2}dx$
كرة	نصف دائرة	$f(x)=\sqrt{r^2-(x-r{)}^2}$		$V=\pi \underset{0}{\overset{2r}{\int }}f(x{)}^{2}dx$
مخروط ناقص	شبه منحرف	$f(x)=\frac{r}{h}\times (x+H)$ حيث H ارتفاع الجزء الناقص		$V=\pi \underset{0}{\overset{h}{\int }}f(x{)}^{2}dx$

الشكل التالي ناتج عن دوير المنطقة المستوية المحصورة بين f وg

وبعض الأجسام قد تنتج من خلال المنطقة المحصورة بين داليتين ليست صفرية(انظر الشكل المقابل)

انظر أيضا

• سطح دوراني
• دوران
• تكامل

المصادر

• كتاب الرياضيات الصف الثالث ثانوي الصف الدراسي الثاني، ط 1431-1432 , المملكة العربية السعودية