عرض مصدر هيكل الحزمة الشعاعية الثانوي

{{لا مصدر|تاريخ=يناير 2022}}
{{يتيمة|تاريخ=يوليو_2013}}
في علم الرياضيات، وخاصة في علم ال[[طوبولوجيا]] التفاضلية، فإن '''هيكل الحزمة الشعاعية الثانوي'''
يشير إلى هيكل الحزمة الشعاعية الطبيعي (''TE'',''p''<sub>*</sub>,''TM'') الموجود على إجمالي الفضاء ''TE'' المخصص لحزمة ال[[مماس]] الخاصة بالحزمة الشعاعية السلسة (''E'',''p'',''M'')، الناتجة عن الدفع الأمامي ''p''<sub>*</sub>:''TE''→''TM'' لخريطة الإسقاط الأصلية ''p'':''E''→''M''.

في الحالة الخاصة (''E'',''p'',''M'')=(''TM'',π<sub>''TM''</sub>,''M'')، حيث يكون ''TE''=''TTM'' هو حزمة المماس المزدوجة، والحزمة الشعاعية الثانوية (''TTM'',(π<sub>''TM''</sub>)<sub>*</sub>,''TM'') تكون متماثلة مع حزمة المماس
(''TTM'',π<sub>''TTM''</sub>,''TM'') لـ ''TM'' عبر الانعكاس المعياري.

== بناء هيكل الحزمة الشعاعية الثانوية ==

بفرض أن (''E'',''p'',''M'') هي الحزمة الشعاعية السلسة من الرتبة ''N''. وبما أن الصورة الأصلية (''p''<sub>*</sub>)<sup>−1</sup>(X)⊂''TE'' لأية شعاع مماس ''X''∈''TM'' في معامل الدفع الأمامي ''p''<sub>*</sub>:''TE''→''TM'' الخاص بالإسقاط المعياري ''p'':''E''→''M'' هي تفرع ثانوي متعدد من فئة البُعد 2''N''، وتصبح مساحة شعاعية مع عوامل الدفع الأمامي
:<math>
+_*:T(E\times E)\to TE \quad , \quad \lambda_*:TE\to TE
</math>
للإضافة الأصلية والمضاعفة العددية غير الموجهة
:<math>
+:E\times E\to E \qquad , \qquad \lambda:E\to E</math>
كما هو الحال في عمليات الفضاء الشعاعي. العامل الثلاثي (''TE'',''p''<sub>*</sub>,''TM'') يصبح [[حزمة شعاعية]] سلسة مع وجود عمليات الفضاء الشعاعي على أليافه.

=== البرهان ===

بفرض أن (''U'',φ) هو نظام إحداثيات محلية على أساس العامل المتشعب ''M'' مع φ(''x'')=(''x''<sup>1</sup>,...,''x''<sup>n</sup>) وبفرض أن
:<math>
\psi:W \to \varphi(U)\times \mathbb R^N \quad ; \quad \psi(v^k e_k|_x) := (x^1,\ldots,x^n,v^1,\ldots,v^N)
</math>
يكون نظام إحداثيات على ''E'' ومتناسبًا معه. إذن
:<math>
p_*\Big(X^k\frac{\partial}{\partial x^k}\Big|_v + Y^\ell\frac{\partial}{\partial v^\ell}\Big|_v\Big) = X^k\frac{\partial}{\partial x^k}\Big|_{p(v)},
</math>
وبالتالي، فإن ألياف هيكل الحزمة الشعاعية الثانوية عند ''X''∈''T''<sub>''x''</sub>''M'' يكون في صورة
:<math>
p^{-1}_*(X) = \Big\{ \ X^k\frac{\partial}{\partial x^k}\Big|_v + Y^\ell\frac{\partial}{\partial v^\ell}\Big|_v
\ \Big| \ v\in E_x \ , \ Y^1,\ldots,Y^N\in\R \ \Big\}.
</math>
والآن يتضح أن
:<math>
\chi\Big(X^k\frac{\partial}{\partial x^k}\Big|_v + Y^\ell\frac{\partial}{\partial v^\ell}\Big|_v\Big) = \Big(X^k\frac{\partial}{\partial x^k}\Big|_{p(v)}, (v^1,\ldots,v^N,Y^1,\ldots,Y^N) \Big)
</math>
يعطي تسطيحًا محليًا χ:''TW''→''TU''×'''R'''<sup>2''N''</sup> للقيمة (''TE'',''p''<sub>*</sub>,''TM'')، وتُقرأ عوامل الدفع الأمامي الخاصة بعمليات الفضاء الشعاعي الأصلية في الإحداثيات المناسبة المُعدلة مثل
:<math>
\Big(X^k\frac{\partial}{\partial x^k}\Big|_v + Y^\ell\frac{\partial}{\partial v^\ell}\Big|_v\Big)

+_*
\Big(X^k\frac{\partial}{\partial x^k}\Big|_w + Z^\ell\frac{\partial}{\partial v^\ell}\Big|_w\Big)

=
X^k\frac{\partial}{\partial x^k}\Big|_{v+w} + (Y^\ell+Z^\ell)\frac{\partial}{\partial v^\ell}\Big|_{v+w}
</math>
و
:<math>
\lambda_*\Big(X^k\frac{\partial}{\partial x^k}\Big|_v + Y^\ell\frac{\partial}{\partial v^\ell}\Big|_v\Big)

=
X^k\frac{\partial}{\partial x^k}\Big|_{\lambda v} + \lambda Y^\ell\frac{\partial}{\partial v^\ell}\Big|_{\lambda v},
</math>
وبالتالي، فإن كل واحد من الألياف (''p''<sub>*</sub>)<sup>−1</sup>(''X'')⊂''TE'' هو مساحة شعاعية، والقيمة الثلاثية (''TE'',''p''<sub>*</sub>,''TM'') هي الحزمة الشعاعية السلسة.

== الاستقامة الخطية لروابط الحزم الشعاعية ==

تكون رابطة إيهريزمان العامة
:<math>
TE = HE \oplus VE
</math>
على حزمة شعاعية (''E'',''p'',''M'') يمكن وصفها من حيث '''خريطة الرابط'''
:<math>
\kappa:T_vE\to E_{p(v)} \qquad ; \qquad \kappa(X):=\operatorname{vl}_v^{-1}(\operatorname{vpr}X),
</math>
حيث vl<sub>''v''</sub>:''E''→''V''<sub>''v''</sub>''E'' هو عامل الرفع الرأسي، وvpr<sub>''v''</sub>:''T''<sub>''v''</sub>''E''→''V''<sub>''v''</sub>''E'' يكون الإسقاط الرأسي. ويكون الاقتران
:<math>
\nabla:TM\times\Gamma(E)\to\Gamma(E) \quad ; \quad \nabla_Xv := \kappa(v_*X)
</math>
الناتج عن رابطة إيهريزمان هو المشتق الطردي المتغاير على Γ(''E'') بمعنى أن
* <math> \nabla_{X+Y}v = \nabla_X v + \nabla_Y v</math>
* <math> \nabla_{\lambda X}v=\lambda \nabla_Xv</math>
* <math> \nabla_X(v+w) = \nabla_X v + \nabla_X w</math>
* <math> \nabla_X(\lambda v)=\lambda \nabla_Xv</math>
* <math> \nabla_X(fv) = X[f]v + f\nabla_Xv</math>
وفقط إذا كانت خريطة الرابط خطية من ناحية هيكل الحزمة الشعاعية الثانوية (''TE'',''p''<sub>*</sub>,''TM'') على ''TE''. فحينها يُطلق على الرابطة أنها ''خطية''. لاحظ أن خريطة الرابط تكون خطية تلقائيًا مع هيكل حزمة المماس (''TE'',π<sub>''TE''</sub>,''E'').

== انظر أيضًا ==
* الرابطة (الحزمة الشعاعية)
* حزمة المماس المزدوجة
* رابطة إيهريزمان
* الحزمة الشعاعية

== المراجع ==
{{مراجع}}

* P.Michor. ''Topics in Differential Geometry,'' American Mathematical Society (2008).
{{شريط بوابات|طوبولوجيا|علوم}}

[[تصنيف:طوبولوجيا]]
[[تصنيف:طوبولوجيا تفاضلية]]
[[تصنيف:هندسة تفاضلية]]