عرض مصدر نموذج كوراموتو

{{يتيمة|تاريخ=أكتوبر 2021}}
{{معلومات نظرية}}
'''نموذج كوراموتو''' {{إنج|'''Kuramoto model'''}} (أو نموذج '''كوراموتو-دايدو''')، [[نموذج رياضي]] تم إقتراحه من قبل عالم [[فيزياء|الفيزياء]] [[اليابان|الياباني]] {{نيهونغو|[[يوشيكي كوراموتو]]|蔵本 由紀||Kuramoto Yoshiki}}<ref>{{استشهاد بكتاب
| الأخير = Kuramoto
| الأول = Yoshiki
| عنوان = Lecture Notes in Physics, International Symposium on Mathematical Problems in Theoretical Physics
| المجلد = 39
| ناشر = Springer-Verlag, New York
| صفحة = 420
| سنة = 1975
| محرر = H. Araki
}}</ref><ref>{{استشهاد بكتاب
| مؤلف = Kuramoto Y
| عنوان = Chemical Oscillations, Waves, and Turbulence
| ناشر = New York, NY: Springer-Verlag
| سنة = 1984
}}</ref> لوصف ظاهرة {{وإو|التزامن|Synchronization|en}} وأكثر تحديدًا وصف سلوك عدد كبير من [[تذبذب (فيزياء)|المهتزات]] المتصلة فيما بينها،<ref name="مولد تلقائيا1">{{استشهاد بدورية محكمة
| عنوان = From Kuramoto to Crawford: exploring the onset of synchronization in populations of coupled oscillators
| مسار = https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0167278900000944
| صحيفة = Physica D: Nonlinear Phenomena
| تاريخ = 2000-09-01
| issn = 0167-2789
| صفحات = 1–20
| المجلد = 143
| العدد = 1
| DOI = 10.1016/S0167-2789(00)00094-4
| لغة = en
| الأول = Steven H.
| الأخير = Strogatz
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20140731112509/http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0167278900000944 | تاريخ أرشيف = 31 يوليو 2014 }}</ref><ref>{{استشهاد بدورية محكمة
| عنوان = The Kuramoto model: A simple paradigm for synchronization phenomena
| الأول = Juan A.
| صحيفة = Reviews of Modern Physics
| تاريخ = 2005-04-07
| صفحات = 137–185
| المجلد = 77
| العدد = 1
| DOI = 10.1103/RevModPhys.77.137
| مسار = https://link.aps.org/doi/10.1103/RevModPhys.77.137
| الأول2 = L. L.
| الأخير = Acebrón
| الأخير2 = Bonilla
| الأول3 = Conrad J.
| الأخير3 = Pérez Vicente
| الأول4 = Félix
| الأخير4 = Ritort
| الأول5 = Renato
| الأخير5 = Spigler
}}</ref> كان الغرض الأساسي من وضع هذا النموذج هو تفسير سلوك الأنظمة الكيميائية والإحيائية، لكن وجد أنه أكثر تعميمًا بكثير ويمتد إلى حقول أخرى مختلفة منها [[علوم عصبية|علم الأعصاب]]<ref name="مولد تلقائيا2">{{استشهاد بدورية محكمة
| عنوان = Understanding the dynamics of biological and neural oscillator networks through exact mean-field reductions: a review
| مسار = https://doi.org/10.1186/s13408-020-00086-9
| صحيفة = The Journal of Mathematical Neuroscience
| تاريخ = 2020-05-27
| issn = 2190-8567
| PMCID = PMC7253574
| PMID = 32462281
| صفحات = 9
| المجلد = 10
| العدد = 1
| DOI = 10.1186/s13408-020-00086-9
| الأول = Christian
| الأخير = Bick
| الأول2 = Marc
| الأخير2 = Goodfellow
| الأول3 = Carlo R.
| الأخير3 = Laing
| الأول4 = Erik A.
| الأخير4 = Martens
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20210830115020/https://mathematical-neuroscience.springeropen.com/articles/10.1186/s13408-020-00086-9 | تاريخ أرشيف = 30 أغسطس 2021 }}</ref><ref>{{استشهاد بدورية محكمة
| عنوان = Generalising the Kuramoto model for the study of neuronal synchronisation in the brain
| مسار = https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0167278906004805
| صحيفة = Physica D: Nonlinear Phenomena
| تاريخ = 2007-02-15
| issn = 0167-2789
| صفحات = 181–196
| المجلد = 226
| العدد = 2
| DOI = 10.1016/j.physd.2006.12.004
| لغة = en
| الأول = D.
| الأخير = Cumin
| الأول2 = C. P.
| الأخير2 = Unsworth
}}</ref><ref>{{استشهاد بدورية محكمة
| عنوان = Generative Models of Cortical Oscillations: Neurobiological Implications of the Kuramoto Model
| مسار = https://www.frontiersin.org/article/10.3389/fnhum.2010.00190
| صحيفة = Frontiers in Human Neuroscience
| تاريخ = 2010
| issn = 1662-5161
| PMCID = PMC2995481
| PMID = 21151358
| صفحات = 190
| المجلد = 4
| DOI = 10.3389/fnhum.2010.00190
| الأول = Michael
| الأخير = Breakspear
| الأول2 = Stewart
| الأخير2 = Heitmann
| الأول3 = Andreas
| الأخير3 = Daffertshofer
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20211011165111/https://www.frontiersin.org/articles/10.3389/fnhum.2010.00190/full | تاريخ أرشيف = 11 أكتوبر 2021 }}</ref><ref>{{استشهاد بدورية محكمة
| عنوان = Exploring mechanisms of spontaneous functional connectivity in MEG: How delayed network interactions lead to structured amplitude envelopes of band-pass filtered oscillations
| مسار = https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1053811913011968
| صحيفة = NeuroImage
| تاريخ = 2014-04-15
| issn = 1053-8119
| صفحات = 423–435
| المجلد = 90
| DOI = 10.1016/j.neuroimage.2013.11.047
| لغة = en
| الأول = Joana
| الأخير = Cabral
| الأول2 = Henry
| الأخير2 = Luckhoo
| الأول3 = Mark
| الأخير3 = Woolrich
| الأول4 = Morten
| الأخير4 = Joensson
| الأول5 = Hamid
| الأخير5 = Mohseni
| الأول6 = Adam
| الأخير6 = Baker
| الأول7 = Morten L.
| الأخير7 = Kringelbach
| الأول8 = Gustavo
| الأخير8 = Deco
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20211023020835/https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1053811913011968 | تاريخ أرشيف = 23 أكتوبر 2021 }}</ref> وديناميكية اللهب المتذبذب،<ref>{{استشهاد بدورية محكمة
| عنوان = Diffusional-Thermal Theory of Cellular Flames
| مسار = https://doi.org/10.1080/00102207708946779
| صحيفة = Combustion Science and Technology
| تاريخ = 1977-01-01
| issn = 0010-2202
| صفحات = 137–145
| المجلد = 15
| العدد = 3-4
| DOI = 10.1080/00102207708946779
| الأول = G. I.
| الأخير = SIVASHINSKY
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20170407122018/http://www.tandfonline.com/action/cookieAbsent | تاريخ أرشيف = 7 أبريل 2017 }}</ref><ref>{{استشهاد بدورية محكمة
| عنوان = Arrays of coupled chemical oscillators
| مسار = https://www.nature.com/articles/srep16994
| صحيفة = Scientific Reports
| تاريخ = 2015-11-19
| issn = 2045-2322
| PMCID = PMC4652215
| PMID = 26582365
| صفحات = 16994
| المجلد = 5
| العدد = 1
| DOI = 10.1038/srep16994
| لغة = en
| الأول = Derek Michael
| الأخير = Forrester
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20170310090945/http://www.nature.com/articles/srep16994 | تاريخ أرشيف = 10 مارس 2017 }}</ref> كما وعبر العالم كوراموتو عن تفاجئه عندما أدرك أن أنظمة فيزيائية مثل مصفوفات وصلات [[تأثير جوزيفسن|جوزيفسن]] ينطبق عليها هذا النموذج أيضًا.<ref>Steven Strogatz, ''Sync: The Emerging Science of Spontaneous Order'', Hyperion, 2003.</ref>

يسمح النموذج بتقديم إفتراضات عديدة لأنظمة متذبذبة منها وجود حالة إقتران ضعيف بين المذبذبات، وأن تكون المذبذبات متماثلة أو شبه متماثلة، وأن التفاعلات فيما بينها تتناسب جيبيًا مع إختلاف [[طور موجة|الطور]] بين كل ثنائي.

== التعريف ==
[[ملف:KuramotoModelPhaseLocking.ogv|تصغير|309x309بك|نموذج كوراموتو في وصف حالات التزامن الكامل عند ثابت إقتران K=12، وتزامن جزئي عند ثابت K=6، وحالة عشوائية لمذبذبات ليس بينها أي تزامن عند ثابت K=1.]]
في الصيغة الأكثر إنتشارًا من نموذج كوراموتو، يفترض أن كل واحد من المذبذبات يمتلك [[رنين (فيزياء)|تردد طبيعي]] (<math>\omega_i</math>) خاص به ويقترن مع المذبذبات الأخرى بشكل متساوي، والمفاجئ أن هذا النموذج [[نظام لاخطي|الغير خطي]] كليًا يمكن حله لعدد غير محدود من المذبذبات (<math display="inline">N\rightarrow\infty</math>)؛<ref name="مولد تلقائيا2" /> بدلًا من ذلك يمكن استعمال الأجزاء ذاتية الإرتباط للحصول على حلول الحالة المستقرة لمعامل الرتبة.<ref name="مولد تلقائيا1" />

الصيغة الأكثر شعبية من معادلة النموذج لنظام يتكون من <math>N</math> من المذبذبات الدائرية بأطوار (<math>\theta_i</math>) وثابت إقتران (<math>K</math>) تأخذ الشكل:

<math>\frac{d \theta_i}{d t} = \omega_i + \frac{K}{N} \sum_{j=1}^{N} \sin(\theta_j - \theta_i), \qquad i = 1 \ldots N</math>

يمكن إضافة تأثير الضجيج إلى النظام لتصبح المعادلة بالشكل التالي:

<math>\frac{d \theta_i}{d t} = \omega_{i}+\zeta_{i}+\dfrac{K}{N}\sum_{j=1}^N\sin(\theta_{j}-\theta_{i})</math>

حيث أن ( <math>\zeta_{i}</math>) تشير إلى التقلبات وهي دالة للزمن، على إفتراض أن [[ضجيج أبيض|الضجيج أبيض]]، عندها تكون:

<math>\langle\zeta_{i}(t)\rangle=0</math>

<math>\langle\zeta_{i}(t)\zeta_{j}(t')\rangle=2D\delta_{ij}\delta(t-t')</math>

هنا (<math>D</math>) تمثل قوة الضجيج.

== التحويل ==
التحويل الذي يتيح إيجاد حلول دقيقة لهذا النموذج (على الأقل عند <math>N \rightarrow \infty</math>) يجرى بالشكل التالي:

بدايةً من تعريف معاملات «الرتبة» (<math>r</math> و<math>\psi</math>) كما يلي:

<math>re^{i \psi} = \frac{1}{N} \sum_{j=1}^{N} e^{i \theta_j} </math>

هنا (<math>r</math>) تمثل [[اتساق (فيزياء)|تشاكه]] الطور لكافة المذبذبات و(<math>\psi</math>) تشير إلى معدل الطور، بضرب هذه المعادلة بـ (<math>e^{-i \theta_i}</math>) وأخذ الجزء التخيلي فقط بعين الإعتبار نحصل على:

<math>\frac{d \theta_i}{d t} = \omega_i + K r \sin(\psi-\theta_i)</math>

بالتالي معادلات المذبذبات لم تعد مقترنة بشكل واضح، بدلًا عنها تتحكم معلمات الرتبة بسلوك النظام، عادة يتم إجراء المزيد من التحويلات لإطار دوار يمتلك معدل طور يساوي صفر (<math>\psi=0</math>) لكل المذبذبات، عندها تصبح المعادلة الحاكمة بالشكل:

<math>\frac{d \theta_i}{d t} = \omega_i - K r \sin(\theta_i)</math>

== لعدد كبير من N ==
الآن لنفترض حالة من <math>N</math> تذهب إلى [[لانهاية|المالانهاية]]، بأخذ توزيع الترددات الطبيعية بشكل دالة <math>g(\omega)</math> (معايرة إفتراضيًا)، ثم الإفتراض بأن كثافة المذبذبات عند الطور (<math>\theta</math>) والتي لها تردد طبيعي مقداره (<math>\omega</math>) عند الزمن (<math>t</math>) هي <math>\rho(\theta, \omega, t)</math>، إذن يجب أن يحقق هذا شرط المعايرة:

<math>\int_{-\pi}^{\pi} \rho(\theta, \omega, t) \, d \theta = 1.</math>

عندها [[معادلة الاستمرارية|معادلة الإستمرارية]] لكثافة المذبذبات تكون:

<math>\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial \theta}[\rho v] = 0</math>

حيث أن (<math>v</math>) هي سرعة إنجراف المذبذبات معطاة بأخذ غاية مالانهاية من <math>N</math> بمعادلة النموذج الحاكمة، لتصبح معادلة الإستمرارية:

<math>\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial \theta}[\rho \omega + \rho K r \sin(\psi-\theta)] = 0</math>

أخيرًا، يجب إعادة كتابة تعريف معاملات الرتبة لحد الإستمرارية (لقيمة لانهائية من <math>N</math>):

يتم استبدال (<math>\theta_i</math>) بدلالة معدل المجموعة لكل (<math>\omega</math>) ويتم استبدال المجموع [[تكامل|بالتكامل]] لتصبح العلاقة:

<math>r e^{i \psi} = \int_{-\pi}^{\pi} e^{i \theta} \int_{-\infty}^{\infty} \rho(\theta, \omega, t) g(\omega) \, d \omega \, d \theta</math>

== الحلول ==
الحالة غير [[اتساق|المتشاكهة]] التي تكون فيها جميع المذبذبات تنجرف بشكل عشوائي تتوافق مع الحل <math>\rho = 1/(2\pi)</math>، هنا تكون (<math>r = 0</math>) مما يعدي عدم وجود أي تشاكه بين المذبذبات جميعها حيث تتوزع بشكل غير منتظم على كل الأطوار المتوفرة وتكون بحالة ثابتة إحصائيًا (على الرغم من أن كل واحد من المذبذبات يستمر بتغيير طوره وفقًا للتردد الطبيعي <math>\omega</math>).

عندما يكون ثابت الإقتران (<math>K</math>) قويًا بما فيه الكفاية من الممكن إيجاد حالة تزامن تامة، تتشارك فيها كل المذبذبات بتردد عام فيما بينهما، حتى وإن كانت أطوارها مختلفة.

أما الحل لحالة التزامن الجزئي يؤدي إلى ظهور وضع تكون فيه بعض المذبذبات فقط في حالة تزامن، والمذبذبات الأخرى تنجرف بغير تشاكه.

ورياضيًا يتم وصف الحالة للمذبذبات المتوافقة بالصيغة:

<math>\rho = \delta\left(\theta - \psi - \arcsin\left(\frac{\omega}{K r}\right)\right)</math>

وللمذبذبات المنجرفة:

<math>\rho = \frac{\rm{normalization \; constant}}{(\omega - K r \sin(\theta - \psi))}</math>

حيث يحدث {{اختصار مخفي|الإنقطاع|Cutoff}} عند<math>|\omega| < K r</math>.

== ربطه مع الانظمة الهاملتونية ==
في الأنظمة [[ميكانيكا هاملتوني|الهاملتونية]] المحافظة يمكن ربط نموذج كوراموتو والدالة الهامتونية،<ref>{{استشهاد بدورية محكمة
| عنوان = Kuramoto dynamics in Hamiltonian systems
| مسار = https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevE.90.032917
| صحيفة = Physical Review E
| تاريخ = 2014-09-19
| صفحات = 032917
| المجلد = 90
| العدد = 3
| DOI = 10.1103/PhysRevE.90.032917
| الأول = Dirk
| الأخير = Witthaut
| الأول2 = Marc
| الأخير2 = Timme
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20180603020224/https://journals.aps.org/pre/abstract/10.1103/PhysRevE.90.032917 | تاريخ أرشيف = 3 يونيو 2018 }}</ref> بالصيغة التالية:

<math> \mathcal{H}(q_1,\ldots, q_N, p_1, \ldots, p_N) = \sum_{i = 1}^N \frac{\omega_i}{2} (q_i^2 +  p_i^2) + \frac{K}{4N} \sum_{i,j = 1}^{N}
       (q_i p_j - q_j p_i) ( q_j^2 + p_j^2 - q_i^2 - p_i^2 ) </math>

بعد إجراء تحويلات قانونية لمتغيرات زاوية التأثير بشكل <math>I_i =  \left( q_i^2 + p_i^2 \right)/2</math> وزوايا الطور <math>  \phi_i = \mathrm{arctan} \left( q_i/p_i \right)</math>، يمكن إحتواء ديناميكيات كوراموتو ضمن [[متعدد شعب|متعددات شعب]] {{اختصار مخفي|لا متغيرة|Invariant}} بثابت يكافئ <math>I_i \equiv I</math>، ويكون الهاملتوني بعد التحويل:

<math> \mathcal{H'}(I_1, \ldots I_N, \phi_1 \ldots, \phi_N) = \sum_{i = 1}^N \omega_i I_i  
       - \frac{K}{N} \sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{N} 
              \sqrt{I_j I_i} (I_j  - I_i) \sin(\phi_j - \phi_i), </math>

لتصبح معادلة هاملتون للحركة بالشكل:

<math>    \frac{d I_i}{dt} = - \frac{\partial \mathcal{H}'}{\partial \phi_i} 
  = - \frac{2 K}{N} \sum_{k=1}^N \sqrt{I_k I_i} (I_k - I_i) \cos(\phi_k - \phi_i)</math>

و

<math> \frac{d \phi_i}{dt} = \frac{\partial \mathcal{H}'}{\partial I_i}
  = \omega_i + \frac{K}{N}   
        \sum_{k=1}^N \left[ 2 \sqrt{I_i I_k} \sin(\phi_k - \phi_i)  \right.
       \left. +
          \sqrt{I_k/I_i} (I_k - I_i) \sin(\phi_k - \phi_i) \right] </math>

يكون متعدد الشعب الذي يحقق الشرط (<math>{\displaystyle I_{j}=I}</math>) لا متغير أيضًا لكون (<math>\frac{d I_i}{dt} = 0</math>) وديناميكيات الطور (<math>\frac{d \phi_i}{dt}</math>) تتحول إلى نموذج كوراموتو بنفس ثابت الإقتران (<math>I = 1/2</math>).

== مراجع ==
{{مراجع|2|محاذاة=ltr}}

== طالع أيضًا ==

* [[علم الصوت]]
* [[فيزياء كلاسيكية]]
* [[رقاص]]
* [[حركة توافقية بسيطة]]
* [[قانون هوك]]
* [[رنين (فيزياء)]]
{{روابط شقيقة}}
{{فيزياء كلاسيكية وترموديناميك}}
{{هامش-فيزياء}}
{{ضبط استنادي}}
{{شريط بوابات|رياضيات|فيزياء|تحليل رياضي}}

[[تصنيف:أنظمة لاخطية]]
[[تصنيف:تذبذب (فيزياء)]]
[[تصنيف:تزامن]]
[[تصنيف:معادلات تفاضلية جزئية]]
[[تصنيف:نماذج شبكية]]