عرض مصدر نظرية الزمر

{{ميز عن|نظرية المجموعات}}
{{بطاقة عامة}}
{{نظرية الزمر}}
[[ملف:Rubik's cube.svg|تصغير|استخدم اللغز الشهير [[مكعب روبيك]] الذي اخترعه [[إرنو روبيك]] في عام 1974 كتوضيح ل[[زمرة تبديلات|زمر التبديلات]]. انظر {{وإو|زمرة مكعب روبيك|Rubik's Cube group}}.]]
''من أجل التطرق إلى نظرية الزمر في العلوم الاجتماعية، انظر إلى [[مجموعة اجتماعية]].''

في [[جبر مجرد|الجبر المجرد]]، '''نظرية الزُمَر'''<ref>{{ترقيم استشهادات|نمط=محرف عربي
|م1={{استشهاد بويكي بيانات|Q114600477|ص=69}}
|م2={{استشهاد بويكي بيانات|Q125363697|ص=404}}}}</ref> {{إنج|Group Theory}} تدرس [[بنية جبرية|الهياكل الجبرية]] المعروفة باسم [[زمرة (رياضيات)|الزمر]]. يعتبر مفهوم الزمرة أساسيًا في الجبر المجرد: يمكن اعتبار الهياكل الجبرية الأخرى المعروفة، مثل [[حلقة (رياضيات)|الحلقات]] و[[حقل (رياضيات)|الحقول]] و[[فضاء متجهي|الفضاءات الاتجاهية]]، على أنها زمر تتمتع ب[[عملية (رياضيات)|عمليات]] و[[مسلمة (فلسفة)|مسلمات]] إضافية. تتكرر الزمر خلال الرياضيات، وقد أثرت أساليب نظرية الزمر على أجزاء كثيرة من الجبر. [[زمرة جبرية خطية|الزمر الجبرية الخطية]] و[[زمرة لي|زمر لي]] هما فرعان من فروع نظرية الزمر التي شهدت تطورات وأصبحت مجالات متخصصة في حد ذاتها.

يمكن تشكيل أنظمة فيزيائية مختلفة، مثل [[بلورة|البلورات]] و[[ذرة الهيدروجين]]، و[[نظرية النموذج المعياري|ثلاثة من أربع قوى أساسية]] معروفة في الكون، بواسطة [[زمرة التناظر|زمر التناظر]]. وبالتالي فإن نظرية الزمر و[[نظرية التمثيل]] وثيقة الصلة لها العديد من التطبيقات المهمة في ال[[فيزياء]] وال[[كيمياء]] و[[علم المواد|علوم المواد]]. تعتبر نظرية الزمر أيضًا مركزية ل[[تعمية باستخدام المفتاح العام|تشفير المفتاح العام]].

يعود [[تاريخ نظرية الزمر|التاريخ المبكر لنظرية الزمر]] إلى القرن التاسع عشر. كان أحد أهم الإنجازات الرياضية في القرن العشرين<ref>{{استشهاد|الأخير=Elwes|الأول=Richard|مسار=http://plus.maths.org/issue41/features/elwes/index.html|عنوان=An enormous theorem: the classification of finite simple groups|صحيفة=[[Plus Magazine]]|العدد=41|تاريخ=December 2006|تاريخ الوصول=2011-12-20|تاريخ أرشيف=2009-02-02|مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20090202092008/http://plus.maths.org/issue41/features/elwes/index.html|حالة المسار=dead}}</ref> هو الجهد التعاوني، الذي احتل أكثر من 10000 صفحة في المجلات ونشر معظمها بين عامي 1960 و2004، والتي توجت ب[[تصنيف الزمر المنتهية البسيطة|تصنيف كامل للزمر البسيطة المنتهية]].

== التاريخ ==
{{مفصلة|تاريخ نظرية الزمر}}
لنظرية الزمر ثلاثة جذور تاريخية هي: [[نظرية الأعداد]] ونظرية [[معادلة جبرية|المعادلات الجبرية]] و[[هندسة رياضية|الهندسة الرياضية]]. ابتُدأ الفرع الآتي من نظرية الأعداد من طرف [[ليونهارت أويلر|ليونهارد أويلر]] وطوره [[كارل فريدريش غاوس|غاوس]] في عمله حول [[حسابيات معيارية|الحسابيات النمطية]] والزمر المجموعية والجداءية المتعلقة [[حقل تربيعي|بالحقول التربيعية]]. النتائج الأولى حول [[زمرة تبديلات|زمر التبديلات]] حصل عليها كل من [[جوزيف لوي لاغرانج]] و[[باولو روفيني]] و[[نيلس هنريك أبيل]]، خلال محاولتهم حلحلة المعادلات الحدودية من درجات عالية.

أبدع [[إيفاريست غالوا]] مصطلح Group (زمرة) وأنشأ رابطا، معروف حاليا باسم [[نظرية غالوا]]، بين نظرية الزمر حديثة الولادة من جهة، و[[حقل (رياضيات)|نظرية الحقول]] من جهة أخرى.

في الهندسة الرياضية، صارت الزمر مهمة في [[هندسة إسقاطية|الهندسة الإسقاطية]] وفيما بعد في [[هندسة لاإقليدية|الهندسة غير الإقليدية]]. زعم [[فيليكس كلاين]] في عمل له يسمى [[برنامج إرلنغن]] نشره عام 1872، أن " نظرية الزمر هي المبدأ المنظِم للهندسة الرياضية ".

[[إيفاريست غالوا]]، في ثلاثينات القرن التاسع عشر هو أول من استعمل الزمر من أجل تحديد قابلية حلحلة [[معادلة جبرية|المعادلات الحدودية]] من عدمه.

== الأصناف الأساسية للزمر ==
{{مفصلة|زمرة (رياضيات)|لائحة المواضيع المتعلقة بنظرية الزمر}}

انظر إلى [[زمرة مصفوفات]] وإلى [[تمثيل زمرة|تمثيل الزمر]].

=== زمر التبديلات ===
أول [[صنف (نظرية المجموعات)|صنف]] من الزمر دُرس هو [[زمرة تبديلات|زمر التبديلات]]. لتكن X مجموعة ما، ولتكن G مجموعة من [[تقابل (دالة)|التقابلات]] من X إلى X (والمعروفة باسم ''[[تبديل (رياضيات)|تبديلات]]'')، منغلقةً تحت عمليتي التركيب والعكس. G [[زمرة (توضيح)|زمرة]] والعملية المعرِفة لها هي عملية [[تركيب الدوال|تركيب التبديلات]].

إذا كانت X تحوي n عنصرا وكانت G تتكون من جميع تبديلات X الممكنة، فإن G تسمى [[زمرة متناظرة|زمرة متماثلة]]. يُرمز إليها حينئذ S<sub>''n''</sub>.

انظر إلى [[زمرة متناوبة]].

=== زمر المصفوفات  ===
الصنف الذي يأتي ثانيا من حيث الأهمية هو زمرة المصفوفات، أو ما يعرف [[زمرة خطية|بالزمر الخطية]]. لتكن G مجموعة من [[مصفوفة قابلة للعكس|المصفوفات القابلة للعكس]].
انظر إلى [[زمرة تبديلات]]

== فروع نظرية الزمر ==
=== نظرية الزمر المنتهية ===
{{مفصلة|زمرة منتهية}}

انظر إلى [[تصنيف الزمر المنتهية البسيطة]].

=== تمثيل الزمر ===
{{مفصلة|تمثيل زمرة|تمثيل زمرة منتهية}}

=== نظرية لاي ===
{{مفصلة|نظرية لاي}}
زمرة لاي هي [[زمرة (رياضيات)|زمرة]] تكون في نفس الوقت [[متعدد شُعبٍ قابل للتفاضل]].

=== نظرية الزمر التوافقية والهندسية ===
{{مفصلة|نظرية الزمر الهندسية}}

== تطبيقات نظرية الزمر ==
تطبيقات نظرية الزمر كثيرة، فأغلب البُنى التي يتطرق إليها [[جبر مجرد|الجبر التجريدي]] هي حالات خاصة من الزمر. [[حلقة (رياضيات)|الحلقات]] على سبيل المثال، يمكن أن ينظر إليها على أنها [[زمرة أبيلية|زمر أبيلية]] (بقانون الجمع) إضافة إلى عملية ثانية تتمثل في الضرب أو الجداء.

[[ملف:Torus.png|تصغير|يسار|200px|A torus. Its abelian group structure is induced from the map {{بداية لا لف}}'''C''' → '''C'''/'''Z'''+''τ'''''Z'''{{نهاية لا لف}}, where ''τ'' is a parameter.]]

[[ملف:Fifths.png|يسار|تصغير|150px|The circle of fifths may be endowed with a cyclic group structure]]

=== نظرية غالوا ===
{{مفصلة|نظرية غالوا}}

=== الطوبولوجيا جبرية ===
{{مفصلة|طوبولوجيا جبرية}}

=== الهندسة الجبرية ===
{{مفصلة|هندسة جبرية}}

=== نظرية الأعداد الجبرية ===
{{مفصلة|نظرية الأعداد الجبرية}}
تستعمل [[نظرية الأعداد الجبرية]] نظرية الزمر من أجل الحصول على تطبيقات مهمة. على سبيل المثال، [[جداء أويلر]]
:<math>
\begin{align}
\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^s}& = \prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}}, \\
\end{align}
\!</math>
تدل على [[المبرهنة الأساسية في الحسابيات]] والتي تنص على أن كل [[عدد صحيح]] طبيعي يمكن أن يكتب جداءً [[عدد أولي|لأعداد أولية]]. فشل هذا النص على [[حلقة ديدكاين|حلقات أكثر عمومية]] أدى إلى تعريف مفهومي [[زمرة صنف|زمر الصنف]] و[[عدد أولي نظامي|الأعداد الأولية النظامية]]. استعمل [[إرنشت كومر]] هذين المفهومين أثناء تطرقه إلى [[مبرهنة فيرما الأخيرة]].

=== التحليل التناسقي أو التوافقي ===
{{مفصلة|تحليل توافقي}}

=== علم التعمية ===
[[ملف:Caesar3.svg|تصغير|يمين|150px| [[زمرة دائرية|الزمرة الدائرية]] '''Z'''<sub>26</sub> تكمن وراء [[شفرة قيصر]].]]

== نظرية الزمر الأولية ==
يمكن تعريف [[زمرة (رياضيات)|زمرة]] (''G،''*) :

''G'' هي [[مجموعة (توضيح)|مجموعة]] و* [[عملية ثنائية]] [[عملية تجميعية|تجميعية]] على ''G،'' تخضع للقواعد التالية (أو ما يدعى [[مسلمة (فلسفة)|بدهيات]]):

:1. (''G،''*) تملك انغلاقا، يعني أنه إذا كان ''a'' و''b'' ضِمْنَ ''G'' فإن ''a''*''b'' يكون ضمن ''G'' أيضا
:2. العملية * [[عملية تجميعية|تجميعية]]، يعني أنه إذا كان ''a و b'' و ''c'' عناصر من ''G'' فإن (''a''*''b'')*''c''=''a''*(''b''*''c'').
:3. ''G'' تحتوي على [[عنصر محايد]]، يرمز له غالبا ب ''e،'' يعني أنه مهما يكن ''a عنصر'' من ''G'' فإن: ''e''*''a''=''a''*''e''=''a''.

:4. كل عنصر من الزمرة (G,*) له [[عنصر معاكس]]، إذا كان ''a عنصر'' من ''G،'' فإنه يوجد عنصر ''b'' ضمن G ''بحيث يحقق:'' ''a''*''b''=''b''*''a''=''e''.

نستنتج البدهيتين 1 و 2 تلقائياً من تعريف العملية الثنائية التجميعية لذلك يمكن إهمالهما.

ويتحقق مبدأ الحذف للزمرة (G,*) من جهة اليمين واليسار أي :
a*b=a*c
b=c هذا من جهة اليسار
b*a=c*a
b=c هذا من جهة اليمين

وكذلك المعادلة الخطية من الدرجة الأولى إذا كان كل من a و b ينتميان إلى G فإن a*x=b
y*a=b
لها حل وحيد في G

ويمكن القول أن الزمرة G تبادلية إذا كانت العملية الثنائية المعرفة عليها * تبادلية، عند إذ يطلق على الزمرة زمرة أبيلية (تبادلية): نسبة للعالم الذي اكتشفها.

في الزمرة G يوجد عنصر محايد وحيد e وكذلك معكوس وحيد a يحققان العلاقات التالية: e*x=x*e=x و a*x=x*a=e

== مجموع مباشر للزمر ==
في نظرية الزمر، نقول عن الزمرة ''G'' أنها مجموع مباشر لمجموعة من الزمر الجزئية {''H''<sub>''i''</sub>}:

إذا تحقق:

* جميع الزمر ''H''<sub>''i''</sub> هي [[زمرة جزئية|زمر جزئية طبيعية]] من ''G''.
* كل زوج من الزمر الجزئية لهما تقاطع ضئيل.
* ''{G'' = ''H''<sub>''i''</sub>} أي أن ''G'' تتشكل عن طريق جمع كافة الزمر الجزئية.

== انظر أيضًا ==
* [[زمرة (رياضيات)|زمرة]]
* [[قائمة مواضيع نظرية الزمر]]

== المراجع ==

{{مراجع}}
{{روابط شقيقة}}
{{رياضيات}}
{{بنية رياضية}}
{{مواضيع مهمة في علم الجبر}}
{{ضبط استنادي}}
{{فروع الرياضيات}}
{{شريط بوابات|رياضيات|جبر|الكيمياء|الفيزياء}}

[[تصنيف:نظرية الزمر|*]]