عرض مصدر نظرية البيان

{{بطاقة تخصص
|صورة=Example of simple undirected graph 3.svg
|تعليق=رسم لبيان فيه ستة رؤوس وسبعة وصلات.
|جزء من = [[رياضيات متقطعة]] — [[علم الحاسوب]] — [[تحليل توافيقي]] 
}}
{{عن|مجموعة من العقد التي ترتبط بوصلات فيما بينها|
لرسم الدوال الرياضية|تمثيل الدالة البياني|لاستعمالات أخرى|
بيان (توضيح)}}

في [[الرياضيات]]، '''نظرية البيان''' هي دراسة [[بيان (رياضيات منفصلة)|البيانات]] (جمع بيان) بوصفها [[بنية رياضية|بنى رياضية]] تستعمل لنمذجة العلاقة المتبادلة بين الأغراض. يتكوَّن البيان من [[رأس (نظرية البيان)|رؤوس]]، تُسمَّى أيضاً عقداً، ووصلات تُسمَّى أيضاً عقداً أو أقواساً.

نظرية البيان ودراسته هي موضوع رئيس في [[رياضيات متقطعة|الرياضيات المتقطعة]].

== التسمية ==

تتفق أغلب المعجمات العربية المتخصصة على ترجمة كلمة {{إنج|Theory}} إلى ([[نظرية]]).<ref group="عر">{{ترقيم استشهادات|نمط=محرف عربي
|م1={{استشهاد مختصر|مكتب التنسيق|1990|ص=149}}
|م2={{استشهاد مختصر|مجمع دمشق|2018|ص=710}}
}}</ref> ولكنها تختلف في تعريب المصطلح {{إنج|Graph}}:
* يستعمل معجم مصطلحات الرياضيات الصادر عن [[مجمع اللغة العربية بدمشق]] مصطلح (بيان) مقابلاً عربياً ويبني منه مصطلح نظرية البيان،<ref group="عر">{{استشهاد مختصر|مجمع دمشق|2018|ص=291}}</ref>، ويتفق معه المعجم الموحد لمصطلحات الرياضيات والفلك الصادر عن مكتب تنسيق التعريب فيذكر بيان ورسم بياني مقابلاً للمصطلح الأجنبي.<ref group="عر">{{استشهاد مختصر|مكتب التنسيق|1990|ص=68}}</ref>
* أما [[مجمع اللغة العربية بالقاهرة]] فيعتمد مصطلح الشكل البياني والرسم البياني، ويجعل المصطلح المقابل للنظرية نظرية الرسوم أو نظرية المخططات.<ref group="عر">{{استشهاد مختصر|مجمع القاهرة|2019|ص=207، 404}}</ref>
* يقترح معجم مصطلحات المعلوماتية الصادر عن [[الجمعية العلمية السورية للمعلوماتية]] مصطلح (مِبيَان) أيضاً.<ref group="عر">{{استشهاد مختصر|الجمعية السورية|2000|ص=243}}</ref>

== التعريف ==
=== البيان غير المُوجَّه ===
[[ملف:Example of simple undirected graph.svg|تصغير|150بك|بيان فيه ثلاثة رؤوس وثلاثة وصلات.]]

يُعرَّف البيان <math>G=(V,E)</math> بأنه [[زوج مرتب|زوجان مرتبان]]:<ref>{{استشهاد مختصر|Bender|2010|ص=148|لغة=en}}</ref>
* [[مجموعة (رياضيات)|مجموعة]] <math>V</math> من الرؤوس{{ملا|vertices<ref group="عر" name="م1">{{استشهاد مختصر|مجمع دمشق|2018|ص=372}}</ref>}} (تسمَّى أيضاً عقداً أو نقاطاً);
* مجموعة من الوصلات <math>E</math>،{{ملا|edges<ref group="عر" name="م1"/>}} تُسمَّى أيضاً أحرفاً<ref group="عر" name="م2">{{استشهاد مختصر|مجمع القاهرة|2019|ص=404}}</ref> أو خطوط، يُمثَّل كل منها {{وإو|زوج غير مرتب|Unordered pair|en|بزوجين غير مرتبين}} من الرؤوس، أي أن الوصلة تربط بين رأسين متمايزين. تُعرَّف الوصلة كما يأتي:
{{وسط|<math>E \subseteq \{ \{x, y\} \mid x, y \in V \;\textrm{ and }\; x \neq y \}</math>}}

الاسم الدقيق للكائن الرياضي المُعرَّف بالعلاقة السابقة، لو كان استعمال كلمة بيان مُلبساً مع أنواع أخرى من البيانات، هو بيان بسيط غير مُوجَّه.{{ملا|simple undirected graph<ref group="عر" name="م1"/>}}

من أجل وصلة <math>\{x, y\}</math>، يسمى الرأسان <math>x</math> و<math>y</math> طرفين{{ملا|endpoints}}. ويُقبل القول أن الوصلة التي تصل{{ملا|join<ref group="عر">{{استشهاد مختصر|مجمع دمشق|2018|ص=372}}</ref>}} بين الرأسين هي التقاء أو تلاقٍ{{ملا|incident<ref group="عر">{{استشهاد مختصر|مجمع دمشق|2018|ص=338}}</ref>}} بين الرأسين <math>x</math> و<math>y</math>.

يمكن نظرياً، حسب هذا التعريف، أن يضم البيان رأساً لا يتصل مع أي رأس آخر، ولكن لا يمكن أن يضم هذا البيان وصلة مضاعَفة{{ملا|multiple edge}}، وهي وصلة تصل الرأس مع نفسه.
[[ملف:Example of simple undirected graph with cycles.svg|150بك|تصغير|مثال عن بيان بسيط غير مُوجَّه فيه 3 رؤوس و3 وصلات و4 عُرَى.]]
{{عدة صور
 | align = يسار
 | عرض = <!-- displayed width of each image in pixels (an integer, omit "px" suffix); overrides "width[n]"s below -->
 | صورة1 = Example of simple undirected graph 1.svg
 | عرض1 = 75
 | تعليق1 = درجات الرؤوس U,V,W,X هي على الترتيب 1،3،2،2
 | صورة2 = Example of simple undirected graph 2.svg
 | عرض2 = 75
 | تعليق2 = درجات الرؤوس A,B,C,D هي على الترتيب 4،4،5،4
 | footer = أمثلة عن حساب درجات الرؤوس في بيان
}}
يمكن تعميم التعريف ليشمل الوصلات المضاعفة بجعل البيان ثلاثية مرتبة{{ملا|ordered triple}} <math>G=(V,E,\phi)</math> تتكون من:<ref>{{استشهاد مختصر|Bender|2010|ص=149|لغة=en}}</ref>

* مجموعة من الرؤوس <math>V</math>.
* مجموعة من الوصلات <math>E</math>.
* دالة التقاء{{ملا|incidence function<ref group="عر" name="م2"/>}} <math>\phi</math>، تطابق كل وصلة مع زوجين غير مرتبين من الرؤوس المتمايزة، كما يأتي:
{{وسط|<math>\phi : E \to \{ \{x, y\} \mid x, y \in V \;\textrm{ and }\; x \neq y \}</math>}}

الاسم الدقيق للكائن الرياضي المُعرَّف بالعلاقة السابقة، هو بيان مُتعدِّد الوصلات غير مُوجَّه، أو اختصاراً بيان مُتعدِّد غير مُوجَّه.{{ملا|undirected multigraph}}

{{وإو|عروة (نظرية البيان)|Loop (graph theory)|en|العروة}}{{ملا|loop<ref group="عر" name="م2"/><ref group="عر">{{استشهاد مختصر|مجمع دمشق|2018|ص=424}}</ref>}} {{جمع|عُرَى}} هي وصلة تربط الرأس مع نفسه. لا يمكن أن يضم البيان عُرَى حسب التعريفين أعلاه، لأن هذا يعني أن الرأس <math>x</math> هو نفسه الرأس <math>y</math>، وهذا لا يتفق مع الشرط الذي يحدد العضوية في مجموعة الرؤوس <math>V</math>. ليشمل التعريف العُرَى، يلزم توسيعه كما يأتي:

* من أجل البيان البسيط غير المُوجَّه، يُعدَّل تعريف مجموعة الوصلات <math>E</math> ليصبح:

{{وسط|<math>E \subseteq \{ \{x, y\} \mid x, y \in V \}</math>}}

* من أجل البيان المُتعدِّد غير المُوجَّه، يُعدَّل تعريف دالة الالتقاء <math>\phi</math> ليصبح:

{{وسط|<math>\phi : E \to \{ \{x, y\} \mid x, y \in V \}</math>}}

الاسم الدقيق للكائن الرياضي المُعرَّف بالعلاقة السابقة، هو بيان بسيط غير موجه يسمح بالعُرَى.{{ملا|undirected simple graph permitting loops, undirected multigraph permitting loops and undirected pseudograph}}.

تعامل مجموعتا الرؤوس <math>V</math> والوصلات <math>E</math> معاملة المجموعات المحدودة عادةً، ويُفترض أيضاً أن مجموعة الرؤوس ليست [[مجموعة خالية|خالية]]، ولا يوجد قيود على كون مجموعة الوصلات خالية. مرتبة{{ملا|order<ref group="عر">{{استشهاد مختصر|مجمع دمشق|2018|ص=493}}</ref>}} البيان هي عدد رؤوسه <math>|V|</math>. أما حجم{{ملا|order<ref group="عر">{{استشهاد مختصر|مجمع دمشق|2018|ص=651}}</ref>}} البيان فهو عدد وصلاته <math>|E|</math>.

درجة رأس في بيان{{ملا|degree<ref group="عر">{{استشهاد مختصر|مجمع دمشق|2018|ص=166}}</ref> or '''valency}} هي عدد الوصلات التي تتلاقى عنده، مع الانتباه إلى أن كل عروة تُحصى مرتين. درجة البيان هي أعلى درجة لرؤوسه. من أجل بيان بسيط غير موجه من المرتبة <math>n</math>، فإن الدرجة القصوى الممكنة لكل رأس هي <math>n - 1</math> وحجم البيان الأقصى هو <math>\frac{n(n-1)}{2}</math>.

تُنشئ وصلات البيان البسيط غير الموجه الذي يسمح بالعُرَى [[علاقة ثنائية|علاقة متجانسة]] رمزها <math>\sim</math> بين رؤوس البيان تُسمَّى علاقة التجاور، ويعبَّر عن ذلك بالصيغة <math>x \sim y</math> من أجل وصلة <math>(x,y)</math> طرفاها <math>x</math> و<math>y</math> ويُقال أنهما متجاوران.{{ملا|degree<ref group="عر">{{استشهاد مختصر|مجمع دمشق|2018|ص=8}}</ref>}}
{{تحديد}}

=== البيان المُوجَّه ===
{{مفصلة|بيان موجه}}
[[ملف:Example of simple directed graph.svg|تصغير|150بك|بيان موجه فيه 3 رؤوس و3 وصلات موجهة، اثنان منها وحيدة الاتجاه والثالثة مزدوجة الاتجاه.]]

البيان الموجه{{ملا|directed graph or digraph<ref group="عر">{{استشهاد مختصر|مجمع دمشق|2018|ص=180}}</ref>}} <math>G</math> هو بيان يوجد لكل وصلة فيه اتجاه محدد واحد أو اتجاهان،<ref name="مولد تلقائيا1">{{استشهاد مختصر|Bender|2010|ص=161|لغة=en}}</ref> يتكون البيان <math>G=(V,E)</math> من زوجين مرتبين كما يلي:

* [[مجموعة (رياضيات)|مجموعة]] من الرؤوس <math>V</math>.
* مجموعة من الوصلات <math>E</math>، تُسمَّى أيضاً الوصلات الموجهة{{ملا|directed edges}}، وهي زوجان مُرتَّبان من الرؤوس المتمايزة يتصل أحدها مع الآخر، وتُعرَّف كما يأتي:

{{وسط|<math>E \subseteq \left\{(x,y) \mid (x, y) \in V^2 \;\textrm{ and }\; x \neq y \right\}</math>}}

الاسم الدقيق للكائن الرياضي السابق هو بيان بسيط موجَّه.{{ملا|directed simple graph}} في نظريتي الزُّمر والمجموعات، يعني الحد <math>V^n</math> مجموعة مكونة من <math>n</math> عنصراً مأخوذاً من <math>V</math>، مع عدم اشتراط تمايزها بعضها عن بعض.

لتكن الوصلة <math>(x, y)</math> الموجَّهة من <math>x</math> إلى <math>y</math>، يُسمَّى هذان الرأسان طرفي القطعة، ويُسمَّى الرأس <math>x</math> ذيلاً للوصلة،{{ملا|tail}} أما الرأس <math>y</math> فيُسمَّى أنفاً{{ملا|head}} للوصلة. تُسمَّى الوصلة <math>(y,x)</math> بالوصلة المقلوبة.{{ملا|inverted edge}} يمكن تعميم مفهوم الالتقاء، الذي عُرِّف من أجل البيان غير المُوجَّه على البيان البسيط الموجَّه. يسمح التعريف السابق بوجود رؤوس لا ترتبط بأي وصلة، ولكنه لا يُسمى بالوصلات المضاعفة، وهي وصلتان أو أكثر يكون لها الأنف والذيل نفسهما.

يمكن تعميم التعريف ليشمل الوصلات المضاعفة بجعل البيان ثلاثية مرتبة{{ملا|ordered triple}} <math>G=(V,E,\phi)</math> تتكون من:<ref name="مولد تلقائيا1" />

* مجموعة من الرؤوس <math>V</math>.
* مجموعة من الوصلات <math>E</math>.
* دالة التقاء <math>\phi</math>، تطابق كل وصلة مع زوجين مرتبين من الرؤوس المتمايزة، كما يأتي:
{{وسط|<math>\phi : E \to \left\{(x,y) \mid (x, y) \in V^2 \;\textrm{ and }\; x \neq y \right\}</math>}}

الاسم الدقيق للكائن الرياضي المُعرَّف بالعلاقة السابقة، هو بيان مُتعدِّد الوصلات غير مُوجَّه، أو اختصاراً بيان مُتعدِّد غير مُوجَّه.{{ملا|directed multigraph}}.

يُعمم تعريف {{وإو|عروة (نظرية البيان)|Loop (graph theory)|en|العروة}} {{جمع|عُرَى}} المُستعمل مع البيان المُوجَّه على البيان غير الموجه: وصلة تربط الرأس مع نفسه. لا يمكن أن يضم البيان غير المُوجَّه عُرَى حسب التعريفين أعلاه، لأن هذا يعني أن الرأس <math>x</math> هو نفسه الرأس <math>y</math>، وهذا لا يتفق مع الشرط الذي يحدد العضوية في مجموعة الرؤوس <math>V</math>. ليشمل التعريف العُرَى، يلزم توسيعه كما يأتي:

* من أجل البيان البسيط المُوجَّه، يُعدَّل تعريف مجموعة الوصلات <math>E</math> ليصبح:

{{وسط|<math>\left\{(x, y) \mid (x, y) \in V^2 \;\textrm{ and }\; x \neq y \right\}</math>}}

* من أجل البيان المُتعدِّد غير المُوجَّه، يُعدَّل تعريف دالة الالتقاء <math>\phi</math> ليصبح:

{{وسط|<math>\phi : E \to \left\{(x, y) \mid (x, y) \in V^2\right\}</math>}}

الاسم الدقيق للكائن الرياضي المُعرَّف بالعلاقة السابقة، هو بيان بسيط مُوجَّه يسمح بالعُرَى.{{ملا|directed simple graph permitting loops, directed multigraph permitting loops and quiver}}.

يمكن تعميم علافة التجاوز المُعرَّفة للبيان غير المُوجَّه على البيان المُوجَّه.

=== المسالك وأنواعها ===
تُفرِّق نظرية البيان بين المسلك والمسار والطريق والدارة والدورة:
[[ملف:Walk, Trail, Path & Circuits in graph theory-ar.svg|تصغير|الفرق بين المسلك والمسار والطريق والدارة والدورة مع خواص كل منخا ومثال.]]
* المسلك{{ملا|walk<ref group="عر">{{استشهاد مختصر|مجمع دمشق|2018|ص=755}}</ref>}} هو تتابع محدود الطول من الرؤوس والوصلات. طول المسلك هو عدد الوصلات فيه، ولا قيود على تكرار مرور المسلك بالرأس أو الوصلة أكثر من مرة. يوصف المسار بأنه مفتوح {{إنج|open}} لو كان طوله مغايراً للصفر وكانت نقطة بدايته مغايرة لنقطة نهايته، ويوصف بأنه مغلق {{إنج|closed}} لو كان طوله مغايراً للصفر وكانت نقطة بدايته هي نفسها نقطة نهايته. رياضياً، يمكن أن يُعرَّف المسلك في بيان <math>G=(E,V, \phi) </math>كما يلي:
::# تتابع الوصلات <math>e_1, e_2, ... e_n</math> الذي يرتبط مع تتابع من الرؤوس <math>v_1, v_2, ... v_n</math> بدالة الالتقاء <math>\phi(e_i)=\{a_i,a_{i+1}\}</math><ref name="م4">{{استشهاد مختصر|Bender|2010|ص=162|لغة=en}}</ref>
::# متتالية متناوبة من الوصلات والرؤوس <math>\{v_0, e_1, v_1, e_2, v_2 ... v_n \}</math> تربط فيه كل <math>e_i</math> بين <math>e_i+1</math> و<math>v_i</math> من أجل <math>i=1,2 ... n</math>.<ref group="عر">{{استشهاد مختصر|الخنيفس|2010|ص=67}}</ref>
* الطريق<ref group="عر" name="م6">{{استشهاد مختصر|الخنيفس|2010|ص=69}}</ref> أو الرحلة<ref group="عر">{{استشهاد مختصر|شاهين|2010|ص=57}}</ref> {{ملا|trail}} هي مسلك مفتوح لا تتكرر فيه الوصلات، ولكن يمكن أن تتكرر رؤوسه. رياضياً، يُشترط أن تكون الوصلات في التتابع <math>e_1, e_2, ... e_n</math> متمايزة ليصبح المسلك طريقاً.<ref name="م4"/> يمكن تمثيل الشرط رياضياً: <math>e_i \neq e_j</math> من أجل <math>i \neq j</math>.<ref group="عر" name="م6"/>
* المسار{{ملا|path<ref group="عر">{{استشهاد مختصر|مجمع دمشق|2018|ص=513}}</ref>}} هو مسلك لا تتكرر فيه الوصلات، ولا الرؤوس ما خلا رأس البداية. إن لم يتكرر رأس البداية، كان المسار مفتوحاً، وإن تكرر يكون المسار مغلقاً ويُسمَّى دورة {{إنج|cycle}}. رياضياً، يُشترط أن تكون الوصلات في التتابع <math>e_1, e_2, ... e_n</math> والرؤوس <math>v_1, v_2, ... v_n</math> متمايزة ليصبح المسلك مساراً.
* الدارة {{إنج|circuit}} هي بيان جزئي{{ملا|subgraph<ref group="عر">{{استشهاد مختصر|مجمع دمشق|2018|ص=682}}</ref>}} <math>G'</math> من البيان <math>G</math> لا تتكرر فيه الوصلات أبداً، ولكن قد تتكرر رؤوسه. لو تكرر رأس البداية فيه ليكون مسار النهاية نفسه، فإن الدارة تسمى دارة بسيطة أو دورة.<ref>{{استشهاد مختصر|Bender|2010|ص=164|لغة=en}}</ref>

== نبذة تاريخية ==
[[ملف:Konigsberg bridges.png|تصغير|مسألة جسور كونيغسبرغ السبعة]]
يُنظر إلى الورقة البحثية التي نشرها [[ليونهارت أويلر]] سنة 1736م عن [[جسور كونيغسبرغ السبعة]] على أنها أقدم دراسة معروفة في نظرية البيان.<ref name="Biggs">{{استشهاد مختصر|Biggs|1976|ص=1-10|لغة=en}}</ref>
عمم [[أوغستين لوي كوشي|كوشي]]<ref group="فر">{{استشهاد مختصر|Cauchy|1813|ص=66–86|لغة=fr}}</ref> و{{وإو|سيمون أنطون جان لويلر|Simon Antoine Jean|en|سيمون لويلر}}<ref name="Lhuillier">{{استشهاد|مؤلف=L'Huillier, S.-A.-J.|عنوان=Mémoire sur la polyèdrométrie|صحيفة=Annales de Mathématiques|المجلد=3|سنة=1812–1813|صفحات=169–189|postscript=.}}</ref> [[مميزة أويلر|الصيغة التي وضعها أويلر]] لحساب عدد وصلات عديد وجوه ورؤوسه ووجوهه، وينظر إلى هذا العمل على أنه ميلاد فرع جديد في الرياضيات هو [[طوبولوجيا|الطوبولوجيا]].

نشر [[آرثر كيلي]]، بعد أكثر من قرن من عمل أولر عن جسور كونيغسبرغ، ورقة بحثية عن صنف فرعي من البيانات عمل عليه في أثناء دراسته التحليلية للتفاضل، وهو [[شجرة (نظرية البيان)|الأشجار]]،<ref>{{استشهاد مختصر|Cayley|1857|ص=172-176|لغة=en}}</ref> اهتم كيلي بشكل رئيس {{وإو|تعداد البيان|enumeration of graphs|en|بتعداد رؤوس البيان وترتيبها}} وكان لعمله هذا تطبيقات في الكيمياء النظرية. ربط كيلي بعد ذلك النتائج الرياضية التي حصل عليها مع الدراسات المعاصرة في الكيمياء، وكان هذا العمل أساساً لوضع المصطلحات الخاصة بنظرية البيانات.<ref>{{استشهاد مختصر|Cayley|1875|ص=1056|لغة=en}}</ref>

صاغ [[جيمس جوزيف سيلفستر|جيمس سيلفستر]] مصطلح (البيان) للمرة الأولى في ورقة بحثية نشرها سنة 1878م في مجلة [[نيتشر (مجلة)|الطبيعة]]، شبَّه فيها بين الثوابت الكمية والمتغيرات المشتركة في الجبر ومخططات الجزيئات، وجاء في النص:<ref name="Sylvester">{{استشهاد مختصر|Sylvester|1878|ص=284|لغة=en}}</ref>

{{اقتباس خاص|[...] يمكن التعبير عن الثوابت والمتغيرات المشتركة [..] باستعمال بيان مطابق بإحكام لمخطط [[أوغست كيكوله|كيكوله]] أو للرسم الكيميائي. [...] أعرِّف قاعدة للضرب الهندسي للبيانات، أعني إنشاء بيان لناتج جداء الثوابت أو المتغيرات التي تُعرَف بياناتها.{{ملا|[…] Every invariant and co-variant thus becomes expressible by a ''graph'' precisely identical with a [[أوغست كيكوله|Kekuléan]] diagram or chemicograph. […] I give a rule for the geometrical multiplication of graphs, ''i.e.'' for constructing a ''graph'' to the product of in- or co-variants whose separate graphs are given. […]}}}}

وضع [[دينس كونيغ]] أول كتاب مخصص لنظرية البيان، ونشره بالألمانية سنة 1936م بعنوان {{ألمانية|Theorie der endlichen und unendlichen Graphen}} ومعناها: نظرية البيانات المنتهية وغير المنتهية.<ref>{{ترقيم استشهادات
|م1={{استشهاد مختصر|Kőnig|1936|ص=1|لغة=en}}
|م2={{استشهاد مختصر|Tutte|2001|ص=30|لغة=en}}
}}</ref>

[[مبرهنة الألوان الأربعة]] هي واحدة من أشهر المسائل المرتبطة بنظرية البيان، وهي تحاول حل المشكلة التالية: هل يكفي استعمال أربعة ألوان فقط لتلوين خريطة ثنائية الأبعاد مقسَّمة إلى أقاليم تلويناً لا يكون فيه لأي إقليمين يشتركان بحدود اللون نفسه. طرح [[فرنسيس غوثري]] هذه المشكلة سنة 1852م، وصاغها [[أغسطس دي مورغان]] في رسالة وجهها إلى [[وليم روان هاملتون|وليم هاملتون]] في العام نفسه. اقترحت براهين عديدة لحل المسألة ولكنها كان غير صحيحة، وبقيت هذه المشكلة من غير لأكثر من قرن حتى العام 1969م عندما نشر {{وإو|هاينريش هيش|Heinrich Heesch|en}} طريقة للحل باستعمال الحاسوب.<ref>Heinrich Heesch: Untersuchungen zum Vierfarbenproblem. Mannheim: Bibliographisches Institut 1969.</ref> ثُمَّ أثبت [[كينيث أبيل]] و{{وإو|فولفغانغ هاكن|Wolfgang Haken|en}} صحة طريقة هيش ببرهان رياضي بمعونة الحاسوب سنة 1976م.<ref name="AA1">{{ترقيم استشهادات
|م1={{استشهاد مختصر|Appel|1977a|ص=429|لغة=en}}
|م2={{استشهاد مختصر|Appel|1977b|ص=491|لغة=en}}
}}</ref>

== مصطلحات ==
{{بداية المراجع|محاذاة=نعم}}
{{ملاحظات}}
{{نهاية المراجع}}

== المراجع ==
=== فهرس المراجع ===
:بالعربية
{{بداية المراجع}}
{{مراجع|مجموعة="عر"}}
{{نهاية المراجع}}
:بالإنجليزية
{{بداية المراجع}}
{{مراجع|محاذاة=نعم}}
{{نهاية المراجع}}
:بالفرنسية
{{بداية المراجع}}
{{مراجع|مجموعة="فر"||محاذاة=نعم}}
{{نهاية المراجع}}

=== بيانات المراجع كاملة ===
;الكتب
:بالعربية
{{بداية المراجع|30em}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q114600477|مرجع=مكتب التنسيق1990}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q108408025|مرجع=الجمعية السورية2000}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q130240791|مرجع=الخنيفس2010}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q130241879|مرجع=شاهين2010}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q108593221|مرجع=مجمع دمشق2018}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q125363697|مرجع=مجمع القاهرة2019}}
{{نهاية المراجع}}
:بالإنجليزية
{{بداية المراجع|30em|محاذاة=نعم}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q129690455|مرجع=Biggs1976}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q56815990|مرجع=Ito1993}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q130397122|مرجع=Tutte2001}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q129660987|مرجع=Bender2010}}
{{نهاية المراجع}}
:بالألمانية
{{بداية المراجع|محاذاة=نعم}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q56048684|مرجع=Cayley1875}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q130397087|مرجع=Kőnig1936}}
{{نهاية المراجع}}

;المقالات
:بالألمانية
{{بداية المراجع|محاذاة=نعم}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q56048684|مرجع=Cayley1875}}
{{نهاية المراجع}}
:بالإنجليزية
{{بداية المراجع|30em|محاذاة=نعم}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q56048683|مرجع=Cayley1875}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q55887770|مرجع=Sylvester1878}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q128280260|مرجع=Appel1977a}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q128290349|مرجع=Appel1977b}}
{{نهاية المراجع}}
:بالفرنسية
{{بداية المراجع|محاذاة=نعم}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q129852279|مرجع=Cauchy1813}}
{{نهاية المراجع}}

== انظر أيضاً ==
{{روابط شقيقة}}
* [[نظرية الشبكات]]
* [[مصفوفة تجاور]]
* [[مخطط مزدوج]]

{{علم الحاسوب}}
{{الرياضيات الصناعية والتطبيقية}}
{{فروع الرياضيات}}
{{بنية رياضية}}
{{ضبط استنادي}}
{{شريط بوابات|رياضيات|علم الاجتماع|علم الحاسوب}}

[[تصنيف:نظرية البيان|*]]
[[تصنيف:نظرية البيان الجبري]]