عرض مصدر نسبة ذهبية

{{بطاقة عامة}}
[[ملف:Golden_ratio_line.svg|تصغير|شرائح الخط في النسبة الذهبية]]
[[ملف:SimilarGoldenRectangles.svg|يسار|تصغير|[[مستطيل ذهبي|المستطيل الذهبي ذو الضلع]] الطويل <span style="color:blue;">'''''أ'''''</span> والجانب القصير <span style="color:red;">'''''ب'''''</span> المجاور لمربع بجوانب طولها <span style="color:blue;">'''''أ'''''</span> ينتج عنه مستطيل ذهبي [[تشابه (هندسة)|مشابه]] له ضلع طويل <span style="color:green;">'''''أ + ب'''''</span> وضلع قصير <span style="color:blue;">'''''أ'''''</span> . هذا يوضح العلاقة <math> \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} \equiv \varphi</math>]]

'''النسبة الذهبية''' {{إنج|Golden Ratio}} في [[رياضيات|الرياضيات]] تتحقق عندما يكون مجموع عددين مقسوم على أكبرهما يساوي خارج قسمة أكبر العددين على أصغرهما، أي أنه توجد كميتان في '''النسبة الذهبية''' إذا كانت [[نسبة (رياضيات)|نسبتهما]] هي نفس نسبة [[مجموع (علم الحساب)|مجموعهما]] إلى أكبر الكميتين. يوضح الشكل الموجود على اليمين العلاقة الهندسية. فإذا كان a أكبر من b فإن النسبة الذهبية جبرياً هي تحقق:

:<math> \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} \ \stackrel{\text{def}}{=}\ \varphi, </math>

حيث الحرف اليوناني [[في (حرف يوناني)|phi]] (<math>\varphi</math> أو <math>\phi</math>) يمثل النسبة الذهبية.<ref name=":02">{{استشهاد بويب
| مسار = https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/
| عنوان = Compendium of Mathematical Symbols
| تاريخ = 2020-03-01
| موقع = Math Vault
| لغة = en-US
| تاريخ الوصول = 2020-08-10
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20201206071910/https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/ | تاريخ أرشيف = 6 ديسمبر 2020 }}</ref> {{ملا|If the constraint on a and b each being greater than zero is lifted, then there are actually two solutions, one positive and one negative, to this equation. ϕ is defined as the positive solution. The negative solution can be written as <math>\frac{1-\sqrt{5}}{2}</math>. The sum of the two solutions is one, and the product of the two solutions is negative one.}} هو [[عدد غير كسري|رقم غير نسبي]] يمثل حلًا للمعادلة التربيعية <math>x^2-x-1=0</math> بقيمة:

<math>\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} = 1.6180339887\ldots.</math>

وهو [[ثابت رياضي]] معرف تبلغ قيمته 1.6180339887 تقريبا.

لو نُظر إلى [[مستطيل]]ات مختلفة، لوُجد بعضها أجمل من الآخر. وفي معظم الأحيان تكون نسبة أبعاد هذه المستطيلات بعضها إلى بعض هي نفسها. وتسمى هذه المستطيلات «المستطيلات الذهبية» وخارج قسمة طولها على عرضها يسمى «الرقم الذهبي».

[[ملف:Golden Rectangle Construction.svg|تصغير|طريقة إنشاء المستطيل الذهبي. المربع مبين باللون الأحمر]]

فنجد أنه في [[مستطيل ذهبي|المستطيل الذهبي]] نسبة الطول إلى العرض تساوي <math>\varphi</math>.

وجرت العادة أن يكتب الرقم الذهبي باعتماد الحرف الاغريقي [[في (حرف يوناني)|Φ]] «يُنطق فاي أو في» أو رياضيا <math>\varphi</math>. وقد ظهرت هذه التسمية سنة [[1914]] وفاء لذكرى «[[فيدياس]]»، وهو نحّات قام بتزيين «البارثينون» في [[أثينا]].

ويظهر الرقم الذهبي أيضا في أشكال [[هندسة رياضية|هندسية]] أخرى منها [[خماسي أضلاع|خماسي الأضلاع]] المنتظم، وهو شكل هندسي ذو خمس أضلاع محتوى في [[دائرة]]، وأضلاعه وزواياه كلها متقايسة. وفي هذا الشكل يمثل خارج قسمة القطر على أحد الأضلاع الرقم الذهبي وهو عرضة للتشكيك في كثير من الأحيان من حيث أن أرقام مشابهة تكون موجودة ويتم الترويج إلى أن الرقم موجود بذاته أو أن الرقم لا يكون موجوداً في حالات كثيرة ويُدعى أنه موجود.<ref name=":0">[http://real-sciences.com/?p=7715 النسبة الذهبية حقيقة أم زيف]- نبأ محبوبة - [http://real-sciences.com/ العلوم الحقيقية] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160811182315/http://real-sciences.com/?p=7715 |date=11 أغسطس 2016}}</ref>

تسمى النسبة الذهبية أيضًا بالمتوسط الذهبي أو القسم الذهبي (لاتيني: مقطع aurea). {{Sfn|Livio|2003}} <ref name="dunlap">Dunlap, Richard A., ''The Golden Ratio and Fibonacci Numbers'', World Scientific Publishing, 1997</ref> وتشمل أسماء أخرى متطرفة ونسبة متوسط، <ref name="Elements 6.3">Euclid, ''[http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/toc.html Elements]'', Book 6, Definition 3. {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210117000300/https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/toc.html |date=17 يناير 2021}}</ref> قسم وسطي، نسبة الإلهية (اللاتينية: الإلهية proportio)، القسم الإلهي (اللاتينية: الإلهية التقطيعة)، نسبة الذهبية، وقطع ذهبية، <ref>Summerson John, ''Heavenly Mansions: And Other Essays on Architecture'' (New York: W.W. Norton, 1963) p.&nbsp;37. "And the same applies in architecture, to the [[مستطيل]] representing these and other ratios (e.g. the 'golden cut'). The sole value of these ratios is that they are intellectually fruitful and suggest the rhythms of modular design."</ref> ورقم ذهبي.<ref>Jay Hambidge, ''Dynamic Symmetry: The Greek Vase'', New Haven CT: Yale University Press, 1920</ref><ref>William Lidwell, Kritina Holden, Jill Butler, ''Universal Principles of Design: A Cross-Disciplinary Reference'', Gloucester MA: Rockport Publishers, 2003</ref><ref name="Pacioli">Pacioli, Luca. ''[[النسبة الذهبية (كتاب)|النسبة الذهبية]]'', Luca Paganinem de Paganinus de Brescia (Antonio Capella) 1509, Venice.</ref>

درس [[عالم رياضيات|علماء الرياضيات]] منذ [[إقليدس]] خصائص النسبة الذهبية، بما في ذلك مظهرها في أبعاد [[خماسي أضلاع|البنتاغون العادي]] وفي المستطيل الذهبي، والتي يمكن تقطيعها إلى مربع ومستطيل أصغر بنفس نسبة العرض إلى الارتفاع. تم استخدام النسبة الذهبية أيضًا لتحليل نسب الأشياء الطبيعية وكذلك الأنظمة التي من صنع الإنسان مثل [[سوق مالية|الأسواق المالية]]، في بعض الحالات بناءً على نوبات مشكوك فيها للبيانات.<ref>{{استشهاد بخبر
| الأول = Steven
| الأخير = Strogatz
| مؤلف-وصلة = Steven Strogatz
| عنوان = Me, Myself, and Math: Proportion Control
| عمل = [[نيويورك تايمز]]
| تاريخ = September 24, 2012
| مسار = http://opinionator.blogs.nytimes.com/2012/09/24/proportion-control/
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20201112021951/https://opinionator.blogs.nytimes.com/2012/09/24/proportion-control/ | تاريخ أرشيف = 12 نوفمبر 2020 }}</ref> تظهر النسبة الذهبية في بعض [[أنماط في الطبيعة|الأنماط في الطبيعة]]، بما في ذلك [[ترتيب الأوراق|الترتيب الحلزوني للأوراق]] وأجزاء النبات الأخرى.

قام بعض [[فنان|الفنانين]] [[مهندس معماري|والمهندسين المعماريين في]] القرن العشرين، بما في ذلك [[لو كوربوزييه]] [[سلفادور دالي|وسلفادور دالي]]، بتناسب أعمالهم لتقريب النسبة الذهبية، معتقدين أن هذا ممتع من [[فلسفة الجمال|الناحية الجمالية]]. غالبًا ما تظهر هذه في شكل [[مستطيل ذهبي]]، حيث تكون نسبة الجانب الأطول إلى الأقصر هي النسبة الذهبية.

== عملية حسابية ==
{| class="infobox bordered" cellpadding="5"
| colspan="2" align="center" |{{أعداد غير كسرية}}
|-
|[[نظام عد ثنائي|الثنائية]]
|1.1001111000110111011. . .
|-
|[[نظام عد عشري|عدد عشري]]
|1.6180339887498948482. .<ref name="a001622">{{OEIS2C}}</ref>
|-
|[[نظام عد ستة عشري|السداسي عشري]]
|1.9E3779B97F4A7C15F39. . .
|-
|[[كسر مستمر|جزء مستمر]]
|<math>1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}}</math>
|-
|[[عدد جبري|شكل جبري]]
|<math>\frac{1 + \sqrt{5}}{2}</math>
|}
يُقال إن الكميتين ''أ'' و ''ب'' في ''النسبة الذهبية'' {{تعبير رياضي|''φ''}} إذا

<math> \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi.</math>

إحدى طرق إيجاد قيمة {{تعبير رياضي|''φ''}} هي البدء بالكسر الأيسر. من خلال تبسيط الكسر والتعويض في ب / أ = 1 / {{تعبير رياضي|''φ''}}،

<math>\frac{a+b}{a} = \frac{a}{a}+\frac{b}{a} = 1 + \frac{b}{a} = 1 + \frac{1}{\varphi}.</math>

وبالتالي،

: <math> 1 + \frac{1}{\varphi} = \varphi. </math>

الضرب في {{تعبير رياضي|''φ''}} يعطي

: <math>\varphi + 1 = \varphi^2</math>

الذي يمكن إعادة ترتيبه إلى

: <math>{\varphi}^2 - \varphi - 1 = 0.</math>

باستخدام [[صيغة تربيعية|الصيغة التربيعية]]، يتم الحصول على حلين:

: <math>\frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1.618\,033\,988\,7\dots</math> و <math>\frac{1 - \sqrt{5}}{2} = -0.618\,033\,988\,7\dots</math>

لأن {{تعبير رياضي|''φ''}} هي النسبة بين الكميات الموجبة، {{تعبير رياضي|''φ''}} موجبة بالضرورة:

: <math>\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1.61803\,39887\dots</math> <ref name=":1">{{استشهاد بويب
| مسار = https://mathworld.wolfram.com/GoldenRatio.html
| عنوان = Golden Ratio
| موقع = mathworld.wolfram.com
| لغة = en
| تاريخ الوصول = 2020-08-10
| الأخير = Weisstein
| الأول = Eric W.
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20210112164104/https://mathworld.wolfram.com/GoldenRatio.html | تاريخ أرشيف = 12 يناير 2021 }}</ref>

{| class="infobox bordered" cellpadding="5"
| colspan="2" align="center" |{{أعداد غير كسرية}}
|-
|[[نظام عد ثنائي|الثنائية]]
|1.1001111000110111011. . .
|-
|[[نظام عد عشري|عدد عشري]]
|1.6180339887498948482. . .<ref name="a001622" />
|-
|[[نظام عد ستة عشري|السداسي عشري]]
|1.9E3779B97F4A7C15F39. . .
|-
|[[كسر مستمر|جزء مستمر]]
|<math>1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}}</math>
|-
|[[عدد جبري|شكل جبري]]
|<math>\frac{1 + \sqrt{5}}{2}</math>
|}

== التاريخ ==
[[ملف:Michael Maestlin.jpg|تصغير|[[مايكل مايستلين]]، أول من كتب التقريب العشري للنسبة الذهبية.]]
<blockquote>بعض من أعظم العقول الرياضية من جميع الأعمار، مثل [[فيثاغورس]] وإقليدس في اليونان القديمة، عبر عالم الرياضيات الإيطالي في العصور الوسطى [[ليوناردو فيبوناتشي]] وعالم فلك عصر النهضة يوهانس كيبلر، إلى الشخصيات العلمية الحالية مثل فيزيائي أكسفورد [[روجر بنروز]]، قضوا ساعات طويلة على هذه النسبة البسيطة وخصائصها. ... لقد فكر علماء الأحياء، والفنانون، والموسيقيون، والمؤرخون، والمهندسون المعماريون، وعلماء النفس، وحتى الصوفيون، وناقشوا أسس انتشارها وجاذبيتها. في الواقع، ربما يكون من العدل أن نقول إن النسبة الذهبية ألهمت المفكرين من جميع التخصصات مثل أي رقم آخر في تاريخ الرياضيات.</blockquote>وفقًا [[ماريو ليفيو|لماريو ليفيو]]، درس علماء الرياضيات [[اليونان القديمة|اليونانيون القدماء]] لأول مرة ما نسميه الآن النسبة الذهبية، بسبب ظهورها المتكرر في [[هندسة رياضية|الهندسة]]. {{Sfn|Livio|2003}} تقسيم الخط إلى «نسبة متطرفة ومتوسطة» (القسم الذهبي) مهم في هندسة [[نجمة خماسية|الخماسيات]] [[خماسي أضلاع|والخماسيات]] المنتظمة. {{Sfn|Livio|2003}} وفقًا لقصة واحدة، اكتشف عالم الرياضيات [[هيبياسي|هيباسوس من]] القرن الخامس قبل الميلاد أن النسبة الذهبية لم تكن عددًا [[هيبياسي|صحيحًا]] ولا جزءًا ([[عدد غير كسري|عددًا غير]] [[هيبياسي|نسبي]])، مما [[فيثاغورية|أثار]] دهشة [[فيثاغورية|الفيثاغورس]]. {{Sfn|Livio|2003}} ''[[الأصول (كتاب)|عناصر]]'' [[إقليدس]] ({{بدون لف|c. 300 BC}}) تقدم العديد من [[مبرهنة|الافتراضات]] وإثباتاتها باستخدام النسبة الذهبية، {{Sfn|Livio|2003}} {{ملا|Euclid, ''[http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/toc.html Elements]'', Book II, Proposition 11; Book IV, Propositions 10–11; Book VI, Proposition 30; Book XIII, Propositions 1–6, 8–11, 16–18.}} وتحتوي على أول تعريف معروف لها والذي يستمر على النحو التالي:<ref name="Hemenway">{{استشهاد بكتاب|مؤلف1=Hemenway|الأول=Priya|عنوان=Divine Proportion: Phi In Art, Nature, and Science|مسار= https://archive.org/details/divineproportion0000heme|سنة=2005|ناشر=Sterling|مكان=New York|ISBN=978-1-4027-3522-6|صفحات=[https://archive.org/details/divineproportion0000heme/page/20 20]–21|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20220622164515/https://archive.org/details/divineproportion0000heme|تاريخ أرشيف=2022-06-22}}</ref>

{{اقتباس|يقال إن الخط المستقيم قد تم قطعه بنسبة قصوى ومتوسطة عندما ، كما هو الحال بالنسبة للخط بأكمله ، يكون الخط المستقيم أكبر إلى الأصغر. {{Sfn | Livio | 2003 | p = 3}} {{efn | "Ακρον καὶ μέσον λόγον α τετμῆσθαι λέγεται، ὅταν ᾖ ὡς ἡ πλη πρὸς τὸ μ τμῆμα، οὕτως τὸ μεῖζον πρὸς αττὸν.") | سنة = 2007 | isbn = 978-0615179841 | صفحة = 156}} </ المرجع }}

تمت دراسة النسبة الذهبية محيطيًا خلال الألفية التالية. استخدمها [[أبو كامل شجاع بن أسلم|أبو كامل]] (حوالي 850-930) في حساباته الهندسية للخماسيات والعشاري. أثرت كتاباته على كتابات [[ليوناردو فيبوناتشي|فيبوناتشي]] (ليوناردو بيزا) (1170-1250)، الذي استخدم النسبة في مسائل الهندسة ذات الصلة، على الرغم من عدم ربطها مطلقًا [[عدد فيبوناتشي|بسلسلة الأرقام التي سميت باسمه]]. {{Sfn|Livio|2003}}

أطلق [[لوكا باتشولي|لوكا باسيولي]] على كتابه ''[[النسبة الذهبية (كتاب)|نسبة Divina]]'' (1509) بعد النسبة، واستكشف خصائصه بما في ذلك ظهوره في بعض [[مجسم أفلاطوني|المواد الصلبة الأفلاطونية]].<ref name="Pacioli" /> {{Sfn|Livio|2003}} أطلق [[ليوناردو دا فينشي|ليوناردو دافنشي]]، الذي رسم الكتاب المذكور أعلاه، على نسبة المقطع ''aurea'' («القسم الذهبي»).<ref>{{استشهاد بدورية محكمة|الأخير=Baravalle|الأول=H. V.|عنوان=The geometry of the pentagon and the golden section|مسار=https://archive.org/details/sim_mathematics-teacher_1948_41_1/page/22|صحيفة=Mathematics Teacher|المجلد=41|سنة=1948|صفحات=22–31}}</ref> حل علماء الرياضيات في القرن السادس عشر مثل [[رافائيل بومبيلي]] المسائل الهندسية باستخدام النسبة. {{Sfn|Livio|2003}}

{{عدة صور|align=right|direction=vertical|image1=Fibonacci Spiral.svg|image2=Lucas number spiral.svg|width=250|footer=حلزوني فيبوناتشي (أعلى) والذي يقارب اللولب الذهبي ، باستخدام أحجام مربعات متتالية فيبوناتشي تصل إلى 21. يتم أيضًا إنشاء حلزوني ذهبي (أسفل) من مربعات التراص التي أطوال أضلاعها هي أرقام تنتمي إلى تسلسل أرقام لوكاس ، وهنا تصل إلى الرقم 76}}.}}
لاحظ عالم الرياضيات الألماني سيمون جاكوب (المتوفى 1564) أن أرقام فيبوناتشي المتتالية تتقارب مع [[#Relationship to Fibonacci sequence|النسبة الذهبية]]. أعاد [[يوهانس كيبلر]] اكتشاف هذا في عام 1608. تم ذكر أول تقريب معروف [[نظام عد عشري]] للنسبة الذهبية (العكسية) على أنه «حوالي 0.6180340» في عام 1597 بواسطة [[مايكل مايستلين]] من [[جامعة توبنغن]] في رسالة إلى كيبلر، طالبه السابق. في نفس العام، كتب كبلر إلى مايستلين عن [[مثلث كيبلر]]، والذي يجمع النسبة الذهبية مع [[مبرهنة فيثاغورس]]. قال كبلر عن هؤلاء:<ref>{{استشهاد بويب
| مسار = http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Golden_ratio.html
| عنوان = The Golden Ratio
| تاريخ الوصول = 2007-09-18
| عمل = The MacTutor History of Mathematics archive
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20200225093554/http://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Golden_ratio.html
| تاريخ أرشيف = 25 فبراير 2020
}}</ref><ref>{{استشهاد بدورية محكمة|doi=10.1006/hmat.1995.1033|عنوان=A Supplement to J. Shallit's Paper "Origins of the Analysis of the Euclidean Algorithm"|صحيفة=[[Historia Mathematica]]|المجلد=22|العدد=4|صفحات=422–424|سنة=1995|الأخير1=Schreiber|الأول1=Peter}}</ref>{{Sfn|Livio|2003}}{{اقتباس|للهندسة كنزان عظيمان: أحدهما هو نظرية فيثاغورس ، والآخر تقسيم الخط إلى نسبة متطرفة ومتوسطة. قد نقارن الأولى بكتلة من الذهب ، والثانية قد نسميها جوهرة ثمينة <ref name=Fink>{{استشهاد بكتاب | عنوان = A Brief History of Mathematics: An Authorized Translation of Dr. Karl Fink's Geschichte der Elementar-Mathematik |الأخير1=Fink |الأول1=Karl |الأخير2=Beman |الأول2=Wooster Woodruff |الأخير3=Smith |الأول3=David Eugene |مؤلف3-وصلة=David Eugene Smith |ناشر=Open Court Publishing Co |مكان=Chicago |تاريخ=1903 |طبعة=2nd |صفحة=223 |مسار=https://archive.org/details/bub_gb_3hkPAAAAIAAJ/page/n238| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20210623023056/https://archive.org/details/bub_gb_3hkPAAAAIAAJ/page/n238 | تاريخ أرشيف = 23 يونيو 2021 }}</ref>}}

استخدم علماء الرياضيات في القرن الثامن عشر [[أبراهام دي موافر|أبراهام دي موفر]] [[دانييل برنولي|ودانييل برنولي]] [[ليونهارت أويلر|وليونهارد أويلر]] صيغة قائمة على النسبة الذهبية والتي تجد قيمة رقم فيبوناتشي بناءً على موضعه في التسلسل؛ في عام 1843، تم اكتشاف هذا بواسطة [[جاك فيليب ماري بينيه]]، الذي أطلق عليه اسم «صيغة بينيه».<ref name="MathWorld GR Conjugate">{{ماثوورلد}}</ref> استخدم [[مارتن أوم]] لأول مرة المصطلح الألماني ''goldener Schnitt'' («القسم الذهبي») لوصف النسبة في عام 1835.<ref>{{استشهاد بكتاب|عنوان=A Mathematical History of Division in Extreme and Mean Ratio|مؤلف1=Herz-Fischler|الأول=Roger|ناشر=Wilfrid Laurier University Press|سنة=1987|ISBN=978-0889201521|مسار=https://archive.org/details/mathematicalhist0000herz_z2u3| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20210129103153/https://archive.org/details/mathematicalhist0000herz_z2u3 | تاريخ أرشيف = 29 يناير 2021 }}</ref> استخدم جيمس سولي المصطلح الإنجليزي المكافئ في عام 1875.<ref>{{استشهاد بكتاب|مؤلف1=Posamentier|الأول=Alfred S.|مؤلف-وصلة=Alfred S. Posamentier|مؤلف2=Lehmann|الأول2=Ingmar|عنوان=The Glorious Golden Ratio|مسار=https://books.google.com/books?id=Gw-lqvE6fNgC&pg=PT8|سنة=2011|ناشر=[[Prometheus Books]]|ISBN=9-781-61614-424-1|صفحة=8| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20210125211618/https://books.google.com/books?id=Gw-lqvE6fNgC&pg=PT8 | تاريخ أرشيف = 25 يناير 2021 }}</ref>

بحلول عام 1910، بدأ عالم الرياضيات [[مارك بار]] في استخدام [[ألفبائية يونانية|الحرف اليوناني]] [[في (حرف يوناني)|فاي]] ('''φ''') [[رمز|كرمز]] للنسبة الذهبية.<ref>{{استشهاد بكتاب|مؤلف1=Posamentier|الأول=Alfred S.|مؤلف-وصلة=Alfred S. Posamentier|مؤلف2=Lehmann|الأول2=Ingmar|عنوان=The Glorious Golden Ratio|مسار=https://books.google.com/books?id=Gw-lqvE6fNgC&pg=PT285|سنة=2011|ناشر=[[Prometheus Books]]|ISBN=9-781-61614-424-1|صفحة=285| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20191020102316/https://books.google.com/books?id=Gw-lqvE6fNgC&pg=PT285 | تاريخ أرشيف = 20 أكتوبر 2019 }}</ref> {{ملا|After Classical Greek sculptor [[فيدياس]] (c.&nbsp;490–430&nbsp;BC);<ref>{{استشهاد بكتاب|الأخير=Cook|الأول=Theodore Andrea|مؤلف-وصلة=Theodore Andrea Cook|عنوان=The Curves of Life|سنة=1914|صفحة=420|مسار=https://archive.org/details/cu31924028937179/page/n455|ناشر=Constable and Company Ltd|مكان=London| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20201227074742/https://archive.org/details/cu31924028937179/page/n455 | تاريخ أرشيف = 27 ديسمبر 2020 }}</ref> Barr later wrote that he thought it unlikely that Phidias actually used the golden ratio.<ref>{{استشهاد بمجلة|الأول=Mark|الأخير=Barr|عنوان=Parameters of beauty|مجلة=[[Architecture (magazine, 1900–1936)|Architecture]] (NY)|المجلد=60|صفحة=325|سنة=1929}} Reprinted: {{استشهاد بمجلة|عنوان=Parameters of beauty|مجلة=Think|المجلد= 10–11|ناشر=International Business Machines Corporation|سنة=1944}}</ref>}} تم تمثيله أيضًا بواسطة [[تاو|tau]] ('''τ''')، الحرف الأول من [[اللغة الإغريقية|اليونانية القديمة]] τομή («قص» أو «قسم»). {{Sfn|Livio|2003}} <ref>{{ماثوورلد|title=Golden Ratio}}</ref>

بين عامي 1973 و1974، طور [[روجر بنروز]] [[تبليط بنروز]]، وهو نمط مرتبط بالنسبة الذهبية في كل من نسبة مساحات بلاطيتيها المعينية وترددها النسبي داخل النموذج.<ref>{{استشهاد بكتاب|مؤلف1=Gardner|الأول=Martin|مؤلف-وصلة=Martin Gardner|عنوان=The Colossal Book of Mathematics: Classic Puzzles, Paradoxes, and Problems|ناشر=W.W. Norton & Company|سنة=2001|ISBN=978-0393020236|صفحات=77, 88|مسار= https://books.google.com/books?id=orz0SDEakpYC&pg=PA88|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20160707094031/https://books.google.com/books?id=orz0SDEakpYC&pg=PA88
|تاريخ أرشيف=2016-07-07}}</ref> أدى هذا إلى اكتشاف [[دانيال شيختمان|دان شيختمان في]] أوائل ثمانينيات القرن الماضي [[شبه بلورة|لأشباه البلورات]]، <ref>{{استشهاد بويب
| مسار = http://www.bloomberg.com/news/2011-10-05/technion-s-shechtman-wins-chemistry-nobel-for-discovery-of-quasicrystals.html
| عنوان = Tecnion's Shechtman Wins Nobel in Chemistry for Quasicrystals Discovery
| تاريخ = October 5, 2011
| موقع = [[بلومبيرغ نيوز]]
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20141205014945/http://www.bloomberg.com/news/2011-10-05/technion-s-shechtman-wins-chemistry-nobel-for-discovery-of-quasicrystals.html
| تاريخ أرشيف = December 5, 2014
| تاريخ الوصول = January 4, 2019
| الأخير = Gerlin
| الأول = Andrea
}}</ref><ref>{{استشهاد|عنوان=Introduction to the Mathematics of Quasicrystals|الأول=Marko V.|الأخير=Jaric|ناشر=Elsevier|سنة=2012|ISBN=978-0323159470|صفحة=x|مسار=https://books.google.com/books?id=OToVjZW9CKMC&pg=PR10|اقتباس=Although at the time of the discovery of quasicrystals the theory of quasiperiodic functions had been known for nearly sixty years, it was the mathematics of aperiodic Penrose tilings, mostly developed by [[Nicolaas de Bruijn]], that provided the major influence on the new field.| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20160707172138/https://books.google.com/books?id=OToVjZW9CKMC&pg=PR10 | تاريخ أرشيف = 7 يوليو 2016 }}</ref> والتي يُظهر بعضها تناظر إيكوساهدرا. {{Sfn|Livio|2003}} <ref>{{استشهاد بدورية محكمة|عنوان=Quasicrystalline Materials|صحيفة=[[American Scientist]]|المجلد=84|العدد=3|صفحات=230–241|سنة=1996|الأخير=Goldman|الأول=Alan I.|إظهار المؤلفين=et al.}}</ref>

== التطبيقات والملاحظات ==

=== هندسة معمارية ===
[[ملف:Grande_Mosquée_de_Kairouan,_vue_du_minaret_depuis_la_cour.jpg|تصغير|المئذنة كما تُرى من باحة [[جامع عقبة بن نافع|الجامع الكبير بالقيروان]]]]
كشف تحليل هندسي أجري عام 2004 لبحث سابق في [[جامع عقبة بن نافع|الجامع الكبير بالقيروان]] (670) عن تطبيق النسبة الذهبية في كثير من التصميم.<ref name="Kairouan">Boussora, Kenza and Mazouz, Said, ''[http://www.emis.de/journals/NNJ/BouMaz.html The Use of the Golden Section in the Great Mosque of Kairouan], Nexus Network Journal'', vol. 6 no. 1 (Spring 2004). {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20201029055723/https://www.emis.de/journals/NNJ/BouMaz.html |date=29 أكتوبر 2020}}</ref> ووجدوا نسبًا قريبة من النسبة الذهبية في الشكل العام وفي أبعاد مكان الصلاة [[مئذنة|والفناء والمئذنة]]. ومع ذلك، فإن المناطق ذات النسب القريبة من النسبة الذهبية لم تكن جزءًا من الخطة الأصلية، ومن المحتمل أنها تمت إضافتها في إعادة الإعمار.<ref name="Kairouan" />

تم التكهن باستخدام النسبة الذهبية من قبل مصممي ساحة [[ميدان نقش جهان|نقش جهان]] (1629) [[مسجد الشيخ لطف الله|ومسجد لطف الله]] المجاور.<ref>{{استشهاد بكتاب|مؤلف1=Elliot|الأول=Jason|عنوان=Mirrors of the Unseen: Journeys in Iran|سنة=2006|صفحات=277, 284|ناشر=Macmillan|ISBN=978-0-312-30191-0|مسار= https://books.google.com/books?id=Gcs4IjUx3-4C&q=intitle:%22Mirrors+of+the+Unseen%22+golden-ratio+maidan&pg=PA284|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20210125195844/https://books.google.com/books?id=Gcs4IjUx3-4C&q=intitle:%22Mirrors+of+the+Unseen%22+golden-ratio+maidan&pg=PA284
|تاريخ أرشيف=2021-01-25}}</ref>

ركز [[مهندس معماري|المهندس المعماري]] السويسري [[لو كوربوزييه]]، المشهور بإسهاماته في [[الطراز الدولي (عمارة)|الأسلوب الدولي]] [[حركة حداثية|الحديث]]، فلسفته في التصميم على أنظمة التناغم والتناسب. ارتبط إيمان لو كوربوزييه بالترتيب الرياضي للكون ارتباطًا وثيقًا بالنسبة الذهبية و[[عدد فيبوناتشي|سلسلة فيبوناتشي]]، التي وصفها بأنها «إيقاعات واضحة للعين وواضحة في علاقاتها مع بعضها البعض. وهذه الإيقاعات هي أصل الأنشطة البشرية. إنهم يترددون في الإنسان بحتمية عضوية، نفس الحتمية الدقيقة التي تسبب اقتفاء أثر القسم الذهبي من قبل الأطفال والشيوخ والمتوحشين والمتعلمين.» <ref>Le Corbusier, ''The Modulor'' p.&nbsp;25, as cited in Padovan, Richard, ''Proportion: Science, Philosophy, Architecture'' (1999), p.&nbsp;316, Taylor and Francis, {{ردمك|0-419-22780-6}}</ref><ref>Frings, Marcus, ''[http://belveduto.de/text-nnj.htm The Golden Section in Architectural Theory], Nexus Network Journal'' vol. 4 no. 1 (Winter 2002). {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20201224221211/http://belveduto.de/text-nnj.htm |date=24 ديسمبر 2020}}</ref>

استخدم لو كوربوزييه صراحة النسبة الذهبية في نظام [[المودولور]] الخاص به [[مقياس الرسم|لمقياس]] [[نظريات العمارة|النسبة المعمارية]]. لقد رأى هذا النظام باعتباره استمرارًا للتقليد الطويل [[فيتروفيو|لفيتروفيوس]]، و «[[الرجل الفيتروفي (ليوناردو دا فينشي)|فيتروفيان مان]]» لليوناردو دافنشي، وعمل [[ليون باتيستا ألبيرتي]]، وغيرهم ممن استخدموا نسب جسم الإنسان لتحسين مظهر ووظيفة [[عمارة|العمارة]].

بالإضافة إلى النسبة الذهبية، بنى لو كوربوزييه النظام على [[قياسات بشرية|القياسات البشرية]] [[عدد فيبوناتشي|وأرقام فيبوناتشي]] والوحدة المزدوجة. لقد أخذ اقتراح النسبة الذهبية في النسب البشرية إلى أقصى الحدود: لقد قسّم نموذجه لجسم الإنسان عند السرة مع قسمين في نسبة ذهبية، ثم قسّم هذه المقاطع بنسبة ذهبية عند الركبتين والحلق؛ استخدم نسب النسبة الذهبية هذه في نظام [[المودولور]]. مثال على فيلا شتاين لو كوربوزييه عام 1927 في [[قوس (توضيح)|Garches]] تطبيق نظام المودولور. المخطط الأرضي المستطيل للفيلا والارتفاع والبنية الداخلية قريبة من المستطيلات الذهبية.<ref>Le Corbusier, ''The Modulor'', p.&nbsp;35, as cited in Padovan, Richard, ''Proportion: Science, Philosophy, Architecture'' (1999), p.&nbsp;320. Taylor & Francis. {{ردمك|0-419-22780-6}}: "Both the paintings and the architectural designs make use of the golden section".</ref>

أسس مهندس معماري سويسري آخر، [[ماريو بوتا]]، العديد من تصميماته على أشكال هندسية. تتكون العديد من المنازل الخاصة التي صممها في سويسرا من مربعات ودوائر ومكعبات وأسطوانات. في المنزل الذي صممه في اوريجليو، النسبة الذهبية هي النسبة بين القسم المركزي والأقسام الجانبية للمنزل.<ref>Urwin, Simon. ''Analysing Architecture'' (2003) pp.&nbsp;154–155, {{ردمك|0-415-30685-X}}</ref>

=== فن ===
[[ملف:Divina_proportione_-_Illustration_13,_crop_&_monochrome.jpg|يمين|تصغير|رسم [[ليوناردو دا فينشي|ليوناردو]] للعنصر [[لوكا باتشولي|ثنائي الوجوه]] من [[لوكا باتشولي|Pacioli]] 's ''[[النسبة الذهبية (كتاب)|Divina ratioe]]'' (1509)]]
''[[النسبة الذهبية (كتاب)|تم نشر Divina نسبة]]'' (''[[النسبة الذهبية (كتاب)|النسبة]]'' ''الإلهية'')، وهو عمل مكون من ثلاثة مجلدات بواسطة [[لوكا باتشولي]]، في عام 1509. كان [[راهب|الراهب]] [[فرنسيسكانية|الفرنسيسكاني]] [[راهب|باسيولي]] معروفًا في الغالب بكونه عالم رياضيات، لكنه أيضًا كان مدربًا ومهتمًا للغاية بالفن. استكشفت ''Divina ratioe'' رياضيات النسبة الذهبية. على الرغم من أنه كثيرًا ما يُقال إن باسيولي دعا إلى تطبيق النسبة الذهبية لإعطاء نسب متناغمة ومرضية، إلا أن ليفيو يشير إلى أن التفسير قد تم تتبعه إلى خطأ في عام 1799، وأن باسيولي قد دافع بالفعل عن نظام [[فيتروفيو|فيتروفيان]] للنسب العقلانية. {{Sfn|Livio|2003}} رأى باسيولي أيضًا أهمية دينية كاثوليكية في النسبة، مما أدى إلى عنوان عمله.

[[ليوناردو دا فينشي|أدت]] الرسوم التوضيحية [[ليوناردو دا فينشي|لليوناردو دافنشي]] عن [[عديد السطوح|متعدد السطوح]] في ''Divina ratioe'' <ref>{{استشهاد بويب
| مسار = http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/leonardo.html
| عنوان = Leonardo da Vinci's Polyhedra
| سنة = 1999
| موقع = George W. Hart
| تاريخ الوصول = March 10, 2019
| الأخير = Hart
| الأول = George W.
| مؤلف-وصلة = George W. Hart
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20201106232519/http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/leonardo.html | تاريخ أرشيف = 6 نوفمبر 2020 }}</ref> إلى التكهن بأنه قد أدرج النسبة الذهبية في لوحاته. لكن الإيحاء بأن ''[[موناليزا|لوحة الموناليزا]]'' الخاصة به، على سبيل المثال، تستخدم نسب النسبة الذهبية، لا تدعمها كتابات ليوناردو.<ref name="livio plus">{{استشهاد بويب
| مسار = https://plus.maths.org/content/os/issue22/features/golden/index
| عنوان = The golden ratio and aesthetics
| تاريخ = November 1, 2002
| موقع = Plus Magazine
| تاريخ الوصول = November 26, 2018
| الأخير = Livio
| الأول = Mario
|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20210113010123/https://plus.maths.org/content/os/issue22/features/golden/index
|تاريخ أرشيف=2021-01-13}}</ref> وبالمثل، على الرغم من أن ''[[الرجل الفيتروفي (ليوناردو دا فينشي)|الرجل فيتروفيان]]'' يظهر غالبًا فيما يتعلق بالنسبة الذهبية، إلا أن نسب الشكل لا تتطابق معها في الواقع، ويذكر النص فقط نسب الأعداد الصحيحة.<ref>{{استشهاد بويب
| مسار = http://www.maa.org/external_archive/devlin/devlin_05_07.html
| عنوان = The Myth That Will Not Go Away
| تاريخ = May 2007
| تاريخ الوصول = September 26, 2013
| اقتباس = Part of the process of becoming a mathematics writer is, it appears, learning that you cannot refer to the golden ratio without following the first mention by a phrase that goes something like 'which the ancient Greeks and others believed to have divine and mystical properties.' Almost as compulsive is the urge to add a second factoid along the lines of 'Leonardo Da Vinci believed that the human form displays the golden ratio.' There is not a shred of evidence to back up either claim, and every reason to assume they are both false. Yet both claims, along with various others in a similar vein, live on.
| الأخير = Keith Devlin
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20201112034625/https://www.maa.org/external_archive/devlin/devlin_05_07.html | تاريخ أرشيف = 12 نوفمبر 2020 }}</ref><ref>{{استشهاد بويب
| مسار = http://www.lhup.edu/~dsimanek/pseudo/fibonacc.htm
| عنوان = Fibonacci Flim-Flam
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20100109045556/http://www.lhup.edu/~dsimanek/pseudo/fibonacc.htm
| تاريخ أرشيف = January 9, 2010
| تاريخ الوصول = April 9, 2013
| الأخير = Donald E. Simanek
}}</ref>

استخدم [[سلفادور دالي]]، متأثرًا بأعمال ماتيلا غيكا، <ref>{{استشهاد بوسائط مرئية ومسموعة}}</ref> بوضوح النسبة الذهبية في تحفته، ''سر العشاء الأخير''. أبعاد اللوحة عبارة عن مستطيل ذهبي. يتدلى من اثنا عشر وجهًا ضخمًا، في المنظور بحيث تظهر الحواف بنسبة ذهبية لبعضها البعض، فوق وخلف [[يسوع]] ويسيطر على التكوين.<ref name="livio plus" /><ref>Hunt, Carla Herndon and Gilkey, Susan Nicodemus. ''Teaching Mathematics in the Block'' pp. 44, 47, {{ردمك|1-883001-51-X}}</ref>

وجدت دراسة إحصائية أجريت عام 1999 على 565 عملاً فنياً لرسامين عظماء مختلفين أن هؤلاء الفنانين لم يستخدموا النسبة الذهبية في حجم لوحاتهم. وخلصت الدراسة إلى أن متوسط نسبة جانبي اللوحات المدروسة 1.34 بمتوسطات للفنانين الفرديين تتراوح من 1.04 (جويا) إلى 1.46 (بيليني).<ref>Olariu, Agata, ''Golden Section and the Art of Painting'' [[arxiv:physics/9908036/|Available online]]</ref> من ناحية أخرى، أدرج Pablo Tosto أكثر من 350 عملاً لفنانين مشهورين، بما في ذلك أكثر من 100 من اللوحات ذات المستطيل الذهبي ونسب الجذر 5، وأخرى بنسب مثل root-2 و 3 و 4 و 6.<ref>Tosto, Pablo, ''La composición áurea en las artes plásticas – El número de oro'', Librería Hachette, 1969, pp.&nbsp;134–144</ref>

[[ملف:Medieval_manuscript_framework.svg|تصغير|تصوير النسب في مخطوطة من العصور الوسطى. وفقًا لـ [[جان تشيتشولد|Jan Tschichold]] : «نسبة الصفحة 2: 3. نسب الهامش 1: 1: 2: 3. تتناسب منطقة النص في القسم الذهبي».<ref>[[Jan Tschichold]]. ''The Form of the Book'', p. 43 Fig 4. "Framework of ideal proportions in a medieval manuscript without multiple columns. Determined by Jan Tschichold 1953. Page proportion 2:3. margin proportions 1:1:2:3, Text area proportioned in the Golden Section. The lower outer corner of the text area is fixed by a diagonal as well."</ref>]]

=== الكتب والتصميم ===
وفقًا لـ جان تشيتشولد، كان هناك وقت كانت فيه الانحرافات عن نسب الصفحات الجميلة حقًا 2: 3، 1: 3، والقسم الذهبي كانت نادرة. تظهر العديد من الكتب التي تم إنتاجها بين عامي 1550 و 1770 هذه النسب بالضبط، في حدود نصف ملليمتر.<ref>{{استشهاد بكتاب|مؤلف1=Tschichold|الأول=Jan|عنوان=The Form of the Book|سنة=1991|ناشر=Hartley & Marks|ISBN=0-88179-116-4|صفحات=27–28}}</ref>

ووفقًا لبعض المصادر، يتم استخدام النسبة الذهبية في التصميم اليومي، على سبيل المثال في نسب أوراق اللعب، والبطاقات البريدية، والملصقات، ولوحات الإضاءة، وأجهزة التلفزيون ذات الشاشة العريضة.<ref>{{استشهاد بدورية محكمة|عنوان=The golden section: A most remarkable measure|مسار=https://archive.org/details/sim_structurist_1971_11/page/44|الأول=Ronald|الأخير=Jones|صحيفة=The Structurist|المجلد=11|سنة=1971|صفحات=44–52|اقتباس=Who would suspect, for example, that the switch plate for single light switches are standardized in terms of a Golden Rectangle?}}</ref><ref>{{استشهاد بكتاب|عنوان=Famous problems and their mathematicians|مؤلف1=Johnson, Art|ناشر=Libraries Unlimited|سنة=1999|ISBN=978-1-56308-446-1|صفحة=45|مسار= https://books.google.com/books?id=STKX4qadFTkC&q=light+switch&pg=PA45|اقتباس=The Golden Ratio is a standard feature of many modern designs, from postcards and credit cards to posters and light-switch plates.|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20210125210014/https://books.google.com/books?id=STKX4qadFTkC&q=light+switch&pg=PA45
|تاريخ أرشيف=2021-01-25}}</ref> {{Sfn|Stakhov|Olsen|2009}} <ref>{{استشهاد بكتاب|عنوان=Cracking the Da Vinci code: the unauthorized guide to the facts behind Dan Brown's bestselling novel|مؤلف1=Cox, Simon|ناشر=Barnes & Noble Books|سنة=2004|ISBN=978-0-7607-5931-8|مسار=https://books.google.com/books?id=TbjwhwLCEeAC&q=postcard|اقتباس=The Golden Ratio also crops up in some very unlikely places: widescreen televisions, postcards, credit cards and photographs all commonly conform to its proportions.|صفحة=62| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20210125195925/https://books.google.com/books?id=TbjwhwLCEeAC&q=postcard | تاريخ أرشيف = 25 يناير 2021 }}</ref>

=== موسيقى ===
يحلل ارني ليندفاي أعمال [[بيلا بارتوك|Béla Bartók على]] أنها تستند إلى نظامين متعارضين، نظام النسبة الذهبية والمقياس الصوتي، <ref>Lendvai, Ernő (1971). ''Béla Bartók: An Analysis of His Music''. London: Kahn and Averill.</ref> الرغم من رفض علماء الموسيقى الآخرين لهذا التحليل. {{Sfn|Livio|2003}} استخدم الملحن الفرنسي [[إيريك ساتيه|إريك ساتي]] النسبة الذهبية في العديد من مقطوعاته، بما في ذلك ''Sonneries de la Rose + Croix'' . تظهر النسبة الذهبية أيضًا في تنظيم المقاطع في موسيقى ''Reflets dans l'eau (انعكاسات في الماء)'' [[كلود ديبوسي|لديبوسي]]، من ''الصور'' (السلسلة الأولى، 1905)، حيث «يتم تمييز تسلسل المفاتيح بواسطة الفترات 34 و 21 و 13 و 8، والذروة الرئيسية تجلس في موقع فاي».<ref name="Smith">Smith, Peter F. ''[https://books.google.com/books?id=ZgftUKoMnpkC&pg=PA83&dq=bartok+intitle:The+intitle:Dynamics+intitle:of+intitle:Delight+intitle:Architecture+intitle:and+intitle:Aesthetics&as_brr=0&ei=WkkSR5L6OI--ogLpmoyzBg&sig=Ijw4YifrLhkcdQSMVAjSL5g4zVk The Dynamics of Delight: Architecture and Aesthetics]'' (New York: Routledge, 2003) p. 83, {{ردمك|0-415-30010-X}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170221070332/https://books.google.com/books?id=ZgftUKoMnpkC&pg=PA83&dq=bartok+intitle:The+intitle:Dynamics+intitle:of+intitle:Delight+intitle:Architecture+intitle:and+intitle:Aesthetics&as_brr=0&ei=WkkSR5L6OI--ogLpmoyzBg&sig=Ijw4YifrLhkcdQSMVAjSL5g4zVk |date=21 فبراير 2017}}</ref>

لاحظ عالم الموسيقى روي هوات أن الحدود الرسمية لـ ''لا مير (ديبوسي)'' تتوافق تمامًا مع القسم الذهبي.<ref>{{استشهاد بكتاب|عنوان=Debussy in Proportion: A Musical Analysis|مؤلف1=Roy Howat|مسار=https://books.google.com/books?id=4bwKykNp24wC&q=intitle:Debussy+intitle:in+intitle:Proportion+golden+la-mer&pg=PA169|ناشر=Cambridge University Press|سنة=1983|ISBN=978-0-521-31145-8| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20210125195943/https://books.google.com/books?id=4bwKykNp24wC&q=intitle:Debussy+intitle:in+intitle:Proportion+golden+la-mer&pg=PA169 | تاريخ أرشيف = 25 يناير 2021 }}</ref> يجد Trezise أن الدليل الجوهري «رائع»، لكنه يحذر من أنه لا يوجد دليل مكتوب أو معلن يشير إلى أن ديبوسي سعى بوعي إلى مثل هذه النسب.<ref>{{استشهاد بكتاب|عنوان=Debussy: La Mer|مؤلف1=Simon Trezise|ناشر=Cambridge University Press|سنة=1994|ISBN=978-0-521-44656-3|صفحة=53|مسار=https://books.google.com/books?id=THD1nge_UzcC&pg=PA53| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20210125215037/https://books.google.com/books?id=THD1nge_UzcC&pg=PA53 | تاريخ أرشيف = 25 يناير 2021 }}</ref>

تضع براميل اللؤلؤ فتحات التهوية في طرازات Masters Premium بناءً على النسبة الذهبية. تدعي الشركة أن هذا الترتيب يحسن استجابة الجهير وقد تقدمت بطلب للحصول على [[براءة اختراع]] لهذا الابتكار.<ref>{{استشهاد بويب
| مسار = http://www.pearldrum.com/premium-birch.asp
| عنوان = Pearl Masters Premium
| ناشر = Pearl Corporation
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20071219191703/http://www.pearldrum.com/premium-birch.asp
| تاريخ أرشيف = December 19, 2007
| تاريخ الوصول = December 2, 2007
}}</ref>

على الرغم من أن هاينز بوهلين اقترح مقياس 833 سنتًا غير مكرر للأوكتاف استنادًا إلى النغمات المركبة، فإن الضبط يتميز بالعلاقات القائمة على النسبة الذهبية. كفترة موسيقية، النسبة 1.618 ... هي 833.090 ... سنتًا ({{صوت|Golden ratio on C.mid|Play}}</img> {{صوت|Golden ratio on C.mid|Play}}).<ref>"[http://www.huygens-fokker.org/bpsite/833cent.html An 833 Cents Scale: An experiment on harmony]", ''Huygens-Fokker.org''. Accessed December 1, 2012. {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20201127015425/http://www.huygens-fokker.org/bpsite/833cent.html |date=27 نوفمبر 2020}}</ref>

=== طبيعة ===
[[ملف:Aeonium_tabuliforme.jpg|تصغير|تفاصيل نبات الصحن، ''[[Aeonium tabuliforme]]''، يُظهر الترتيب اللولبي المتعدد ([[باراستيشي|parastichy]])]]
كتب يوهانس كيبلر أن «صورة الرجل والمرأة تنبع من النسبة الإلهية. في رأيي، تكاثر النباتات والأفعال التكاثرية للحيوانات في نفس النسبة». {{Sfn|Livio|2003}}

لاحظ عالم النفس أدولف زيزينج أن النسبة الذهبية ظهرت في [[ترتيب الأوراق|phyllotaxis]] وجادل من هذه [[أنماط في الطبيعة|الأنماط في الطبيعة]] أن النسبة الذهبية هي قانون عالمي.<ref>{{استشهاد بكتاب|عنوان=Proportion|مؤلف1=Richard Padovan|ناشر=Taylor & Francis|سنة=1999|ISBN=978-0-419-22780-9|صفحات=305–306|مسار= https://books.google.com/books?id=Vk_CQULdAssC&q=%22contained+the+ground-principle+of+all+formative+striving%22&pg=PA306|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20210125210032/https://books.google.com/books?id=Vk_CQULdAssC&q=%22contained+the+ground-principle+of+all+formative+striving%22&pg=PA306
|تاريخ أرشيف=2021-01-25}}</ref><ref>{{استشهاد بدورية محكمة|صحيفة=Nexus Network Journal|الأول=Richard|الأخير=Padovan|عنوان=Proportion: Science, Philosophy, Architecture|المجلد=4|صفحات=113–122|DOI=10.1007/s00004-001-0008-7|سنة=2002|العدد=1}}</ref> كتب [[استقامة التطور|زيزينج]] في عام 1854 عن قانون [[استقامة التطور|تقويم العظام]] الشامل «[[استقامة التطور|للسعي]] من أجل الجمال والاكتمال في مجالات الطبيعة والفن».<ref>{{استشهاد بكتاب|الأول=Adolf|مؤلف1=Zeising|عنوان=Neue Lehre van den Proportionen des meschlischen Körpers|سنة=1854|صفحة=preface|no-pp=true}}</ref>

في عام 2010، ذكرت مجلة ''Science'' أن النسبة الذهبية موجودة على المقياس الذري في الرنين المغناطيسي للسبينات في بلورات الكوبالت النيوبيتية.<ref>{{استشهاد بويب
| مسار = http://www.eurekalert.org/pub_releases/2010-01/haog-grd010510.php
| عنوان = Golden ratio discovered in a quantum world
| تاريخ = 2010-01-07
| ناشر = Eurekalert.org
| تاريخ الوصول = 2011-10-31
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20201109014142/https://www.eurekalert.org/pub_releases/2010-01/haog-grd010510.php | تاريخ أرشيف = 9 نوفمبر 2020 }}</ref>

ومع ذلك، فقد جادل البعض بأن العديد من المظاهر الواضحة للنسبة الذهبية في الطبيعة، خاصة فيما يتعلق بأبعاد الحيوانات، وهمية.<ref>Pommersheim, James E., Tim K. Marks, and {{Ill-WD2|Erica L. Flapan|id=Q5387879}}, eds. 2010. "Number Theory: A Lively Introduction with Proofs, Applications, and Stories". John Wiley and Sons: 82.</ref>

=== تحسين ===
النسبة الذهبية هي مفتاح البحث في [[:en:Golden-section search|golden-section (]]<nowiki/>المقطع الذهبي).

== الرياضيات ==

=== اللاعقلانية ===
النسبة الذهبية هي رقم [[:en:Irrational number|غير نسبي.]] فيما يلي دليلان قصيران على اللاعقلانية:

==== تناقض من تعبير بأدنى حد ====
[[ملف:Whirling_squares.svg|يسار|تصغير|إذا كانت ''φ'' [[عدد كسري|العقلاني]]، فإنه سيكون من نسبة جانبي مستطيل مع الجانبين صحيح (المستطيل يضم المخطط بأكمله). لكنها ستكون أيضًا نسبة جوانب عدد صحيح للمستطيل الأصغر (الجزء الأيمن من الرسم التخطيطي) يتم الحصول عليها بحذف مربع. تسلسل تناقص أطوال أضلاع الأعداد الصحيحة المتكونة من حذف المربعات لا يمكن أن يستمر إلى ما لا نهاية لأن الأعداد الصحيحة لها حد أدنى، لذلك لا يمكن أن تكون ''φ'' منطقية.]]
تذكر أن:

: الكل هو الجزء الأطول بالإضافة إلى الجزء الأقصر؛
: الكل هو الجزء الأطول حيث أن الجزء الأطول هو الجزء الأقصر.

إذا استدعينا ''n'' بالكامل والجزء الأطول ''m''، فإن العبارة الثانية أعلاه تصبح

''n'' هو ''m'' كما ''m'' هو ''n''&nbsp;−&nbsp;''m''

أو جبريًا

<math> \frac nm = \frac{m}{n-m}.\qquad (*) </math>

إن القول بأن النسبة الذهبية {{تعبير رياضي|''φ''}} منطقية يعني أن {{تعبير رياضي|''φ''}} كسر ''n'' / ''m'' حيث ''n'' و ''m'' عددان صحيحان. قد نأخذ ''n'' / ''m'' في [[كسر غير قابل للاختزال|أدنى حد]] و ''n'' و ''m'' موجبين. ولكن إذا كانت ''n'' / ''m'' بأدنى حد، فإن الهوية المسمى (*) أعلاه تقول ''m'' / (''n''&nbsp;-&nbsp;''م'') بعبارات أقل. هذا تناقض يتبع من افتراض أن {{تعبير رياضي|''φ''}} عقلاني.

بواسطة اللاعقلانية {{جذر|5}}

دليل قصير آخر - ربما يكون أكثر شيوعًا - على لاعقلانية النسبة الذهبية يستخدم [[انغلاق (رياضيات)|إغلاق]] الأعداد المنطقية تحت عمليات الجمع والضرب. إذا <math>\textstyle\frac{1 + \sqrt{5}}{2}</math> عقلاني، إذن <math>\textstyle2\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right) - 1= \sqrt{5}</math> هو أيضًا عقلاني، وهو تناقض إذا كان معروفًا بالفعل أن الجذر التربيعي [[عدد طبيعي|لعدد طبيعي]] غير [[مربع كامل|مربع]] هو غير منطقي.

=== كثير الحدود الصغرى ===
النسبة الذهبية هي أيضًا [[عدد جبري|رقم جبري]] وحتى [[عدد صحيح جبري]]، حيث لديها الحد الأدنى متعدد الحدود (نظرية المجال)

: <math>x^2 - x - 1.</math>

بالحصول على الدرجة 2، فإن كثير الحدود هذا له في الواقع جذران، والآخر هو اقتران النسبة الذهبية.

=== اقتران النسبة الذهبية ===
الجذر المترافق مع الحد الأدنى من كثير الحدود x <sup>2</sup> - x - 1 هو

: <math>-\frac{1}{\varphi}=1-\varphi = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = -0.61803\,39887\dots.</math>
: تتوافق القيمة المطلقة لهذه الكمية (≈ 0.618) مع نسبة الطول المأخوذة بترتيب عكسي (طول مقطع أقصر على طول مقطع أطول، ''ب / أ'')، ويشار إليها أحيانًا باسم '''النسبة الذهبية المترافقة''' <ref name="MathWorld GR Conjugate" /> أو '''نسبة الفضة''' . {{ملا|Not to be confused with the [[عدد فضي]], also known as the [[عدد فضي]].}} <ref>Weisstein, Eric W. (2002). [https://mathworld.wolfram.com/GoldenRatioConjugate.html "Golden Ratio Conjugate"]. ''CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, Second Edition'', pp. 1207–1208. CRC Press. {{ردمك|978-1420035223}}. {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200318193923/https://mathworld.wolfram.com/GoldenRatioConjugate.html |date=18 مارس 2020}}</ref> يُشار إليه هنا بالحرف Phi ('''<math>\Phi</math>'''):

<math>\Phi = {1 \over \varphi} = \varphi^{-1} = 0.61803\,39887\ldots.</math>

بدلا من ذلك، '''<math>\Phi</math>''' يمكن التعبير عنها كـ

<math>\Phi = \varphi -1 = 1.61803\,39887\ldots -1 = 0.61803\,39887\ldots.</math>

يوضح هذا الخاصية الفريدة للنسبة الذهبية بين الأرقام الموجبة، أي

: <math>{1 \over \varphi} = \varphi - 1,</math>
: أو معكوسه:
: <math>{1 \over \Phi} = \Phi + 1.</math>

هذا يعني 0.61803 ...: 1 = 1: 1.61803. . . .

=== أشكال بديلة ===
[[ملف:Golden_mean.png|يسار|تصغير|التقريب للنسبة الذهبية المتبادلة بواسطة كسور محدودة مستمرة، أو نسب أرقام فيبوناتشي]]
صيغة {{تعبير رياضي|''φ''}} = 1 + 1 / {{تعبير رياضي|''φ''}} يمكن توسيعها بشكل متكرر للحصول على [[كسر مستمر|جزء المستمر]] للالنسبة الذهبية:<ref>{{استشهاد بكتاب|عنوان=Concrete Abstractions: An Introduction to Computer Science Using Scheme|مؤلف1=Max. Hailperin|مؤلف2=Barbara K. Kaiser|الأخير3=Karl W. Knight|ناشر=Brooks/Cole Pub. Co|سنة=1998|ISBN=978-0-534-95211-2|مسار=https://books.google.com/books?id=yYyVRueWlZ8C&q=continued-fraction+substitute+golden-ratio&pg=PA63| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20210125200151/https://books.google.com/books?id=yYyVRueWlZ8C&q=continued-fraction+substitute+golden-ratio&pg=PA63 | تاريخ أرشيف = 25 يناير 2021 }}</ref>

<math>\varphi = [1; 1, 1, 1, \dots] = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}</math>

ومتبادله:

: <math>\varphi^{-1} = [0; 1, 1, 1, \dots] = 0 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}</math>
:
: [[كسر مستمر|تقاربات]] هذه الكسور المستمرة (1/1، 2/1، 3/2، 5/3، 8/5، 13/8... أو 1/1، 1/2، 2/3، 3 / 5، 5/8، 8/13...) هي نسب [[عدد فيبوناتشي|لأرقام فيبوناتشي]] المتتالية.

{{تعبير رياضي|''φ''}} المعادلة <sup>2</sup> = 1 + {{تعبير رياضي|''φ''}} تنتج أيضا من استمرار الجذر التربيعي :

: <math>\varphi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \cdots}}}}.</math>
: يمكن اشتقاق سلسلة لا نهائية للتعبير عن ''φ'' :<ref>Brian Roselle, [http://sites.google.com/site/goldenmeanseries/ "Golden Mean Series"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20201025115018/https://sites.google.com/site/goldenmeanseries/ |date=25 أكتوبر 2020}}</ref>
:: <math>\varphi=\frac{13}{8}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}(2n+1)!}{4^{2n+3}n!(n+2)!}.</math> أيضا:
:: <math>\varphi = 1+2\sin(\pi/10) = 1 + 2\sin 18^\circ</math>
:: <math>\varphi = {1 \over 2}\csc(\pi/10) = {1 \over 2}\csc 18^\circ</math>
:: <math>\varphi = 2\cos(\pi/5)=2\cos 36^\circ</math>
:: <math> \varphi = 2\sin(3\pi/10)=2\sin 54^\circ. </math>
: تتوافق هذه مع حقيقة أن طول قطر الخماسي المنتظم يساوي {{تعبير رياضي|''φ''}} ضعف طول ضلعها، وعلاقات مماثلة في [[نجمة خماسية|الخماسي]].

=== الهندسة ===
[[ملف:FakeRealLogSpiral.svg|يسار|تصغير|350x350بك|تقريبية وحقيقية [[دوامة ذهبية|اللوالب الذهبية]] . يتكون اللولب <span style="color:green;">الأخضر</span> من ربع دوائر مماس للداخل من كل مربع، في حين أن اللولب <span style="color:maroon;">الأحمر</span> عبارة عن لولب ذهبي، وهو نوع خاص من [[حلزون لوغاريتمي|اللولب اللوغاريتمي]] . تظهر الأجزاء المتداخلة <span style="color:olive;">باللون الأصفر</span> . طول ضلع المربع الواحد مقسومًا على المربع الأصغر التالي هو النسبة الذهبية.]]
{{تعبير رياضي|''φ''}} عدد حتى تتحول في كثير من الأحيان في [[هندسة رياضية|الهندسة]]، ولا سيما في الأرقام مع خماسية [[تناظر|التماثل]]. طول [[ضلع قطري|القطر]] المنتظم [[خماسي أضلاع|للخماسي]] يساوي {{تعبير رياضي|''φ''}} ضلعها. رؤوس [[عشروني سطوح|الأشكال العشرية الوجوه]] المنتظمة هي تلك الموجودة في [[3 (عدد)|ثلاثة]] مستطيلات ذهبية [[تعامد (جبر خطي)|متعامدة]] بشكل متبادل.

لا توجد [[خوارزمية]] عامة معروفة لترتيب عدد معين من العقد بالتساوي على كرة، لأي تعريف من عدة تعريفات للتوزيع الزوجي (انظر، على سبيل المثال، ''مشكلة طومسون''). ومع ذلك، ينتج تقريب مفيد من تقسيم الكرة إلى نطاقات متوازية ذات مساحة سطح متساوية ووضع عقدة واحدة في كل نطاق على خطوط طول متباعدة بقسم ذهبي من الدائرة، أي 360 درجة / {{تعبير رياضي|''φ''}} ≅ 222.5 درجة. تم استخدام هذه الطريقة لترتيب 1500 مرآة [[قمر اصطناعي|للقمر الصناعي]] التشاركي الطلابي Starshine-3.<ref>{{استشهاد بويب
| مسار = https://science.nasa.gov/science-news/science-at-nasa/2001/ast09oct_1/
| عنوان = A Disco Ball in Space
| تاريخ = 2001-10-09
| ناشر = NASA
| تاريخ الوصول = 2007-04-16
|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20201222224745/https://science.nasa.gov/science-news/science-at-nasa/2001/ast09oct_1/
|تاريخ أرشيف=2020-12-22}}</ref>

==== قسمة قطعة خطية على تقسيم داخلي ====
[[ملف:Goldener_Schnitt_Konstr_beliebt.svg|يسار|تصغير|250x250بك|قسمة القطعة المستقيمة على القسمة الداخلية على النسبة الذهبية]]

# باستخدام قطعة مستقيمة AB، أنشئ BC عموديًا عند النقطة B، بحيث يكون BC نصف طول AB. ارسم [[وتر (مثلث)|الوتر]] AC.
# ارسم قوسًا بمركزه C ونصف قطره BC. يتقاطع هذا القوس مع الوتر AC عند النقطة D.
# ارسم قوسًا بمركزه A ونصف قطره AD. يتقاطع هذا القوس مع مقطع الخط الأصلي AB عند النقطة S. تقسم النقطة S مقطع الخط الأصلي AB إلى مقاطع خطية AS و SB بأطوال في النسبة الذهبية.

==== قسمة قطعة خطية على تقسيم خارجي ====
[[ملف:Goldener_Schnitt_(Äußere_Teilung).svg|يسار|تصغير|250x250بك|قسمة القطعة المستقيمة على القسمة الخارجية على النسبة الذهبية]]

# ارسم مقطعًا مستقيًا AS وقم بتكوين الجزء S من النقطة SC عموديًا على AS وبنفس طول AS.
# قم بتقسيم المقطع المستقيم AS مع M.
# يتقاطع قوس دائري حول M بنصف قطر MC في النقطة B على الخط المستقيم عبر النقطتين A و S (المعروف أيضًا باسم امتداد AS). نسبة AS إلى الجزء المشيد SB هي النسبة الذهبية.

يمكنك أن ترى أمثلة تطبيقية في مقالات [[خماسي أضلاع|البنتاغون بطول]] [[معشر|ضلع معين، عشري مع دائرة معينة وعشر عشر مع طول ضلع معين]].

تنتج كل من [[خوارزمية|الخوارزميات]] المختلفة المعروضة أعلاه [[إنشاء بمسطرة وفرجار|إنشاءات هندسية]] تحدد جزأين من [[قطعة مستقيمة|الخط]] المحاذي حيث تكون نسبة الجزء الأطول إلى الأقصر هي النسبة الذهبية.

==== مثلث ذهبي وخماسي وخماسي ====
[[ملف:Golden_triangle_(math).svg|يسار|تصغير|[[مثلث ذهبي (رياضيات)|المثلث الذهبي]] . زاوية القوس المزدوج الأحمر 36 درجة، أو <math>\frac{\pi}{5}</math> راديان.]]

==== المثلث الذهبي ====
يمكن وصف [[مثلث ذهبي (رياضيات)|المثلث الذهبي]] بأنه [[مثلث متساوي الساقين]] ABC مع خاصية [[تنصيف|تقطيع]] الزاوية C إلى [[تنصيف|نصفين]] ينتج عنها [[مثلث]] جديد CXB وهو [[تشابه (هندسة)|مثلث مماثل للمثلث]] الأصلي.

إذا كانت الزاوية BCX = α، فإن XCA = α بسبب التقسيم، و CAB = α بسبب المثلثات المتشابهة ؛ ABC = 2α من التناظر الأصلي متساوي الساقين، و BXC = 2α بالتشابه. مجموع زوايا المثلث 180 درجة، لذا 5α = 180، مما يعطي α = 36 °. وبالتالي فإن زوايا المثلث الذهبي هي 36 درجة -72 درجة -72 درجة. زوايا المثلث المتساوي الساقين المتبقي AXC (تسمى أحيانًا العقرب الذهبي) هي 36 درجة -36 درجة -108 درجة.

لنفترض أن XB له طول 1، {{تعبير رياضي|''φ''}} BC length. بسبب المثلثات متساوية الساقين XC = XA و BC = XC، فهذه أيضًا هي الطول&nbsp;φ. طول التيار المتردد&nbsp;=&nbsp;إذن AB يساوي {{تعبير رياضي|''φ''}}&nbsp;+&nbsp;1. لكن المثلث ABC مشابه للمثلث CXB، لذا AC / BC&nbsp;=&nbsp;BC / BX، AC / {{تعبير رياضي|''φ''}}&nbsp;=&nbsp;φ / 1، وبالتالي فإن AC تساوي {{تعبير رياضي|''φ''}} <sup>2</sup> أيضًا. وهكذا {{تعبير رياضي|''φ''}} <sup>2</sup> =&nbsp;φ&nbsp;+&nbsp;1، مما يؤكد أن {{تعبير رياضي|''φ''}} هي بالفعل النسبة الذهبية.

وبالمثل، فإن نسبة مساحة المثلث الأكبر AXC إلى CXB الأصغر تساوي {{تعبير رياضي|''φ''}}، بينما تكون النسبة [[مقلوب عدد|العكسية]]&nbsp;φ&nbsp;-&nbsp;1.

==== خماسي الاضلاع ====
في [[خماسي أضلاع|البنتاغون العادي،]] تكون نسبة القطر إلى الضلع هي النسبة الذهبية، بينما يتقاطع قسم الأقطار مع بعضها البعض في النسبة الذهبية.<ref name="Pacioli" />

==== بناء أودوم ====
[[ملف:Odom.svg|تصغير|220x220بك|لنفترض أن A و B هما نقطتا منتصف الجانبين EF و ED لمثلث متساوي الأضلاع DEF. قم بتوسيع AB لمقابلة دائرة أد بلو AdBlue عند C.<nowiki><br /></nowiki><center><math>\tfrac{|AB|}{|BC|}=\tfrac{|AC|}{|AB|}=\phi</math></center>]]
[[جورج فيليبس أودوم جونيور|جورج أودوم]] أعطت بناء بسيط ملحوظ φ التي تنطوي على مثلث متساوي الأضلاع: إذا هو منصوص عليه مثلث متساوي الأضلاع في دائرة والجزء الخط الواصل بين نقاط المنتصف من الجانبين يتم إنتاج لتتقاطع دائرة في أي من نقطتين، ثم هذه النقاط الثلاث هي في نسبة ذهبية. هذه النتيجة هي نتيجة مباشرة [[مبرهنة قطع الوتر|لنظرية الأوتار المتقاطعة]] ويمكن استخدامها لبناء خماسي منتظم، وهو بناء جذب انتباه مقياس الهندسة الكندي الشهير [[سكوت ماكدونالد كوكستر]] الذي نشره باسم Odom كرسم تخطيطي في ''[[الرياضيات الأمريكية الشهرية]]'' مصحوبًا به كلمة واحدة «ها!» <ref>{{استشهاد بويب
| مسار = http://mathcentral.uregina.ca/qq/database/QQ.09.02/mary1.html
| عنوان = Quandaries and Queries
| ناشر = Math Central
| تاريخ الوصول = 23 October 2011
| الأخير = Chris and Penny
|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20200223185643/http://mathcentral.uregina.ca:80/QQ/database/QQ.09.02/mary1.html
|تاريخ أرشيف=2020-02-23}}</ref>

==== نجمة خماسية ====
[[ملف:Pentagram-phi.svg|يسار|تصغير|نجمة خماسية ملونة لتمييز أجزاء خطها بأطوال مختلفة. الأطوال الأربعة في النسبة الذهبية لبعضها البعض.]]
تلعب النسبة الذهبية دورًا مهمًا في هندسة [[نجمة خماسية|الخماسي]]. كل تقاطع للحواف يقسم حواف أخرى في النسبة الذهبية. أيضا، فإن نسبة طول الجزء أقصر إلى الجزء يحدها من قبل اثنين من تقاطع حواف (جانب من البنتاغون في مركز النجم الخماسي) هو φ كما يظهر في الشكل أربعة ألوان.

يشتمل الخماسي على عشرة [[مثلث متساوي الساقين|مثلثات متساوية الساقين]]: خمسة [[مثلث متساوي الساقين|مثلثات]] [[مثلث|حادة]] وخمسة [[مثلث منفرج الزاوية|منفرجة]] متساوية الساقين. في كل منهم، نسبة الضلع الأطول إلى الضلع الأقصر هي φ . المثلثات الحادة هي مثلثات ذهبية. مثلثات متساوية الساقين منفرجة هي عقرب ذهبية.

==== نظرية بطليموس ====
[[ملف:Ptolemy_Pentagon.svg|تصغير|يمكن حساب النسبة الذهبية في البنتاغون العادي باستخدام [[مبرهنة بطليموس|نظرية بطليموس]] .]]
يمكن تأكيد خصائص النسبة الذهبية للبنتاغون المنتظم عن طريق تطبيق [[مبرهنة بطليموس|نظرية بطليموس]] على الشكل الرباعي الذي يتكون من إزالة أحد رؤوسه. إذا كانت الحافة الطويلة للشكل الرباعي وأقطارها ''ب''، والحواف القصيرة ''أ''، فإن نظرية بطليموس تعطي ''ب'' <sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;''أ'' <sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;''AB'' الذي ينتج

<math>{b \over a}={{1+\sqrt{5}}\over 2}.</math>

==== تحجيم المثلثات ====
ضع في اعتبارك [[مثلث]]ًا له أطوال أطوال ''أ''، ''ب''، ''ج'' بترتيب تنازلي. حدد «حجم» المثلث ليكون الأصغر من النسبتين ''أ'' / ''ب'' و ''ب'' / ''ج'' . وscalenity هو دائما أقل من φ ويمكن أن يتم في أقرب وقت المطلوب φ <ref>''[[الرياضيات الأمريكية الشهرية]]'', pp.&nbsp;49–50, 1954.</ref>

==== مثلث تشكل جوانبه تدرجًا هندسيًا ====
إذا كانت أطوال أضلاع المثلث تشكل [[متتالية هندسية|تقدمًا هندسيًا]] وكانت في النسبة 1 : ''ص:'' ''ص'' <sup>2،</sup> حيث ''r'' هي نسبة المشتركة، ثم ''ص'' يجب أن تكمن في φ مجموعة -1 ''<ص'' φ والتي هي نتيجة ل [[متباينة المثلث|عدم المساواة مثلث]] (مجموع أي الجانبين من مثلث يجب أن تكون أكبر بدقة من طول الضلع الثالث). إذا ''ص'' = φ ثم الجانبين أقصر هي 1 و φ لكن مجموعهما هو φ <sup>2،</sup> وبالتالي ''ص'' φ تظهر عملية حسابية مماثلة أن ''r'' > φ −1. مثلث أضلاعه في النسبة 1 : {{جذر|[[في (حرف يوناني)|في]]}} : φ هو مثلث قائم الزاوية (لأن 1 + φ = φ <sup>2</sup>) يُعرف [[مثلث كيبلر|بمثلث كبلر]].<ref name="herz">{{استشهاد بكتاب|عنوان=The Shape of the Great Pyramid|مؤلف1=Herz-Fischler|الأول=Roger|ناشر=Wilfrid Laurier University Press|سنة=2000|ISBN=978-0-88920-324-2}}{{بحاجة لرقم الصفحة|date=January 2019}}</ref>

==== المثلث الذهبي، المعين، ثلاثي السطوح المعيني ====
[[ملف:GoldenRhombus.svg|تصغير|أحد المعينين ثلاثي السطوح]]
[[ملف:Rhombictriacontahedron.svg|تصغير|جميع وجوه الترياكونتاهيدرون المعينية هي ذهبية معينية]]
المعين الذهبي هو [[معين (هندسة رياضية)|المعين]] الذي تكون أقطاره في النسبة الذهبية. ثلاثي السطوح المعين هو متعدد الأشكال ومحدب له خاصية خاصة جدًا: جميع وجوهه عبارة عن معينية ذهبية. في المثلث [[زاوية ثنائية السطح|السطوح]] المعيني، تكون [[زاوية ثنائية السطح|الزاوية ثنائية السطوح]] بين أي معينين متجاورين هي 144 درجة، وهو ضعف الزاوية المتساوية الساقين في المثلث الذهبي وأربعة أضعاف الزاوية الأكثر حدة.<ref>{{استشهاد|عنوان=Catalan solids derived from three-dimensional-root systems and quaternions|الأول=Mehmet|الأخير=Koca|الأول2=Nazife Ozdes|الأخير2=Koca|الأول3=Ramazan|الأخير3=Koç|صحيفة=Journal of Mathematical Physics|المجلد=51|العدد=4|سنة=2010|صفحة=043501|DOI=10.1063/1.3356985|arxiv=0908.3272|bibcode=2010JMP....51d3501K}}.</ref>

=== العلاقة مع متوالية فيبوناتشي ===
إن رياضيات النسبة الذهبية ومتوالية [[عدد فيبوناتشي|فيبوناتشي]] مترابطة بشكل وثيق. تسلسل فيبوناتشي هو:

: 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، 55، 89، 144، 233، 377، 610، 987. . .

يتضمن [[تعبير منغلق الشكل|التعبير المغلق]] لتسلسل فيبوناتشي النسبة الذهبية:

: <math>F\left(n\right)
 = {{\varphi^n-(1-\varphi)^n} \over {\sqrt 5}}
 = {{\varphi^n-(-\varphi)^{-n}} \over {\sqrt 5}}.</math>
: [[ملف:Golden_Square_fractal_6.svg|تصغير|كسورية مربعة ذهبية]][[ملف:Fibonacci_spiral_34.svg|يسار|تصغير|250x250بك|[[عدد فيبوناتشي|لولب فيبوناتشي]] يقترب من اللولب الذهبي، باستخدام أحجام مربعات متتالية فيبوناتشي تصل إلى 34. يتم رسم اللولب بدءًا من المربع الداخلي 1 × 1 ويستمر للخارج إلى مربعات أكبر على التوالي.]][[ملف:Golden_Square_fractal_with_T-branching_8.svg|تصغير|المربعات الذهبية مع [[T- مربع (كسورية)|T- المتفرعة]]]]النسبة الذهبية هي [[نهاية متتالية|حد]] نسب المصطلحات المتعاقبة في متوالية فيبوناتشي (أو أي متوالية تشبه فيبوناتشي)، كما [[يوهانس كيبلر|أوضح كبلر]]:<ref>{{استشهاد بكتاب|عنوان=Elementary number theory in nine chapters|طبعة=2nd|مؤلف1=Tattersall|الأول=James Joseph|ناشر=[[مطبعة جامعة كامبريدج]]|سنة=2005|ISBN=978-0-521-85014-8|صفحة=28|مسار=https://books.google.com/books?id=QGgLbf2oFUYC&pg=PA29| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20210125203022/https://books.google.com/books?id=QGgLbf2oFUYC&pg=PA29 | تاريخ أرشيف = 25 يناير 2021 }}</ref>
:: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+1}}{F_n}=\varphi.</math> بمعنى آخر، إذا كان رقم فيبوناتشي مقسومًا على سابقه المباشر في التسلسل، فإن حاصل القسمة يقارب φ ؛ على سبيل المثال، 987/610&nbsp;{{تعبير رياضي|≈}}&nbsp;1.6180327868852. هذه هي تقريبية بالتناوب الدنيا والعليا من φ وتتقارب إلى φ مع تزايد أعداد فيبوناتشي، و:

: <math>\sum_{n=1}^{\infty}|F_n\varphi-F_{n+1}|

= \varphi.</math>

بشكل عام:

: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+a}}{F_n} = \varphi^a,</math>

حيث أعلاه، فإن نسب المصطلحات المتتالية لسلسلة فيبوناتشي، هي حالة متى <math>a = 1.</math>

علاوة على ذلك، فإن القوى المتعاقبة لـ φ تخضع [[علاقة استدعاء ذاتي|لتكرار]] فيبوناتشي:

: <math>\varphi^{n+1} = \varphi^n + \varphi^{n-1}.</math>
: هذه الهوية تسمح أي متعدد الحدود في φ أن تنخفض إلى التعبير الخطي. فمثلا:
:: <math>
\begin{align}
3\varphi^3 - 5\varphi^2 + 4 & = 3(\varphi^2 + \varphi) - 5\varphi^2 + 4 \\
& = 3[(\varphi + 1) + \varphi] - 5(\varphi + 1) + 4 \\
& = \varphi + 2 \approx 3.618.
\end{align}
</math>
: يمكن تحقيق الاختزال إلى تعبير خطي في خطوة واحدة باستخدام العلاقة
: <math>\varphi^k=F_k \varphi +F_{k-1},</math>
: أين <math>F_k</math> هو ''k'' th رقم فيبوناتشي.
: ومع ذلك، فهذه ليست خاصية خاصة لـ φ، لأنه يمكن تقليل كثيرات الحدود في أي حل ''x'' [[معادلة تربيعية|لمعادلة تربيعية]] بطريقة مماثلة، من خلال تطبيق:
: <math>x^2=ax+b</math>

بالنسبة للمعاملات المعطاة ''أ''، ''ب'' بحيث تحقق ''س'' المعادلة. حتى أكثر عموما، أي [[دالة كسرية]] (مع معاملات عقلانية) من جذر ''ن'' متعدد الحدود غير القابل للاختزال درجة عشر، على rationals يمكن خفضها إلى متعدد الحدود من الدرجة {{بدون لف|''n'' ‒ 1.}} مصاغة من حيث [[حقل (رياضيات)|نظرية المجال]]، إذا كانت α جذرًا لكثير حدود من الدرجة ''n'' غير القابلة للاختزال، إذن <math>\Q(\alpha)</math> درجة ''ن'' أكثر <math>\Q</math> مع الأساس <math>\{1, \alpha, \dots, \alpha^{n-1}\}.</math>

=== تناظرات ===
النسبة الذهبية والنسبة الذهبية المعكوسة <math>\varphi_\pm = (1\pm \sqrt{5})/2</math> لديها مجموعة من التناظرات التي تحافظ عليها وتربطها. كلاهما محفوظ من خلال التحويلات الخطية الجزئية <math>x, 1/(1-x), (x-1)/x,</math> - هذه الحقيقة تتوافق مع الهوية وتعريف المعادلة التربيعية. علاوة على ذلك، يتم تبادلهم بواسطة الخرائط الثلاث <math>1/x, 1-x, x/(x-1)</math> - هم متبادلون، متماثلون <math>1/2</math>، و (بشكل إسقاطي) متماثل حوالي 2.

بشكل أعمق، تشكل هذه الخرائط مجموعة فرعية من المجموعة المعيارية <math>\operatorname{PSL}(2,\mathbf{Z})</math> [[زمرة متناظرة|متماثل للمجموعة المتماثلة]] في 3 أحرف، <math>S_3,</math> المقابلة لمثبت المجموعة <math>\{0,1,\infty\}</math> من 3 نقاط قياسية على خط الإسقاط، وتتوافق التماثلات مع خريطة حاصل القسمة <math>S_3 \to S_2</math> - المجموعة الفرعية <math>C_3 < S_3</math> تتكون من 3 دورات والهوية <math>() (0 1 \infty) (0 \infty 1)</math> يُصلح الرقمين، بينما تتبادل الدورتان هاتين، وبالتالي تتحقق الخريطة.

=== خصائص أخرى ===
النسبة الذهبية لها أبسط تعبير (وأبطأ تقارب) كتوسيع كسر مستمر لأي عدد غير نسبي (انظر ''الصيغ البديلة'' أعلاه). ولهذا السبب، فهي واحدة من [[كسر مستمر|أسوأ حالات]] نظرية تقريب لاغرانج وهي حالة متطرفة لعدم مساواة هورويتز لتقديرات ديوفانتين. قد يكون هذا هو السبب في ظهور الزوايا القريبة من النسبة الذهبية في كثير من الأحيان في النمو [[ترتيب الأوراق|النباتي]] (نمو النباتات).<ref>[http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibnat2.html Fibonacci Numbers and Nature – Part 2 : Why is the Golden section the "best" arrangement?], from [http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/ Dr. Ron Knott's] [http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/ Fibonacci Numbers and the Golden Section], retrieved 2012-11-29. {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20201105231839/http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibnat2.html|date=2020-11-05}}</ref>

يؤدي تعريف كثير الحدود التربيعي والعلاقة المرافقة إلى قيم عشرية تشترك في φ الكسري مع φ :

: <math>\varphi^2 = \varphi + 1 = 2.618\dots</math>
:: <math>{1 \over \varphi} = \varphi - 1 = 0.618\dots.</math> يحتوي تسلسل قوى φ على هذه القيم 0.618 ... 1.0، 1.618 ... 2.618 ... ؛ بشكل عام، فإن أي قوة لـ φ تساوي مجموع القوتين السابقتين مباشرة:
:: <math>\varphi^n = \varphi^{n-1} + \varphi^{n-2} = \varphi \cdot \operatorname{F}_n + \operatorname{F}_{n-1}.</math> ونتيجة لذلك، يمكن للمرء أن تتحلل بسهولة أي قوة φ إلى مضاعفات φ وثابت. المضاعف والثابت هما دائمًا أرقام فيبوناتشي متجاورة. يؤدي هذا إلى خاصية أخرى للقوى الإيجابية لـ φ :
: إذا <math> \lfloor n/2 - 1 \rfloor = m </math>، ثم:
:: <math> \!\ \varphi^n = \varphi^{n-1} + \varphi^{n-3} + \cdots + \varphi^{n-1-2m} + \varphi^{n-2-2m} </math>
::: <math> \!\ \varphi^n - \varphi^{n-1} = \varphi^{n-2} . </math> عند استخدام النسبة الذهبية كأساس ل [[نظام عد|نظام الأرقام]] (انظر قاعدة النسبة الذهبية، يلقب في بعض الاحيان ''phinary'' أو φ ''-nary)،'' كل عدد صحيح لديه تمثيل تنتهي، على الرغم من φ يجري غير منطقي، ولكن كل جزء يحتوي على تمثيل إنهاء غير.
: النسبة الذهبية هي وحدة أساسية في [[حقل الأعداد الجبرية|حقل العدد الجبري]] <math>\mathbb{Q}(\sqrt{5})</math> وهو رقم Pisot – Vijayaraghavan .<ref name="MathWorld GR Conjugate" /> في الحقل <math>\mathbb{Q}(\sqrt{5})</math> لدينا <math>\varphi^n = {{L_n + F_n \sqrt{5}} \over 2}</math>، أين <math>L_n</math> هل <math>n</math> [[عدد لوكاس|رقم لوكاس]].
: تظهر النسبة الذهبية أيضًا في [[هندسة زائدية|الهندسة الزائدية]]، مثل المسافة القصوى من نقطة على جانب واحد من مثلث مثالي إلى أقرب الجانبين الآخرين: هذه المسافة، طول ضلع [[مثلث متساوي الأضلاع|المثلث متساوي الأضلاع الذي]] يتكون من نقاط التماس a الدائرة المدرجة داخل المثلث المثالي، هي <math>4\log(\varphi)</math>.<ref>[http://www.cabri.net/abracadabri/GeoNonE/GeoHyper/KBModele/Biss3KB.html Horocycles exinscrits : une propriété hyperbolique remarquable], cabri.net, retrieved 2009-07-21. {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200218104820/http://www.cabri.net:80/abracadabri/GeoNonE/GeoHyper/KBModele/Biss3KB.html|date=2020-02-18}}</ref>
: تظهر النسبة الذهبية في نظرية [[شكل نمطي|الوظائف المعيارية]] أيضًا. دع
:: <math>R(q)=\cfrac{q^{1/5}}{1+\cfrac{q}{1+\cfrac{q^2}{1+\cfrac{q^3}{1+\ddots}}}}.</math>
:: ثم
::: <math>R(e^{-2\pi})=\sqrt{\varphi\sqrt{5}}-\varphi ,\quad R(e^{-2\pi\sqrt{5}})=\frac{\sqrt{5}}{1+\left(5^{\frac{3}{4}}(\varphi -1)^{\frac{5}{2}}-1\right)^{\frac{1}{5}}}-\varphi .</math>
:::
::: أيضا إذا <math>a,b \in\mathbb{R}^{+}</math> و <math>ab=\pi ^2</math>، ثم <ref>Brendt, B. et al. "The Rogers–Ramanujan Continued Fraction"</ref>
:::: <math>(R(e^{-2a})+\varphi)(R(e^{-2b})+\varphi)=\varphi\sqrt{5}.</math>

=== توسيع عشري ===
يمكن حساب التوسع العشري للنسبة الذهبية مباشرة من التعبير

: <math>\varphi = {1+\sqrt{5} \over 2}</math>

مع {{جذر|5}} 2.2360679774997896964 OEIS : A002163 . يمكن حساب [[الجذر التربيعي ل 5|الجذر التربيعي للرقم 5]] [[طرق حساب الجذر التربيعي|بالطريقة البابلية]]، بدءًا بتقدير أولي مثل ''x'' φ = 2 [[طريقة تكرارية|والتكرار]]

: <math>x_{n+1} = \frac{(x_n + 5/x_n)}{2}</math>
: بالنسبة إلى ''n'' = 1، 2، 3... حتى يصبح الفرق بين ''x'' <sub>''n''</sub> و ''x'' <sub>''n'' −1</sub> صفرًا، إلى العدد المطلوب من الأرقام.

تعادل الخوارزمية البابلية لـ {{جذر|5}} [[طريقة نيوتن]] لحل المعادلة ''×'' <sup>2</sup>&nbsp;-&nbsp;5 = 0. في شكلها الأكثر عمومية، يمكن تطبيق طريقة نيوتن مباشرة على أي [[معادلة جبرية]]، بما في ذلك المعادلة ''×'' <sup>2</sup>&nbsp;-&nbsp;x&nbsp;-&nbsp;1 = 0 التي تحدد النسبة الذهبية. يعطي هذا تكرارًا يتقارب مع النسبة الذهبية نفسها،

: <math>x_{n+1} = \frac{x_n^2 + 1}{2x_n - 1},</math>
: للحصول على تقدير أولي مناسب ''x'' φ مثل ''x'' φ = 1. الطريقة الأسرع قليلاً هي إعادة كتابة المعادلة كـ ''x''&nbsp;-&nbsp;1&nbsp;-&nbsp;1 / ''س'' = 0، وفي هذه الحالة يصبح تكرار نيوتن
:: <math>x_{n+1} = \frac{x_n^2 + 2x_n}{x_n^2 + 1}.</math> كل هذه التكرارات [[سرعة التقارب|تتلاقى بشكل تربيعي]]؛ أي أن كل خطوة تضاعف تقريبًا عدد الأرقام الصحيحة. وبالتالي، من السهل نسبيًا حساب النسبة الذهبية [[حساب تدريج الدقة الحر (حوسبة)|بدقة عشوائية]]. الوقت اللازم لحساب ''عدد n'' من النسبة الذهبية يتناسب مع الوقت اللازم لقسمة رقمين من ''رقم n'' . هذا أسرع بكثير من الخوارزميات المعروفة [[عدد متسام|للأرقام المتعالية]] '''[[ط (رياضيات)|{{Pi}}]]''' و[[ه (رياضيات)|{{Mvar|'''e'''}}]] .
: من البدائل التي تتم برمجتها بسهولة باستخدام الحساب الصحيح فقط حساب رقمين متتاليين من أرقام فيبوناتشي وتقسيمهما. نسبة أرقام فيبوناتشي ''F'' <sub>25001</sub> و ''F'' <sub>25000</sub>، كل منها يزيد عن 5000 رقم، ينتج أكثر من 10000 رقم مهم من النسبة الذهبية.
: تم حساب التوسع العشري للنسبة الذهبية φ <ref name="a001622" /> بدقة تصل إلى تريليوني ({{Val|2}} = 2,000,000,000,000) رقم.<ref>{{استشهاد بويب
| مسار = http://www.numberworld.org/digits/GoldenRatio/
| عنوان = Golden Ratio
| تاريخ = 17 August 2015
| موقع = numberword.org
| الأخير = Yee
| الأول = Alexander J.
|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20201123100427/http://www.numberworld.org/digits/GoldenRatio/
|تاريخ أرشيف=2020-11-23}} Independent computations done by Ron Watkins and Dustin Kirkland.</ref>

== الاهرام ==
[[ملف:Mathematical_Pyramid.svg|يسار|تصغير|250x250بك|يتم تحديد الهرم المربع المنتظم من خلال مثلثه الأيمن الإنسي، والذي تكون حوافه هي شكل الهرم (أ)، وشبه القاعدة (ب)، والارتفاع (ح) ؛ يتم تمييز زاوية ميل الوجه أيضًا. النسب الرياضية ب: ح: أ من <math>1:\sqrt{\varphi}:\varphi</math> و <math>3:4:5</math> و <math>1:4/\pi:1.61899</math> ذات أهمية خاصة فيما يتعلق بالأهرامات المصرية.]]
يمكن تحليل كل من الأهرامات المصرية والأهرامات [[هرم رباعي|المربعة]] العادية التي تشبهها فيما يتعلق بالنسب الذهبية والنسب الأخرى.

=== الأهرامات الرياضية ===
الهرم الذي يكون فيه apothem (الارتفاع المائل على طول منصف الوجه) يساوي φ مرة نصف القاعدة (نصف عرض القاعدة) يسمى أحيانًا ''الهرم الذهبي'' . يمكن إنشاء المثلث متساوي الساقين الذي يمثل وجه مثل هذا الهرم من نصفي مستطيل ذهبي منقسم قطريًا (بحجم شبه قاعدي من خلال apothem)، وينضم إلى الحواف متوسطة الطول لتكوين apothem. ارتفاع هذا الهرم <math>\sqrt{\varphi}</math> ضرب شبه القاعدة (أي ميل الوجه هو <math>\sqrt{\varphi}</math>)؛ مربع الارتفاع يساوي مساحة الوجه، φ في مربع شبه القاعدة.

[[مثلث قائم|المثلث]] الإنسي [[مثلث قائم|الأيمن]] لهذا الهرم «الذهبي» (انظر الشكل)، مع جوانب <math>1:\sqrt{\varphi}:\varphi</math> مثير للاهتمام في حد ذاته، مما يدل على العلاقة من خلال [[مبرهنة فيثاغورس|نظرية فيثاغورس]] <math>\sqrt{\varphi} = \sqrt{\varphi^2 - 1}</math> أو <math>\varphi = \sqrt{1 + \varphi}</math> . [[مثلث كيبلر|مثلث كبلر]] هذا <ref>{{استشهاد بكتاب|مؤلف1=Alison|الأول=Jim|محرر1=Nixon|محرر1-الأول=Steve|عنوان=The Best of Astraea: 17 Articles on Science, History and Philosophy|ناشر=Astrea Web Radio|ISBN=978-1-4259-7040-6|سنة=2006|صفحات=92–93}}</ref> هو النسبة الوحيدة للمثلث الأيمن التي لها أطوال حواف في [[متتالية هندسية|التقدم الهندسي]]، <ref name="herz" /><ref name="Ghyka">{{استشهاد بكتاب|مؤلف1=Ghyka|الأول=Matila|مؤلف-وصلة=Matila Ghyka|عنوان=The Geometry of Art and Life|مكان=New York|ناشر=Dover|سنة=1977|مسار=https://books.google.com/books?id=h1Wm6tHAKHcC&pg=PA22|صفحات=22–24|ISBN=978-0486235424| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20210125203041/https://books.google.com/books?id=h1Wm6tHAKHcC&pg=PA22 | تاريخ أرشيف = 25 يناير 2021 }}</ref> تمامًا كما أن المثلث 3–4–5 هو نسبة المثلث الأيمن الوحيد مع أطوال الحافة في [[متتالية حسابية|التدرج الحسابي]]. الزاوية مع [[دوال مثلثية|الظل]] <math>\sqrt{\varphi}</math> يتوافق مع الزاوية التي يصنعها جانب الهرم بالنسبة إلى الأرض، 51.827 ... درجة (51 ° 49 '38 ").<ref>Midhat Gazale, ''Gnomon: From Pharaohs to Fractals'', Princeton Univ. Press, 1999</ref>

شكل هرمي مشابه تقريبًا، ولكن بنسب منطقية، موصوف في [[بردية ريند الرياضية]] (مصدر جزء كبير من المعرفة الحديثة [[الرياضيات في مصر القديمة|للرياضيات المصرية]] القديمة)، استنادًا إلى المثلث 3: 4: 5 ؛ <ref name="maor">[[Eli Maor]], ''Trigonometric Delights'', Princeton Univ. Press, 2000</ref> منحدر الوجه المقابل للزاوية ذات المماس 4/3 هو، لأقرب منزلتين عشريتين، 53.13 درجة (53 درجة و 8 دقائق). ارتفاع الميل هو 5/3 أو 1.666 ... أضعاف شبه القاعدة. تحتوي بردية Rhind أيضًا على مشكلة هرمية أخرى، ومرة أخرى بمنحدر منطقي (يُعبر عنه بالدور فوق الارتفاع). لم تتضمن الرياضيات المصرية فكرة الأعداد غير المنطقية، <ref>{{Ill-WD2|Hogben, Lancelot|id=Q562117}}, ''Mathematics for the Million'', London: Allen & Unwin, 1942, p.&nbsp;63., as cited by {{Ill-WD2|Teresi, Dick|id=Q5273445}}, ''Lost Discoveries: The Ancient Roots of Modern Science&nbsp;– from the Babylonians to the Maya'', New York: Simon & Schuster, 2003, p.56</ref> واستخدم المنحدر العكسي المنطقي (الركض / الارتفاع، مضروبًا في 7 للتحويل إلى وحداتهم التقليدية من النخيل لكل ذراع) في بناء الأهرامات.<ref name="maor" />

هرم رياضي آخر بنسب مماثلة تقريبًا للهرم «الذهبي» هو الهرم الذي محيطه يساوي 2 {{Pi}} ضعف الارتفاع، أو h: b = 4: {{Pi}} . تبلغ زاوية هذا المثلث 51.854 درجة (51 درجة 51 بوصة)، وهي قريبة جدًا من 51.827 درجة لمثلث كبلر. تتوافق هذه العلاقة الهرمية مع علاقة مصادفات رياضية <math>\sqrt{\varphi} \approx 4/\pi</math> .

الأهرامات المصرية متقاربة جدا بما يتناسب مع هذه الأهرامات الرياضية المعروفة.<ref name="herz" /><ref name="Herkommer">{{استشهاد بويب
| مسار = http://www.petrospec-technologies.com/Herkommer/pyramid/pyramid.htm
| عنوان = The Great Pyramid, The Great Discovery, and The Great Coincidence
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20140102194148/http://www.petrospec-technologies.com/Herkommer/pyramid/pyramid.htm
| تاريخ أرشيف = 2014-01-02
| تاريخ الوصول = 2007-11-25
}}</ref>

=== الاهرامات المصرية ===
[[ملف:Egypt._Pyramids._Pyramids_and_palm_grove_reflections_LOC_matpc.23063.jpg|يمين|تصغير|[[الهرم الأكبر|الهرم الأكبر بالجيزة]]]]
أحد الأهرامات المصرية القريبة من «الهرم الذهبي» هو [[الهرم الأكبر|الهرم الأكبر بالجيزة]] (المعروف أيضًا باسم هرم خوفو أو خوفو). منحدره البالغ 51 درجة 52 'قريب من ميل الهرم «الذهبي» عند 51 درجة 50' - وحتى أقرب إلى ميل الهرم القائم على {{Pi}} البالغ 51 درجة 51 '. ومع ذلك، تم العثور على العديد من النظريات الرياضية الأخرى لشكل الهرم الأكبر، استنادًا إلى المنحدرات المنطقية، على أنها تفسيرات أكثر دقة وأكثر منطقية لمنحدر 51 درجة 52 '.<ref name="herz" />

في منتصف القرن التاسع عشر، ودرس فريدريش ROBER الأهرامات المصرية المختلفة بما في ذلك تلك التي [[هرم خفرع|خفرع]]، [[هرم منقرع|منقرع]]، وبعض [[مجمع أهرامات الجيزة|الجيزة]]، [[سقارة]]، و[[أبو صير (البدرشين)|أبوصير]] المجموعات. لم يطبق النسبة الذهبية على الهرم الأكبر في الجيزة، لكنه وافق بدلاً من ذلك مع جون شاي بيرنج على أن نسبة الجانب إلى الارتفاع هي 8: 5. بالنسبة لجميع الأهرامات الأخرى، طبق القياسات المتعلقة بمثلث كبلر، وادعى أن أطوال أضلاعها الكاملة أو نصفها مرتبطة بارتفاعها من خلال النسبة الذهبية.<ref>{{استشهاد بكتاب|عنوان=The Shape of the Great Pyramid|مؤلف1=Herz-Fischler|الأول=Roger|ناشر=Wilfrid Laurier University Press|سنة=2000|ISBN=978-0-88920-324-2|صفحات=80–89|مسار=https://books.google.com/books?id=066T3YLuhA0C&pg=PA81| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20210125210057/https://books.google.com/books?id=066T3YLuhA0C&pg=PA81 | تاريخ أرشيف = 25 يناير 2021 }}</ref>

في عام 1859، أساء عالم الهرم جون تايلور تفسير [[هيرودوت]] ({{بدون لف|c. 440 BC}}) على أنه يشير إلى أن مربع ارتفاع الهرم الأكبر يساوي مساحة أحد مثلثات وجهه. {{ملا|Taylor translated Herodotus: "this Pyramid, which is four-sided, each face is, on every side 8 [[plethra]], and the height equal." He interpreted this imaginatively, and in 1860, [[جون هيرشل]] was the first of many authors to repeat his false claim. In 2000, Roger Herz-Fischler traced the error back to Taylor.{{sfn|Livio|2003|pp=55–58}}}} أدى ذلك إلى ادعاء تايلور أنه في الهرم الأكبر، يتم تمثيل النسبة الذهبية بنسبة طول الوجه (ارتفاع المنحدر، يميل بزاوية [[ثيتا|θ]] على الأرض) إلى نصف الطول من ضلع القاعدة المربعة (ما يعادل [[دوال مثلثية|قاطع]] الزاوية θ).<ref>Taylor, ''The Great Pyramid: Why Was It Built and Who Built It?'', 1859</ref> {{حول|186.4|m|ft}} أعلاه {{حول|186.4|m|ft}} حوالي {{حول|186.4|m|ft}} و {{حول|115.2|m|ft}} ، على التوالي. {{Sfn|Livio|2003}} نسبة هذه الأطوال هي النسبة الذهبية، وهي دقيقة لأرقام أكثر من أي من القياسات الأصلية. وبالمثل، أفاد [[ريتشارد وليام هوارد فيس|هوارد فايس]] بارتفاع الهرم الأكبر {{حول|148.2|m|ft}}، ونصف القاعدة {{حول|116.4|m|ft}}، مما ينتج عنه 1.6189 لنسبة الارتفاع المائل إلى نصف القاعدة، مرة أخرى أكثر دقة من تقلب البيانات.<ref name="Ghyka" />

ادعى [[إيريك تومبل بيل|إريك تمبل بيل]]، عالم الرياضيات والمؤرخ، في عام 1950 أن الرياضيات المصرية لن تدعم القدرة على حساب الارتفاع المائل للأهرامات، أو النسبة إلى الارتفاع، باستثناء حالة الهرم 3: 4: 5، منذ ذلك الحين كان المثلث 3: 4: 5 هو المثلث القائم الزاوية الوحيد المعروف للمصريين ولم يعرفوا نظرية فيثاغورس، ولا بأي طريقة للتفكير حول اللاعقلانية مثل {{Pi}} أو φ.<ref>{{استشهاد بكتاب|مؤلف1=Bell|الأول=Eric Temple|عنوان=The Development of Mathematics|مكان=New York|ناشر=Dover|سنة=1940|صفحة=40|مسار=https://books.google.com/books?id=_5KAnw3QMC8C&pg=PA40|ISBN=978-0486272399| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20201226120530/https://books.google.com/books?id=_5KAnw3QMC8C&pg=PA40 | تاريخ أرشيف = 26 ديسمبر 2020 }}</ref> تتطابق أمثلة المشكلات الهندسية لتصميم الهرم في بردية Rhind مع منحدرات منطقية مختلفة.<ref name="herz" />

يؤكد مايكل رايس <ref>Rice, Michael, ''Egypt's Legacy: The Archetypes of Western Civilisation, 3000 to 30 B.C.'' p. 24 Routledge, 2003, {{ردمك|0-415-26876-1}}</ref> أن المراجع الرئيسية في تاريخ [[العمارة في مصر القديمة|العمارة المصرية]] جادلت بأن المصريين كانوا على دراية جيدة بالنسبة الذهبية وأنها جزء من رياضيات الأهرامات، مستشهدين بجيدون (1957).<ref>S. Giedon, 1957, The Beginnings of Architecture, The A.W. Mellon Lectures in the Fine Arts, 457, as cited in Rice, Michael, ''Egypt's Legacy: The Archetypes of Western Civilisation, 3000 to 30 B.C.'' p. 24 Routledge, 2003</ref> ناقش مؤرخو العلوم منذ فترة طويلة ما إذا كان لدى المصريين أي معرفة من هذا القبيل، معتبرين أن ظهوره في الهرم الأكبر هو نتيجة الصدفة.<ref name="Markowsky">{{استشهاد بدورية محكمة|الأخير=Markowsky|الأول=George|تاريخ=January 1992|عنوان=Misconceptions about the Golden Ratio|صحيفة=Mathematical Association of America|المجلد=23|العدد=1|DOI=10.2307/2686193|مسار=http://www.umcs.maine.edu/~markov/GoldenRatio.pdf|jstor=2686193|صفحات=2–19| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20201211062911/http://aturing.umcs.maine.edu/~markov/GoldenRatio.pdf | تاريخ أرشيف = 11 ديسمبر 2020 }}</ref>

== قيمتها العددية ==
[[ملف:نسبة ذهبية.png|تصغير|يسار]]

قيمة الرقم الذهبي الدقيقة هي <math>\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}</math> كما يمكن إثبات أنّ قيمتها <math>2\cos(36^\circ)\,</math> أيضا ولإيجاد قيمة تقريبية لهذا الرقم يمكننا استعمال [[آلة]] [[آلة حاسبة|حاسبة]]. قيمة <math>\varphi</math> التقريبية هي 1.618 ولكن عدد الأرقام العشرية لا متناهية ولا يمكن توقّعها أو التكهن بها.

ويمكننا أيضا اعتماد متوالية أو «سلسلة فيبوناتشي» للاقتراب من الرقم الذهبي، وقد تم وضع هذه المتوالية في العصر الوسيط على يد عالم الرياضيات الإيطالي ليوناردو دا بيزّا (نسبة إلى بيزّا المدينة الإيطالية) المسمّى «فيبوناتشي»، لدراسة تكاثر الأرانب.

وأول رقمين في هذه السلسلة هما 1. ولإيجاد مختلف عناصرها، نجمع العنصرين السابقين. فنحصل بالتالي على السلسلة التالية :

و بقسمة كل عنصر على سابقه (بداية من الـ1 الثاني)، نقترب شيئا فشيئاً من الرقم الذهبي

و في النهاية، يمكننا اعتماد هذا [[كسر مستمر|الكسر المستمر]] لإيجاد قيمة قريبة من قيمة φ:

<math>\varphi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \cdots}}}}.</math><ref>{{استشهاد بكتاب| عنوان = Concrete Abstractions: An Introduction to Computer Science Using Scheme
| مؤلف = Max. Hailperin, Barbara K. Kaiser, and Karl W. Knight | ناشر = Brooks/Cole Pub. Co | سنة = 1998 |ردمك= 0-534-95211-9 | مسار = https://books.google.com/?id=yYyVRueWlZ8C&pg=PA63&dq=continued-fraction+substitute+golden-ratio
|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20200122005730/https://books.google.com/books?id=yYyVRueWlZ8C&pg=PA63&dq=continued-fraction+substitute+golden-ratio&hl=en|تاريخ أرشيف=2019-12-08}}</ref>

== الاستفادة منها ==
[[ملف:Pentagon satellite image.jpg|تصغير|صورة جوية لل[[بنتاغون]]، يظهر فيه ال[[خماسي أضلاع|مخمس]]، حيث نسبة طول الوتر إلى طول الضلع يساوي النسبة الذهبية]]
[[رقم|الرقم]] الذهبي معروف على الأرجح منذ عصور ما قبل التاريخ. فقد أستعمله [[مهندس]]ون وفنانون كثيرون منذ العصور القديمة. فمثلا [[هرم]] «[[خوفو]]»، المبني في سنة 2800 ق.م. تقريبا، يظهر أن مهندسه استعمل الرقم الذهبي وكذلك شأن [[مبنى]] «البارثينون» بأثينا، الذي تم بناؤه في القرن الخامس ق.م وأيضا يوجد إشارة إلى هذه النسبة في بناء أهرامات الجيزة في [[مصر]].

وفي عصر النهضة، استعمل العديد من الرسّامين (مثل «بييرو ديلاّ فرانشيسكا» أو «[[ليوناردو دا فينشي]]») المظاهر الجمالية المرتبطة بالرقم الذهبي في لوحاتهم. وقد أبرز «دا فينشي» كذلك [[كتاب]]ا يبيّن الخصائص الرياضية والجمالية والعجيبة للرقم الذهبي ويسمى هذا الكتاب " "De divina proportio (أو التناسب الإلهي) وقد ألفه كاهن [[إيطاليا|إيطالي]] اسمه «فرا لوكا باشيولي».

و يظهر الرقم الذهبي كذلك في ميدان الموسيقى ذلك أن صانع الكمانات الإيطالي «أنتونيو ستراديفاري» (و اشتهر «ستراديفاريوس») استخدم هو الآخر هذا الرقم في صنع كماناته الشهيرة مع نهاية القرن السابع عشر للميلاد.

و في [[القرن 20|القرن العشرين]]، أهتم العديد من المهندسين والرسامين بالرقم الذهبي في إنجازاتهم، وبالخصوص المهندس الفرنسي «لو كوربيسيي» والرسّام الإسباني «[[سلفادور دالي]]».

ورغم الأقوال بوجود استخدام للنسبة الذهبية في بعض المباني غير أن كثيراً منها هي أما مقاربات بعيدة عن النسبة الذهبية، أو أنها غير موجودة ببساطة كما في المعبد اليوناني الذي ثبت عدم وجود النسبة الذهبية فيه، فضلاً عن وجود نسب أخرى تُستخدم بكثرة من قبل المعماريين لكنها غير مشهورة.<ref name=":0" />

ويدعي البعض انه يستخدم أيضًا في [[سوق|الأسواق]] المالية وأسواق [[عملة|العملات]] والمعادن، بل هو من أهم الأدوات المستخدمة في التحليل الفني لتلك الأسواق؛ فعندما تقوم أسعار الأوراق المالية - أو العملات أو المعادن - بتصحيح مسارها (بمعنى أن تنخفض بعد اتجاه صعودي، أو ترتفع بعد اتجاه هبوطي) يقوم المحللون الفنيون لتلك الأسواق بحساب نسب ارتدادات الأسعار (أي تحديد مدى ذلك الارتفاع أو الانخفاض)، وتلك النسب كلها مشتقة من الرقم الذهبي بحسب الادعاءات ولكن لا توجد أي أدلة على ادعاءات مماثلة.<ref name=":0" />

== خصائصها ==

بالإضافة إلى ميزاته الجمالية، فإن الرقم الذهبي يمتاز بخاصية جبريّة مهمّة، إذ أنه يكفي أن تضيف إليه 1 لتجد مربّعه (أي <math>\varphi \times \varphi</math>). وبعبارة أخرى فإن :

<math>\varphi^2 = \varphi + 1</math>

و هذه الصيغة الأخيرة هي الصيغة العامة لتعريف الرقم الذهبي.

و هناك خاصية أخرى تنجرّ عن السابقة وهي أنه يكفي أن ننقص الرقم الذهبي من 1 حتى نجد مقلوبه (أي <math>1 \over \varphi</math>) وبالتالي فإن :

1 -<math>{1 \over \varphi} =  \varphi</math>

بصورة عامة، يمكن القول أنَّ : <math>\varphi^n=\varphi^{n-1}+\varphi^{n-2}</math>

وأيضاً: <math>\frac{n}{\varphi}=n\varphi-n</math>

<br/>
{{مخفي
| style = border:2px red;
| headerstyle = background: #efefef; border:1px red; font-size: 100%;
| contentstyle =background: #efefef; border:1px red; text-align: right;
| header = طريقة استنتاج كل من العلاقات السابقة
| content =
* أولاً: لإثبات أن <math>\varphi^2=\varphi+1</math>
<div style="text-align: center;"><math>\varphi=\frac{\varphi}{1}=\frac{\varphi+1}{\varphi}\;</math></div>

بما أن جداء طرفي كسرين متكافئين يساوي جداء وسطيه، فإن:
<div style="text-align: center;"><math>\varphi^2=\varphi+1\!</math></div>

* ثانياً: إثبات أن <math>\frac{1}{\varphi}=\varphi-1</math> نثبت أن جداء الطرفين يساوي جداء الوسطين، فنثبت أن:
<div style="text-align: center;"><math>1\times 1=\varphi\times (\varphi-1)\!</math></div>

باختزال العلاقة السابقة:

<div style="text-align: center;"><math>1=\varphi^2-\varphi\!</math></div>

نعوض <math>\varphi^2=\varphi+1</math> فنحصل على:

<div style="text-align: center;"><math>1=\varphi+1-\varphi=1\!</math></div>

فينتج من تساوي العلاقة السابقة أن جداء طرفي الكسر يساوي جداء وسطيه، وبالتالي تثبت صحة العلاقة: <math>\frac{1}{\varphi}=\varphi-1</math>

* ثالثا: إثبات أن <math>\varphi^n=\varphi^{n-1}+\varphi^{n-2}</math> :

نكتب : <div style="text-align: center;"><math>\varphi=\frac{\varphi^{n-1}}{\varphi^{n-2}}\!</math></div>

العلاقة السابقة صحيحة لأنه عند قسمة عددين ذوي أساسين متساويين فإن الناتج يكون نفس الأساس مرفوع إلى حاصل طرح الأسس

بالاستفادة من علاقة النسبة الذهبية نقول: <div style="text-align: center;"><math>\frac{\varphi^{n-1}}{\varphi^{n-2}}=\frac{\varphi^{n-1}+\varphi^{n-2}}{\varphi^{n-1}}\!</math></div>

<br />
<div style="text-align: center;"><math>\varphi=\frac{\varphi^{n-1}+\varphi^{n-2}}{\varphi^{n-1}}=\frac{\varphi^n}{\varphi^{n-1}}\!</math></div>

نضرب [[طرفا معادلة|طرفي المعادلة]] بـ <math>\varphi^{n-1}</math> فنحصل على القانون: <math>\varphi^n=\varphi^{n-1}+\varphi^{n-2}</math>

* رابعاً: إثبات أن <math>\frac{n}{\varphi}=n\varphi-n</math>

يمكن القول أن: <div style="text-align: center;"><math>\frac{n}{\varphi}=n\times(\frac{1}{\varphi})</math></div>

نعوض <math>\frac{1}{\varphi}=\varphi-1</math> فنقول: <div style="text-align: center;"><math>\frac{n}{\varphi}=n\times (\varphi-1)\!</math></div>

باختزال ما سبق نحصل على القانون: <div style="text-align: center;"><math>\frac{n}{\varphi}=n\varphi-n\!</math></div>

}}
== تجلياتها ==
يظهر الرقم الذهبي في العديد من الإنجازات الإنسانية، ولكن أيضا في الطبيعة بعض الأحيان وبشكل تقريبي مثل:
[[ملف:Complete graph K5.svg|تصغير|[[نجمة خماسية]] منتظمة، تكون نسبة طول ضلع النجمة إلى طول ضلع ال[[خماسي أضلاع|مخمس]] يساوي النسبة الذهبية.]]
* الشكل الهندسي ل[[نجم البحر]] الذي يمتاز بشكل خماسي الأضلاع المتداخل.
* شكل قوقعة [[حلزون (توضيح)|الحلزون]] الهندسي، وقد تم تفنيد هذا الظهور للنسبة الذهبية حيث الحلزون الذهبي هو واحد من الأرقام اللانهائية لأي خوارزمية حلزونية ممكنة ولا يشترط أن تكون النسبة الذهبية داخلة.<ref name=":0" />
* أو في زهرة دوار الشمس أو في حراشف الصنوبر («تفاح الصنوبر»).
* ويبدو أيضا أن خارج قسمة الطول الإجمالي لجسم الإنسان على ارتفاع السرة عن الأرض مساو، هو الآخر، للرقم الذهبي.

== الملاحظات المتنازع عليها ==
تتضمن أمثلة الملاحظات المتنازع عليها بشأن النسبة الذهبية ما يلي:
[[ملف:NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg|تصغير|غالبًا ما يُزعم خطأً أن قذائف [[نوتي|نوتيلوس كانت]] متناسبة مع الذهب.]]

* غالبًا ما يُزعم أن بعض النسب المحددة في أجسام العديد من الحيوانات (بما في ذلك البشر) <ref name="pheasant">{{استشهاد بكتاب|الأول=Stephen|مؤلف1=Pheasant|عنوان=Bodyspace|مكان=London|ناشر=Taylor & Francis|سنة=1998|ISBN=978-0-7484-0067-6}}</ref><ref name="vanLaack">{{استشهاد بكتاب|الأول=Walter|مؤلف1=van Laack|عنوان=A Better History Of Our World: Volume 1 The Universe|مكان=Aachen|ناشر=van Laach GmbH|سنة=2001}}</ref> وأجزاء من أصداف الرخويات <ref name="dunlap" /> في النسبة الذهبية. ومع ذلك، هناك تباين كبير في المقاييس الحقيقية لهذه العناصر في أفراد محددين، وغالبًا ما تختلف النسبة المعنية بشكل كبير عن النسبة الذهبية.<ref name="pheasant" /> يقال إن نسبة عظام الكتائب المتتالية للأصابع وعظم المشط تقارب النسبة الذهبية.<ref name="vanLaack" /> غالبًا ما يتم الاستشهاد بقذيفة [[نوتي]]لوس، التي يتم بناؤها في [[حلزون لوغاريتمي|لولب لوغاريتمي]]، عادةً بفكرة أن أي لولب لوغاريتمي مرتبط بالنسبة الذهبية، ولكن في بعض الأحيان مع الادعاء بأن كل غرفة جديدة تتناسب مع الذهب بالنسبة للحجرة السابقة واحد.<ref name="moscovich">[[إيفان موسكوفيتش|Moscovich, Ivan]], ''Ivan Moscovich Mastermind Collection: The Hinged Square & Other Puzzles,'' New York: Sterling, 2004{{بحاجة لرقم الصفحة}}</ref> ومع ذلك، فإن قياسات قذائف نوتيلوس لا تدعم هذا الادعاء.<ref>{{استشهاد بدورية محكمة|عنوان=Sea shell spirals|الأخير=Peterson|الأول=Ivars|مؤلف-وصلة=Ivars Peterson|تاريخ=1 April 2005|صحيفة=[[ساينس نيوز]]|مسار= http://www.sciencenews.org/view/generic/id/6030/title/Sea_Shell_Spirals|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20121003045834/http://www.sciencenews.org/view/generic/id/6030/title/Sea_Shell_Spirals
|تاريخ أرشيف=2012-10-03}}</ref>
* يقول المؤرخ [[جون مان (مؤرخ)|جون مان]] إن كلاً من الصفحات ومنطقة النص في [[الكتاب المقدس (طبعة غوتنبرغ)|إنجيل جوتنبرج]] «كانت تستند إلى شكل القسم الذهبي». ومع ذلك، وفقًا للقياسات الخاصة به، فإن نسبة ارتفاع الصفحات إلى عرضها هي 1.45.<ref>Man, John, ''Gutenberg: How One Man Remade the World with Word'' (2002) pp. 166–167, Wiley, {{ردمك|0-471-21823-5}}. "The half-folio page (30.7 × 44.5 cm) was made up of two rectangles—the whole page and its text area—based on the so called 'golden section', which specifies a crucial relationship between short and long sides, and produces an irrational number, as pi is, but is a ratio of about 5:8."</ref>
* دراسات علماء النفس، بدءًا من [[جوستاف فخنر|Gustav Fechner]] c. تم ابتكار 1876، <ref>{{استشهاد بكتاب|عنوان=Vorschule der Ästhetik|مسار= https://archive.org/details/vorschulederaes02fechgoog|مؤلف1=Fechner|الأول=Gustav|ناشر=Breitkopf & Härtel|سنة=1876|مكان=Leipzig|صفحات=[https://archive.org/details/vorschulederaes02fechgoog/page/n201 190]–202|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20220407231708/https://archive.org/details/vorschulederaes02fechgoog|تاريخ أرشيف=2022-04-07}}</ref> لاختبار فكرة أن النسبة الذهبية تلعب دورًا في إدراك الإنسان [[جمال|للجمال]]. بينما وجد Fechner تفضيلًا لنسب المستطيل التي تركز على النسبة الذهبية، كانت المحاولات اللاحقة لاختبار هذه الفرضية بعناية، في أحسن الأحوال، غير حاسمة. {{Sfn|Livio|2003}} <ref name="livio plus" />
* في الاستثمار، يستخدم بعض الممارسين في [[تحليل فني|التحليل الفني]] النسبة الذهبية للإشارة إلى دعم مستوى السعر، أو مقاومة ارتفاع أسعار الأسهم أو السلع ؛ بعد التغيرات الكبيرة في الأسعار صعودًا أو هبوطًا، من المفترض أن يتم العثور على مستويات دعم ومقاومة جديدة عند أو بالقرب من الأسعار المتعلقة بسعر البداية عبر النسبة الذهبية.<ref>For instance, Osler writes that "38.2 percent and 61.8 percent retracements of recent rises or declines are common," in {{استشهاد بدورية محكمة|الأخير=Osler, Carol|عنوان=Support for Resistance: Technical Analysis and Intraday Exchange Rates|صحيفة=Federal Reserve Bank of New York Economic Policy Review|سنة=2000|المجلد=6|العدد=2|صفحات=53–68|مسار= http://ftp.ny.frb.org/research/epr/00v06n2/0007osle.pdf|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20120808234025/http://ftp.ny.frb.org/research/epr/00v06n2/0007osle.pdf
|تاريخ أرشيف=2012-08-08}}</ref> يرتبط استخدام النسبة الذهبية في الاستثمار أيضًا بأنماط أكثر تعقيدًا موصوفة [[عدد فيبوناتشي|بأرقام فيبوناتشي]] (على سبيل المثال [[مبدأ موجة إليوت|مبدأ موجة إليوت وتصحيح]] [[تصحيح فيبوناتشي|فيبوناتشي]]). ومع ذلك، فقد نشر محللو السوق الآخرون تحليلات تشير إلى أن هذه النسب المئوية والأنماط لا تدعمها البيانات.<ref>[[Roy Batchelor]] and Richard Ramyar, "[https://web.archive.org/web/20090918053822/http://www.cass.city.ac.uk/media/stories/resources/Magic_Numbers_in_the_Dow.pdf Magic numbers in the Dow]," 25th International Symposium on Forecasting, 2005, p. 13, 31. "[https://www.telegraph.co.uk/finance/2947908/Not-since-the-big-is-beautiful-days-have-giants-looked-better.html Not since the 'big is beautiful' days have giants looked better]", Tom Stevenson, [[ديلي تلغراف]], Apr. 10, 2006, and "Technical failure", [[ذي إيكونوميست]], Sep. 23, 2006, are both popular-press accounts of Batchelor and Ramyar's research.</ref>

=== البارثينون ===
[[ملف:The_Parthenon_in_Athens.jpg|تصغير|280x280بك|يُزعم أن العديد من نسب [[بارثينون|البارثينون]] تظهر النسبة الذهبية، لكن هذا قد فقد مصداقيته إلى حد كبير. {{Sfn|Livio|2003}}]]
قال البعض إن واجهة [[بارثينون|البارثينون]] (حوالي 432 قبل الميلاد) وكذلك عناصر من واجهته وأماكن أخرى محصورة بمستطيلات ذهبية.<ref>Van Mersbergen, Audrey M., "Rhetorical Prototypes in Architecture: Measuring the Acropolis with a Philosophical Polemic", ''Communication Quarterly'', Vol. 46 No. 2, 1998, pp. 194–213.</ref> ينكر علماء آخرون أن الإغريق كان لهم أي ارتباط جمالي مع النسبة الذهبية. على سبيل المثال، يقول [[كيث ديفلن|كيث ديفلين]]، «بالتأكيد، التأكيد المتكرر في كثير من الأحيان على أن البارثينون في أثينا يعتمد على النسبة الذهبية لا تدعمه القياسات الفعلية. في الواقع، يبدو أن القصة الكاملة عن الإغريق والنسبة الذهبية بلا أساس».<ref>{{استشهاد بكتاب|مؤلف1=Devlin|الأول=Keith J.|عنوان=The Math Instinct: Why You're a Mathematical Genius (Along with Lobsters, Birds, Cats, and Dogs)|مسار=https://books.google.com/books?id=T4zbCwAAQBAJ&pg=PT54|مكان=New York|ناشر={{Ill-WD2|id=Q4034881|نص=بيزيك بوكس}}|سنة=2009|سنة النشر الأصلية=2005|ISBN=978-1-56025-672-4|صفحة=54| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20210125203244/https://books.google.com/books?id=T4zbCwAAQBAJ&pg=PT54 | تاريخ أرشيف = 25 يناير 2021 }}</ref> يؤكد مدحت ج. غازالي أنه «لم تتم دراسة الخصائص الرياضية للنسبة الذهبية حتى إقليدس ...».<ref>[[مدحت ج|Gazalé, Midhat J.]], ''Gnomon: From Pharaohs to Fractals'', Princeton University Press, 1999, p.&nbsp;125. {{ردمك|0-691-00514-1}}</ref>

من قياسات 15 معبدًا و 18 مقبرة ضخمة و 8 توابيت و 58 لوحة قبر من القرن الخامس قبل الميلاد إلى القرن الثاني الميلادي، خلص أحد الباحثين إلى أن النسبة الذهبية كانت غائبة تمامًا عن العمارة اليونانية الكلاسيكية في القرن الخامس قبل الميلاد، وتقريباً غائب خلال القرون الستة التالية.<ref>Patrice Foutakis, "Did the Greeks Build According to the Golden Ratio?", ''Cambridge Archaeological Journal'', vol. 24, n° 1, February 2014, pp.&nbsp;71–86.</ref> مصادر لاحقة مثل فيتروفيوس (القرن الأول&nbsp;BC) تناقش حصريًا النسب التي يمكن التعبير عنها بأعداد صحيحة، أي تناسبها على عكس النسب غير المنطقية.

=== الفن الحديث ===
القسم الذهبي (القسم الذهبي) كان عبارة عن مجموعة من [[رسم (فنون تشكيلية)|الرسامين]] والنحاتين والشعراء والنقاد المرتبطين [[تكعيبية (فن)|بالتكعيبية]] [[أورفية|والأورفية]].<ref>[http://mediation.centrepompidou.fr/education/ressources/ENS-futurisme2008/ENS-futurisme2008-07-section-or.html ''Le Salon de la Section d'Or'', October 1912, Mediation Centre Pompidou] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210109141431/http://mediation.centrepompidou.fr/education/ressources/ENS-futurisme2008/ENS-futurisme2008-07-section-or.html |date=9 يناير 2021}}</ref> نشط من عام 1911 إلى حوالي عام 1914، واعتمدوا الاسم على حد سواء لتسليط الضوء على أن التكعيبية تمثل استمرارًا لتقليد كبير، بدلاً من كونها حركة معزولة، وتكريمًا للتناغم الرياضي المرتبط [[جورج سورا|بجورج سورات]].<ref>[http://bibliothequekandinsky.centrepompidou.fr/imagesbk/RP225%5C001/M5050_X0031_PER_P02251912001.pdf ''Jeunes Peintres ne vous frappez pas !'', La Section d'Or: Numéro spécial consacré à l'Exposition de la "Section d'Or", première année, n° 1, 9 octobre 1912, pp.&nbsp;1–7], Bibliothèque Kandinsky {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20201030080014/http://bibliothequekandinsky.centrepompidou.fr/imagesbk/RP225\001/M5050_X0031_PER_P02251912001.pdf |date=30 أكتوبر 2020}}</ref> لاحظ التكعيبيون في تناغمها، والهيكلة الهندسية للحركة والشكل، وأولوية الفكرة على الطبيعة، والوضوح العلمي المطلق للتصور.<ref>Herbert, Robert, ''Neo-Impressionism'', New York: The Solomon R. Guggenheim Foundation, 1968{{بحاجة لرقم الصفحة}}</ref> ومع ذلك، على الرغم من هذا الاهتمام العام بالانسجام الرياضي، يصعب تحديد ما إذا كانت اللوحات المعروضة في معرض ''Salon de la Section d'Or'' الشهير عام 1912 تستخدم النسبة الذهبية في أي تراكيب. ليفيو، على سبيل المثال، تدعي أنهم لم يفعلوا ذلك، {{Sfn|Livio|2003}} [[مارسيل دوشامب|ومارسيل دوشامب]] قال ذلك في مقابلة.<ref name="tandf">[https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/00043079.1965.10788819 Camfield, William A., ''Juan Gris and the Golden Section''], Art Bulletin, 47, no. 1, March 1965, 128–134. 68 {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20201010195959/https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/00043079.1965.10788819|date=2020-10-10}}</ref> من ناحية أخرى، يشير أحد التحليلات إلى أن [[خوان غريس|خوان جريس]] استفاد من النسبة الذهبية في تأليف الأعمال التي كان من المحتمل، ولكن ليس بشكل قاطع، عرضها في المعرض.<ref name="tandf" /><ref>Green, Christopher, [https://books.google.com/books?isbn=0300053746 ''Juan Gris''], Whitechapel Art Gallery, London, 18 September–29 November 1992; [[جاليري ولاية شتوتغارت|Staatsgalerie Stuttgart]] 18 December 1992–14 February 1993; Rijksmuseum Kröller-Müller, Otterlo, 6 March–2 May 1993, Yale University Press, 1992, pp.&nbsp;37–38, {{ردمك|0300053746}} {{استشهاد بويب |مسار=https://www.google.com/search?tbo=p&tbm=bks&q=isbn:0300053746 |عنوان=نسخة مؤرشفة |تاريخ الوصول=25 يناير 2021 |تاريخ أرشيف=25 يناير 2021 |مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20210125210742/https://www.google.com/search?tbo=p&tbm=bks&q=isbn:0300053746 |حالة المسار=bot: unknown }}</ref><ref>[https://books.google.com/books?isbn=0719050049 Cottington, David, ''Cubism and Its Histories, Barber Institute's critical perspectives in art history series, Critical Perspectives in Art History''], Manchester University Press, 2004, pp.&nbsp;112, 142, {{ردمك|0719050049}} {{استشهاد بويب |مسار=https://www.google.com/search?tbo=p&tbm=bks&q=isbn:0719050049 |عنوان=نسخة مؤرشفة |تاريخ الوصول=25 يناير 2021 |تاريخ أرشيف=25 يناير 2021 |مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20210125203430/https://www.google.com/search?tbo=p&tbm=bks&q=isbn:0719050049 |حالة المسار=bot: unknown }}</ref> جادل مؤرخ الفن [[دانيال روبنز|دانييل روبينز]] أنه بالإضافة إلى الإشارة إلى المصطلح الرياضي، يشير اسم المعرض أيضًا إلى مجموعة ''Bandeaux d'Or'' السابقة، التي شارك فيها [[ألبرت غليزس|ألبرت جليز]] وأعضاء سابقون آخرون في Abbaye de Créteil (باي دي كريتيل.) <ref name="Allard">Roger Allard, ''Sur quelques peintre'', Les Marches du Sud-Ouest, June 1911, pp. 57–64. In Mark Antliff and Patricia Leighten, ''A Cubism Reader, Documents and Criticism, 1906-1914'', The University of Chicago Press, 2008, pp.&nbsp;178–191, 330.</ref>

قيل إن [[بيت موندريان]] استخدم القسم الذهبي على نطاق واسع في لوحاته الهندسية، <ref>Bouleau, Charles, ''The Painter's Secret Geometry: A Study of Composition in Art'' (1963) pp. 247–248, Harcourt, Brace & World, {{ردمك|0-87817-259-9}}</ref> الرغم من أن خبراء آخرين (بما في ذلك الناقد إيف-آلان بوا) فقدوا مصداقية هذه الادعاءات.<ref name="livio plus3">{{استشهاد بويب
| مسار = https://plus.maths.org/content/os/issue22/features/golden/index
| عنوان = The golden ratio and aesthetics
| تاريخ = November 1, 2002
| موقع = Plus Magazine
| تاريخ الوصول = November 26, 2018
| الأخير = Livio
| الأول = Mario
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20210113010123/https://plus.maths.org/content/os/issue22/features/golden/index | تاريخ أرشيف = 13 يناير 2021 }}</ref> {{Sfn|Livio|2003}}

== انظر أيضًا ==
* [[متتالية فيبوناتشي]]
* [[زاوية ذهبية]]
* [[ليوناردو فيبوناتشي]]
* [[متوسط ذهبي]]

== ملاحظات ==
{{ملاحظات|group= arabic-abajed}}

{{ملاحظات|group= lower-alpha}}

== مراجع ==

{{مراجع|2}}

== وصلات خارجية ==

* {{ماثوورلد|title=نسبة ذهبية|urlname=GoldenRatio}}
* {{Springer|title=Golden ratio|id=p/g044570}}
* [http://demonstrations.wolfram.com/GoldenSection/ «القسم الذهبي»] لمايكل شرايبر، [[مشروع مظاهرات Wolfram|مشروع Wolfram Demonstrations]]، 2007.
* {{ماثوورلد|title=Golden Ratio}}
{{روابط شقيقة}}
{{ضبط استنادي}}
{{أعداد جبرية}}
{{أعداد لاجذرية}}
{{الرياضيات والفن}}
{{شريط بوابات|رياضيات|علوم|فنون|نظرية الأعداد|هندسة رياضية}}

[[تصنيف:نسبة ذهبية|*]]
[[تصنيف:التكوين في الفنون المرئية]]
[[تصنيف:اختراعات يونانية]]
[[تصنيف:الرياضيات والفن]]
[[تصنيف:أعداد لا كسرية]]
[[تصنيف:تاريخ الهندسة الرياضية]]
[[تصنيف:ثوابت رياضية]]
[[تصنيف:هندسة إقليدية مستوية]]