عرض مصدر ممتد متري

{{مقالة غير مراجعة|تاريخ = يناير 2022}}
في المجال [[رياضيات|الرياضي]] لل<nowiki/>[[هندسة تفاضلية|هندسة التفاضلية]] إحدى التعريفات تنص أن '''الممتد المتري''' أو '''الموتر المتري''': هو نوع من [[دالة|الاقترانات]] التي تأخذ المُدخل كزوج من [[متجه|المتجهات]] [[مماس|المماسية]] {{mvar|v}} و{{mvar|w}} عند نقطة سطح أو متشعب قابل للتفاضل ذو أبعاد عالية منتجًا [[عدد حقيقي|عددًا حقيقيًا]] [[كمية قياسية (رياضيات)|قياسيًا]] {{تعبير رياضي|''g''(''v'', ''w'')}}بطريقةٍ تُعممُ العديدَ من الخصائص المألوفة في [[جداء نقطي|الضرب النقطي]] للمتجهات في [[فضاء إقليدي|الفضاء الإقليدي]]، كما أن الموترات المترية تمتلك نفس هدف الضرب النقطي حيث تُستخدم لتحديد طول المتجهات والزاوية بينهما، ومن خلال [[تكامل|التكامل]] فإن الموتر المتري يسمح بتحديد وحساب طول [[منحنى|المنحنيات]] في [[متعدد شعب|المتشعب]].

يُطلق على الموتر المتري مُعرِف موجب إذا ربط قيمة موجبة {{تعبير رياضي|''g''(''v'', ''v'') > 0}}لكل متجه غير صفري {{mvar|v}}، ف<nowiki/>[[متعدد شعب|المتشعب]] المزود بموتر متري مُعرِف موجب يُعرف باسم [[متعدد شعب ريماني|متشعب ريماني]]، وفي المتشعب الريماني يسمى المنحنى الذي يربط بين نقطتين لهما أصغر طول محليًا ب<nowiki/>[[جيوديسي|المنحنى الجيوديسي]]، وطوله هو المسافة التي يحتاجها مار ما في المتشعب قطعها للانتقال من نقطة إلى أخرى، وبالتزود بمفهوم [[طول|الطول]] فإن المتشعب الريماني هو [[فضاء متري]]، مما يعني أنه يملك [[دالة مسافة]] {{تعبير رياضي|''d''(''p'', ''q'')}}التي تكون قيمتها عند زوج من النقاط {{mvar|p}} و{{mvar|q}} هي المسافة من {{mvar|p}} إلى {{mvar|q}} وعلى العكس من ذلك فإن الممتد المتري نفسه هو [[مشتق (رياضيات)|مشتق]] من دالة المسافة مأخوذًا بطريقةٍ مناسبة، وبالتالي فإن الموتر المتري يعطي مسافة متناهية الصغر في المُتَشعب.

في حين أن فكرة الموتر المتري كانت معروفة إلى حدٍ ما في أوائل القرن التاسع عشر ل<nowiki/>[[عالم رياضيات|علماء الرياضيات]] أمثال [[كارل فريدريش غاوس|كارل غاوس]]، إلا أنها لم تكن كذلك حتى أوائل القرن العشرين القرن الذي تم فهم خصائصه ك<nowiki/>[[موتر|موتّر]] من قِبل [[غريغوريو ريتشي]]-كورباسترو و[[توليو ليفي تشيفيتا|توليو ليفي-تشيفيتا]] على وجه الخصوص اللذان قاما أولاً بتدوين مفهوم الموتر، فالموتر المتري هو مثال على [[حقل موتر|حقل الموتر]].

تأخذ مُرَكِّبات الموتر المتري في [[قاعدة (جبر خطي)|القاعدة]] الإحداثية شكل [[مصفوفة متماثلة]] تتحول مُدخلاتها بشكل متغاير بفعل تغييرات نظام الإحداثيات، وبالتالي فإن الموتر المتري هو موتر متماثل متغاير، أما من وجهة نظر الإحداثيات المستقلة يُعرَّف كحقل موتر متري ليكون نموذج خطي متماثل غير منحل في كل [[فضاء مماس|فضاء مماسي]] متغير ب<nowiki/>[[نعومة دالة|نعومة]] (أي قابلة للاشتقاق) من نقطة إلى أخرى.

== مقدمة ==
اعتبر [[كارل فريدريش غاوس]] عام 1827 في كتابه أو ما عُرف بتحقيقاته نحو الأسطح المنحنية أنها سطح حدودي، ومع [[نظام إحداثي ديكارتي|الإحداثيات الديكارتية]]: {{mvar|x}} و{{mvar|y}} و{{mvar|z}} للنقاط على السطح اعتمادًا على متغيرين مساعدين هما: {{mvar|u}} و{{mvar|v}}، وبالتالي فإن السطح الحدودي في مصطلحات اليوم هو [[دالة متجهية|دالة ذات قيمة متجهة]]:

<math>\vec{r}(u,\,v) = \bigl( x(u,\,v),\, y(u,\,v),\, z(u,\,v) \bigr)</math>

بالاعتماد على [[زوج مرتب]] من المتغيرات الحقيقية {{تعبير رياضي|(''u'', ''v'')}}ومُعرفة على [[مجموعة مفتوحة]] {{mvar|D}} في [[مستو (رياضيات)|مستوى]]-{{mvar|uv}}، حيث كان أحد الأهداف الرئيسية لتحقيقات غاوس هو استنتاج خصائص ذلك [[سطح|السطح]] الذي يمكن وصفه باقتران يبقى دون تغيير إذا خضع السطح لتحول في الفضاء كثني السطح دون شده، أو أن يحدث تغيير في الشكل الحدودي المحدد لنفس السطح الهندسي.

إحدى هذه [[كمية فيزيائية|الكميات]] [[ثابت (رياضيات)|الثابتة]] الطبيعية هي [[طول قوس|طول المنحنى]] المرسوم على طول السطح، والأخرى هي [[زاوية (هندسة)|الزاوية]] بين زوج المنحنيات المرسومة على طول السطح وتلتقيان في نقطة واحدة، أما الكمية الثالثة فهي [[مساحة]] قطعة من السطح؛ أدت دراسة هذه الثوابت للسطح إلى تقديم غاوس لمفهوم سبّاق حديث للموتر المتري.

=== طول القوس ===
إذا أُخذ المتغيرين {{mvar|u}} و{{mvar|v}} للاعتماد على متغير ثالث هو {{mvar|t}} مع أخذ القيم في الفترة {{تعبير رياضي|[''a'', ''b'']}}؛ فإن <math>\vec{r}\bigl(u(t),v(t)\bigr)</math> سوف يتتبع المنحنى الحدودي في السطح الحدودي {{mvar|M}}، ويُعطى طول القوس لهذا المنحنى من خلال [[تكامل|التكامل]] الآتي:

<math> \begin{align}
  s &= \int_a^b\left\|\frac{d}{dt}\vec{r}(u(t),v(t))\right\|\,dt \\[5pt]
    &= \int_a^b \sqrt{u'(t)^2\,\vec{r}_u\cdot\vec{r}_u + 2u'(t)v'(t)\, \vec{r}_u\cdot\vec{r}_v + v'(t)^2\,\vec{r}_v\cdot\vec{r}_v}\, dt \,
\end{align}</math>

حيث أن <math> \left\| \cdot \right\| </math> يمثل [[معيار (رياضيات)|المعيار]] الإقليدي، هنا تم تطبيق [[قاعدة السلسلة]] حيث تشير الرموز السفلية إلى [[مشتق جزئي|المشتقات الجزئية]]:

<math>\vec{r}_u = \frac{\partial \vec{r}}{\partial u}\,, \quad \vec{r}_v = \frac{\partial \vec{r}}{\partial v}\,</math>

المُكامل هو الحصر<ref>بشكل أدق فالكمية المتكاملة (المكامل) هو رجوع هذا الفارق للمنحنى.</ref> لمنحنى الجذر التربيعي لل<nowiki/>[[تفاضل]] [[شكل تربيعي|التربيعي]]:

{{NumBlk|:|<math>(ds)^2 = E \,(du)^2 + 2F \,du\, dv + G\, (dv)^2 </math>|{{EquationRef|1}}}}

حيث أن:

{{NumBlk|:|<math>
  E = \vec r_u \cdot \vec r_u, \quad
  F = \vec r_u \cdot \vec r_v , \quad
  G = \vec r_v \cdot \vec r_v 
</math>|{{EquationRef|2}}}}

الكمية {{mvar|ds}} في ({{EquationRef|1}}) تُسمى عنصر الخط، بينما {{تعبير رياضي|''ds''<sup>2</sup>}}تُسمى الشكل الأساسي الأول لـ{{mvar|M}}، ومن البديهي أنها تمثل الجزء الرئيسي من مربع [[إزاحة (فيزياء)|الإزاحة]] التي خضع له <math>\vec{r}(u,v)</math>عندما ازدادت {{mvar|u}} بوحدات {{mvar|du}}، وازدادت {{mvar|v}} بوحدات {{mvar|dv}}.

باستخدام [[مصفوفة (رياضيات)|تدوين المصفوفة]] تصبح الصيغة الأساسية الأولى كالتالي:

<math>ds^2 =
  \begin{bmatrix} du & dv \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix} E & F \\ F & G \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix} du \\ dv \end{bmatrix}
</math>

=== التحولات الإحداثية ===
افترض الآن أن حدود مختلفة حُددت من خلال السماح لـ{{mvar|u}} و{{mvar|v}} الاعتماد على زوج آخر من المتغيرات هما: {{تعبير رياضي|''u''′}}و{{تعبير رياضي|''v''′}}فإن النظيرللمعادلة ({{EquationRef|2}}) للمتغيرات الجديدة هو:

{{NumBlk|:|<math>
  E' = \vec r_{u'} \cdot \vec r_{u'}, \quad
  F' = \vec r_{u'} \cdot \vec r_{v'}, \quad
  G' = \vec r_{v'} \cdot \vec r_{v'}.
</math>|{{EquationRef|2'}}}}

تربط [[قاعدة السلسلة]] {{تعبير رياضي|''E''′}}و{{تعبير رياضي|''F''′}}و{{تعبير رياضي|''G''′}}ب{{mvar|E}} و{{mvar|F}} و{{mvar|G}} من خلال معادلة المصفوفة التالية:

{{NumBlk|:|<math>\begin{bmatrix} E' & F' \\ F' & G' \end{bmatrix} =
  \begin{bmatrix}
    \frac{\partial u}{\partial u'} & \frac{\partial u}{\partial v'} \\
    \frac{\partial v}{\partial u'} & \frac{\partial v}{\partial v'}
  \end{bmatrix}^\mathsf{T}
  \begin{bmatrix} E & F \\ F & G \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix}
    \frac{\partial u}{\partial u'} & \frac{\partial u}{\partial v'} \\
    \frac{\partial v}{\partial u'} & \frac{\partial v}{\partial v'}
  \end{bmatrix}
</math>|{{EquationRef|3}}}}

حيث يشير الحرف العلوي T إلى [[منقولة مصفوفة|منقولة المصفوفة]]، والمصفوفة ذات المعاملات: {{mvar|E}} و{{mvar|F}} و{{mvar|G}} المُرتبة بتلك الطريقة تتحول بواسطة [[مصفوفة ياكوبية]] لتغيير الإحداثيات:

<math>
  J = \begin{bmatrix}
    \frac{\partial u}{\partial u'} & \frac{\partial u}{\partial v'} \\
    \frac{\partial v}{\partial u'} & \frac{\partial v}{\partial v'}
\end{bmatrix}\,</math>

المصفوفة التي تتحول بهذه الطريقة هي نوع واحد يسمى [[موتر]]، والمصفوفة هي:

<math>\begin{bmatrix} E & F \\ F & G \end{bmatrix}</math>

ومع قانون التحويل ({{EquationRef|3}}) يُعرف هذا بالموتر المتري للسطح.

=== ثبات طول القوس الخاضع لتحولات إحداثية ===
لاحظ [[غريغوريو ريتشي|ريتشي كورباسترو]] و[[توليو ليفي تشيفيتا|ليفي تشيفيتا]] عام (1900) لأول مرة أهمية نظام المعاملات: {{mvar|E}} و{{mvar|F}} و{{mvar|G}} التي تحولت بهذه الطريقة عند الانتقال من أحد نظام الإحداثيات لآخر، والنتيجة هي أن الشكل الأساسي الأول ({{EquationRef|1}}) ثابت في ظل التغييرات المُحدَثة في نظام الإحداثيات، حيث تُبعَ هذا حصريًا من خصائص التحويل ل {{mvar|E}}و{{mvar|F}} و{{mvar|G}}، وبالفعل من خلال استخدام [[قاعدة السلسلة]] فإن:

:<math>\begin{bmatrix} du \\ dv \end{bmatrix} =
  \begin{bmatrix}
    \dfrac{\partial u}{\partial u'} & \dfrac{\partial u}{\partial v'} \\
    \dfrac{\partial v}{\partial u'} & \dfrac{\partial v}{\partial v'}
  \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix} du' \\ dv' \end{bmatrix}
</math>

ولهذا نحصل على أن:

:<math>\begin{align}
  ds^2
  &=
    \begin{bmatrix} du & dv \end{bmatrix}
    \begin{bmatrix} E & F \\ F & G \end{bmatrix}
    \begin{bmatrix} du \\ dv \end{bmatrix} \\[6pt]
  &=
    \begin{bmatrix} du' & dv' \end{bmatrix}
    \begin{bmatrix}
      \dfrac{\partial u}{\partial u'} & \dfrac{\partial u}{\partial v'} \\[6pt]
      \dfrac{\partial v}{\partial u'} & \dfrac{\partial v}{\partial v'}
    \end{bmatrix}^\mathsf{T}
    \begin{bmatrix} E & F \\ F & G \end{bmatrix}
    \begin{bmatrix}
      \dfrac{\partial u}{\partial u'} & \dfrac{\partial u}{\partial v'} \\[6pt]
      \dfrac{\partial v}{\partial u'} & \dfrac{\partial v}{\partial v'}
    \end{bmatrix}
    \begin{bmatrix} du' \\ dv' \end{bmatrix} \\[6pt]
  &=
    \begin{bmatrix} du' & dv' \end{bmatrix}
    \begin{bmatrix} E' & F' \\ F' & G' \end{bmatrix}
    \begin{bmatrix} du' \\ dv' \end{bmatrix}\\[6pt]
  &= (ds')^2 \,
\end{align}</math>

=== طول وزاوية ===
تفسير آخر للموتر المتري الذي أخذه غاوس بعين الاعتبار أيضًا: هو أنه يوفر طريقة لحساب طول المتجهات المماسية للسطح، إضافةً إلى الزاوية بين متجهين مماسين، وبالمصطلحات المعاصرة يسمح الموتر المتري بحساب [[جداء نقطي|الضرب النقطي]] لمتجهات المماس بطريقة مستقلة عن الوصف الحدودي للسطح، حيث يمكن كتابة أي متجه مماسي عند نقطة في السطح الحدودي {{mvar|M}} بالصيغة التالية:

<math>\mathbf{p} = p_1\vec{r}_u + p_2\vec{r}_v</math>

لل<nowiki/>[[عدد حقيقي|أعداد الحقيقية]] المناسبة {{تعبير رياضي|''p''<sub>1</sub>}}و{{تعبير رياضي|''p''<sub>2</sub>}}إذا أُعطيَ متجهان مماسيان هما:

<math>\begin{align}
  \mathbf{a} &= a_1\vec{r}_u + a_2\vec{r}_v \\
  \mathbf{b} &= b_1\vec{r}_u + b_2\vec{r}_v
\end{align}</math>

ثم باستخدام الثنائي الخطي للضرب النقطي ينتج أن:

<math>\begin{align}
  \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}
    &= a_1 b_1 \vec{r}_u\cdot\vec{r}_u + a_1b_2 \vec{r}_u\cdot\vec{r}_v + b_1a_2 \vec{r}_v\cdot\vec{r}_u + a_2 b_2 \vec{r}_v\cdot\vec{r}_v \\[8pt]
    &= a_1 b_1 E + a_1b_2 F + b_1a_2 F + a_2b_2G \\[8pt]
    &= \begin{bmatrix} a_1 & a_2 \end{bmatrix}
         \begin{bmatrix} E & F \\ F & G \end{bmatrix}
         \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix} \,
\end{align}</math>

من الواضح أن هذه الدالة مُكوَنة من المتغيرات الأربعة: {{تعبير رياضي|''a''<sub>1</sub>}}و {{تعبير رياضي|''b''<sub>1</sub>}}و {{تعبير رياضي|''a''<sub>2</sub>}}و {{تعبير رياضي|''b''<sub>2</sub>}}، لكن يُنظر إليها بشكل أكثر إفادة على أنها دالة تأخذ زوجًا من الوسيطات {{تعبير رياضي|'''a''' {{=}} [''a''<sub>1</sub> ''a''<sub>2</sub>]}}و {{تعبير رياضي|'''b''' {{=}} [''b''<sub>1</sub> ''b''<sub>2</sub>]}}وهي متجهات في المستوى-{{mvar|uv}}، وهذا يعني أن:

<math>g(\mathbf{a}, \mathbf{b}) = a_1b_1 E + a_1b_2 F + b_1a_2 F + a_2b_2G \,</math>

هذه دالة متماثلة في {{تعبير رياضي|'''a'''}}و{{تعبير رياضي|'''b'''}}، مما يعني أن:

<math>g(\mathbf{a}, \mathbf{b}) = g(\mathbf{b}, \mathbf{a})\,</math>

هو أيضًا ثنائي خطي مما يعني أنه خطي في كل متغير {{تعبير رياضي|'''a'''}}و{{تعبير رياضي|'''b'''}}على حدة، يعني أن:

<math>\begin{align}
  g\left(\lambda\mathbf{a} + \mu\mathbf{a}', \mathbf{b}\right) &= \lambda g(\mathbf{a}, \mathbf{b}) + \mu g\left(\mathbf{a}', \mathbf{b}\right),\quad\text{and} \\
  g\left(\mathbf{a}, \lambda\mathbf{b} + \mu\mathbf{b}'\right) &= \lambda g(\mathbf{a}, \mathbf{b}) + \mu g\left(\mathbf{a}, \mathbf{b}'\right)
\end{align}</math>

لأي متجهات {{تعبير رياضي|'''a'''}}و {{تعبير رياضي|'''a'''′}}و {{تعبير رياضي|'''b'''}}و {{تعبير رياضي|'''b'''′}}في المستوى-{{mvar|uv}} وأي أعداد حقيقية {{mvar|μ}} و{{mvar|λ}}.

على وجه الخصوص يُعطى طول متجه المماس {{تعبير رياضي|'''a'''}}من خلال:

<math> \left\| \mathbf{a} \right\| = \sqrt{g(\mathbf{a}, \mathbf{a})}</math>

وتُحسب الزاوية θ بين متجهين {{تعبير رياضي|'''a'''}}و{{تعبير رياضي|'''b'''}}من خلال:

<math>\cos(\theta) = \frac{g(\mathbf{a}, \mathbf{b})}{ \left\| \mathbf{a} \right\| \left\| \mathbf{b} \right\| } \,</math>

=== مساحة ===
[[مساحة السطح]] هي كمية عددية أخرى يجب أن تعتمد فقط على السطح نفسه، وليس على كيفية تحديد العوامل، فإذا كان السطح {{mvar|M}} حُددت عوامله بواسطة الدالة <math>\vec{r}(u,v)</math> على المجال {{mvar|D}} في المستوى-{{mvar|uv}}؛ فإن مساحة السطح {{mvar|M}} تُعطى من خلال التكامل الآتي:

<math>\iint_D \left|\vec{r}_u \times \vec{r}_v\right|\,du\,dv</math>

حيث تشير {{تعبير رياضي|×}}إلى [[ضرب اتجاهي|الضرب التقاطعي (الضرب الاتجاهي)]]، والقيمة المطلقة تشير إلى طول المتجه في [[فضاء إقليدي|الفضاء الإقليدي]]، ومن خلال متطابقة [[جوزيف لوي لاغرانج|لاغرانج]] لل<nowiki/>[[ضرب اتجاهي|ضرب التقاطعي]] فإنه يمكن كتابة التكامل الآتي:

<math>\begin{align}
       &\iint_D \sqrt{\left(\vec{r}_u\cdot\vec{r}_u\right) \left(\vec{r}_v\cdot\vec{r}_v\right) - \left(\vec{r}_u\cdot\vec{r}_v\right)^2}\,du\,dv \\[5pt]
   ={} &\iint_D \sqrt{EG - F^2}\,du\,dv\\[5pt]
   ={} &\iint_D \sqrt{\det \begin{bmatrix} E & F \\ F & G \end{bmatrix}}\, du\, dv
\end{align}</math>

حيث: {{تعبير رياضي|det}}هي [[محدد (رياضيات)|المُحَدِّد]].

== تعريف ==
لنجعل {{mvar|M}} متشعبًا [[نعومة دالة|ناعمًا]] بُعده {{mvar|n}}، على سبيل المثال سطح في حالة {{تعبير رياضي|''n'' {{=}} 2}}أو [[السطح الفائق|سطح فائق]] في [[نظام إحداثي ديكارتي|الفضاء الديكارتي]] {{تعبير رياضي|'''<math>\R^{n+1}</math>'''}}؛ ففي كل نقطة {{تعبير رياضي|''p'' ∈ ''M''}}هناك [[فضاء متجهي]] {{تعبير رياضي|T<sub>''p''</sub>''M''}}يسمى [[فضاء مماس|فضاء المماس]]، حيث يتألف من جميع المتجهات المماسية للمتشعب عند النقطة {{mvar|p}}، والموتر المتري عند {{mvar|p}} هو دالة: {{تعبير رياضي|''g''<sub>''p''</sub>(''X''<sub>''p''</sub>, ''Y''<sub>''p''</sub>)}}التي تأخذ زوجًا من متجهات المماس {{تعبير رياضي|''X''<sub>''p''</sub>}}و{{تعبير رياضي|''Y''<sub>''p''</sub>}}عند {{mvar|p}} كمدخلات، وتنتجُ [[عدد حقيقي|رقمًا حقيقيًا]] [[كمية قياسية (رياضيات)|قياسيًا]] كمخرج، حيث أن الشروط التالية مُستوفية:

* <math>g_p</math> خطي: تكون دالة الوسيطتين المتجهتين خطيتين إذا كانت خطية بشكل منفصل في: كل وسيطة، لذلك إذا كانت <math>U_p</math> و<math>V_p</math> و<math>Y_p</math>: هي ثلاث: مماسات لمتجهات عند {{mvar|p}}، و{{mvar|a}} و{{mvar|b}}: هي أعداد حقيقية، إذًا:

:<math>\begin{align}
  g_p(aU_p + bV_p, Y_p) &= ag_p(U_p, Y_p) + bg_p(V_p, Y_p) \,, \quad \text{و} \\
  g_p(Y_p, aU_p + bV_p) &= ag_p(Y_p, U_p) + bg_p(Y_p, V_p) \,
\end{align}</math>

* <math>g_p</math> [[دالة متناظرة|متماثل]]:<ref>في العديد من الصيغ ل<nowiki/>[[نظرية التوحيد الكبير|نظريات التوحيد الكبير]] سُمح للموتر المتري بأن يكون غير متماثل، ومع ذلك فإن الجزء غير المتماثل من هذا الموتر لا يلعب دورًا في السياقات الموصوفة هنا؛ لذلك لن يتم النظر فيه بشكل أكبر.</ref> تكون دالة الوسيطتين: المتجهتين متماثلة شرط أن تكون لكل المتجهات <math>X_p</math> و<math>Y_p</math>؛ حيث أن:
:<math>g_p(X_p, Y_p) = g_p(Y_p, X_p)\,</math>

* <math>g_p</math> غير منحل (غير منعدم): حيث أن الدالة الثنائية الخطية غير منحلة شرط أن تكون الدالة لكل متجه مماس <math>X_p\neq0</math> هي:
:<math>Y_p\mapsto g_p(X_p,Y_p)</math>

حُصِل عليها عن طريق بقاء {{تعبير رياضي|''X''<sub>''p''</sub>}}ثابت والسماح لـ {{تعبير رياضي|''Y''<sub>''p''</sub>}}بالتغير وأن يكون ليس [[دالة ثابتة|صفرًا تمامًا]]، هذا يعني أن لكل {{تعبير رياضي|''X''<sub>''p''</sub> ≠ 0}}يوجد {{تعبير رياضي|''Y''<sub>''p''</sub>}}، مثل {{تعبير رياضي|''g''<sub>''p''</sub>(''X''<sub>''p''</sub>, ''Y''<sub>''p''</sub>) ≠ 0}}.

حقل الموتر المتري {{mvar|g}} في {{mvar|M}} يُخصص لكل نقطة {{mvar|p}} من {{mvar|M}} موتر متري {{تعبير رياضي|''g''<sub>''p''</sub>}}في مساحة المماس عند {{mvar|p}} بطريقةٍ تتفاوت بنعومةٍ مع {{mvar|p}}، وبشكلٍ أدق وبإعطاء أي [[مجموعة مفتوحة|مجموعة فرعية مفتوحة]] {{mvar|U}} من المتشعب {{mvar|M}} وأي [[حقل متجهات|حقول متجهات]] ناعمة: {{mvar|X}} و{{mvar|Y}} في {{mvar|U}}، فالاقتران الحقيقي:

<math>g(X, Y)(p) = g_p(X_p, Y_p)</math>

هو اقتران ناعم ل{{mvar|p}}.

== مركبات المتري ==
تُعطى مُرَكِّبات المتري في أي [[قاعدة (جبر خطي)|قاعدة]] ل<nowiki/>[[حقل متجهات|حقول المتجهات]] أو إطار{{تعبير رياضي|'''f''' {{=}}  (''X''<sub>1</sub>, ..., ''X''<sub>''n''</sub>)}}من خلال:<ref>الكتابة باستخدام الأقواس المربعة للإشارة إلى القاعدة بطريقةٍ تحسب من خلالها المركبات، هذه الرموز المستخدمة صُوغت على غرار تلك الموجدة في {{Harvard citation text|Wells|1980}}، وعادةً يُخفى هذا الاعتماد المحدد على القاعدة.</ref>

{{NumBlk|:|<math>g_{ij}[\mathbf{f}] = g\left(X_i, X_j\right).</math>|{{EquationRef |4}}}}

عدد {{تعبير رياضي|''n''<sup>2</sup>}}من الاقترانات {{تعبير رياضي|''g''<sub>''ij''</sub>['''f''']}}فإنها تُشكل مدخلات ل<nowiki/>[[مصفوفة متماثلة]] رتبتها {{تعبير رياضي|''n'' × ''n''}}هي: {{تعبير رياضي|''G''['''f''']}}إذا كان:

<math>v = \sum_{i=1}^n v^iX_i \,, \quad w = \sum_{i=1}^n w^iX_i</math>

متجهان عند {{تعبير رياضي|''p'' ∈ ''U''}}؛ فإن قيمة المتري المُطبق على {{mvar|v}} و{{mvar|w}} يُحدد بواسطة المعاملات ({{EquationRef|4}}) عن طريق الثنائي الخطي:

<math>g(v, w) = \sum_{i,j=1}^n v^iw^jg\left(X_i,X_j\right) = \sum_{i,j=1}^n v^iw^jg_{ij}[\mathbf{f}]</math>

دلالة [[مصفوفة (رياضيات)|المصفوفة]] {{تعبير رياضي|(''g''<sub>''ij''</sub>['''f'''])}}بواسطة {{تعبير رياضي|''G''['''f''']}}وترتيب مُرَكِّبات المتجهين {{mvar|v}} و{{mvar|w}} في متجهات العمود {{تعبير رياضي|'''v'''['''f''']}}و {{تعبير رياضي|'''w'''['''f''']}}هو:

<math>g(v,w) = \mathbf{v}[\mathbf{f}]^\mathsf{T} G[\mathbf{f}] \mathbf{w}[\mathbf{f}] = \mathbf{w}[\mathbf{f}]^\mathsf{T} G[\mathbf{f}]\mathbf{v}[\mathbf{f}]</math>

حيث تشير {{تعبير رياضي|'''v'''['''f''']}}<sup>T</sup> و {{تعبير رياضي|'''w'''['''f''']}}<sup>T</sup> ل<nowiki/>[[منقولة مصفوفة|منقولة]] المتجهين: {{تعبير رياضي|'''v'''['''f''']}}و {{تعبير رياضي|'''w'''['''f''']}}على التوالي، وب<nowiki/>[[تغيير القاعدة (جبر خطي)|تغيير قاعدة]] النموذج نحصل على أن:

<math>\mathbf{f}\mapsto \mathbf{f}' = \left(\sum_k X_ka_{k1},\dots,\sum_k X_ka_{kn}\right) = \mathbf{f}A</math>

بالنسبة ل<nowiki/>[[مصفوفة قابلة للعكس|مصفوفة عكسية]] <math>A=(a_{ij})</math> رتبتها {{تعبير رياضي|''n'' × ''n''}}فإن مصفوفة المُرَكِّبات المترية تتغير بمقدار {{mvar|A}} أيضًا، وهذا هو:

<math>G[\mathbf{f}A] = A^\mathsf{T} G[\mathbf{f}]A</math>

أو بلغة مدخلات هذه المصفوفة:

<math>g_{ij}[\mathbf{f}A] = \sum_{k,l=1}^n a_{ki}g_{kl}[\mathbf{f}]a_{lj} \, </math>

لهذا السبب يُقال إن نظام الكميات {{تعبير رياضي|''g''<sub>''ij''</sub>['''f''']}}يتحول بشكل متغاير بخصوص تغيرات في الإطار {{تعبير رياضي|'''f'''}}.

=== متري في الإحداثيات ===
نظام عدد {{mvar|n}} من الاقترانات {{تعبير رياضي|(''x''<sup>1</sup>, ..., ''x''<sup>''n''</sup>)}}ذات القيمة الحقيقية يعطي نظام إحداثيات محلي على [[مجموعة مفتوحة]] {{mvar|U}} في {{mvar|M}}، محددًا قاعدةً لحقول المتجهات في {{mvar|U}}:

<math>\mathbf{f} = \left(X_1 = \frac{\partial}{\partial x^1}, \dots, X_n = \frac{\partial}{\partial x^n}\right) \,</math>

المتري {{mvar|g}} يملك مُرَكِّبات متعلقة بهذا الإطار يُعطى من خلال:

<math>g_{ij}\left[\mathbf{f}\right] = g\left(\frac{\partial}{\partial x^i}, \frac{\partial}{\partial x^j}\right) \,</math>

بالنسبة لنظام جديد من الإحداثيات المحلية، يُقال أن:

<math>y^i = y^i(x^1, x^2, \dots, x^n),\quad i=1,2,\dots,n</math>

الموتر المتري سيحدد مصفوفة مختلفة من المعاملات هي:

<math>g_{ij}\left[\mathbf{f}'\right] = g\left(\frac{\partial}{\partial y^i}, \frac{\partial}{\partial y^j}\right)</math>

هذا التضام الجديد من الاقترانات يتعلق بالأصلي {{تعبير رياضي|''g''<sub>''ij''</sub>('''f''')}}عن طريق [[قاعدة السلسلة]]:

<math>\frac{\partial}{\partial y^i} = \sum_{k=1}^n \frac{\partial x^k}{\partial y^i}\frac{\partial}{\partial x^k}</math>

لهذا فإن:

<math>g_{ij}\left[\mathbf{f}'\right] = \sum_{k,l=1}^n \frac{\partial x^k}{\partial y^i} g_{kl}\left[\mathbf{f}\right]\frac{\partial x^l}{\partial y^j}</math>

أو من ناحية المصفوفات: {{تعبير رياضي|''G''['''f'''] {{=}} (''g''<sub>''ij''</sub>['''f'''])}}و{{تعبير رياضي|''G''['''f'''′] {{=}} (''g''<sub>''ij''</sub>['''f'''′])}}:

<math>G\left[\mathbf{f}'\right] = \left((Dy)^{-1}\right)^\mathsf{T} G\left[\mathbf{f}\right] (Dy)^{-1}</math>

حيث يشير {{mvar|Dy}} إلى [[مصفوفة ياكوبية|المصفوفة الياكوبية]] لتغيير الإحداثيات.

=== شكل مميز للمتري ===
يرتبط [[شكل تربيعي|الشكل التربيعي]] المُعرف في كل مساحة مماس بأي موتر متري من خلال:

<math>q_m(X_m) = g_m(X_m,X_m) \,, \quad X_m\in T_mM</math>

إذا كان {{تعبير رياضي|''q''<sub>''m''</sub>}}موجب لجميع {{تعبير رياضي|''X''<sub>''m''</sub>}}غير الصفرية؛ فإن المتري يكون محددًا موجبًا عند {{mvar|m}}، وإذا كان المتري موجب التحديد عند كل {{تعبير رياضي|''m'' ∈ ''M''}}؛ فإن {{mvar|g}} يسمى متري ريماني، وبشكلٍ عام إذا كانت الأشكال التربيعية {{تعبير رياضي|''q''<sub>''m''</sub>}}لها شكل مميز ثابت مستقل عن {{mvar|m}}؛ فإن شكل {{mvar|g}} المميز هو هذا الشكل المميز، ويطلق على يه ريماني متري زائف،<ref>{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Dodson|Poston|1991|loc=فصل سابع § 3.04}}</ref> أما إذا كان <math>M</math> [[فضاء متصل|متصل]]؛ فإن شكل <math>q_m</math> المميز لا يعتمد على <math>m</math>.<ref>{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Vaughn|2007|loc=§3.4.3}}</ref>

وفقًا لقانون سيلفستر لل<nowiki/>[[قصور ذاتي|قصور الذاتي]]، يمكن اختيار قاعدة متجهات المماس <math>X_i</math> محليًا بحيث يتحول الشكل التربيعي إلى الشكل التالي:

<math>q_m\Bigl(\sum_i\xi^iX_i\Bigr)=(\xi^1)^2+(\xi^2)^2+...+(\xi^p)^2-(\xi^{p+1})^2-...-(\xi^n)^2</math>

بالنسبة لبعض النقاط {{mvar|p}} بين 1 و{{mvar|n}}، فإن أي تعبيرين من هذا القبيل لـ{{mvar|q}} عند نفس النقطة {{mvar|m}} في {{mvar|M}} سيكون لهما نفس العدد {{mvar|p}} من الإشارات الموجبة، وشكل {{mvar|g}} هوزوج من الأعداد الصحيحة {{تعبير رياضي|(''p'', ''n'' − ''p'')}}، مما يدل على أن هناك {{mvar|p}} من الإشارات الموجبة و {{تعبير رياضي|''n'' − ''p''}}سلبية في أي تعبير من هذا القبيل، وبشكلٍ مكافِئ فإن المتري له شكل مميز وهو: {{تعبير رياضي|(''p'', ''n'' − ''p'')}}إذا كانت المصفوفة {{تعبير رياضي|''g''<sub>''ij''</sub>}}للمتري تحتوي على [[قيم ذاتية ومتجهات ذاتية|قيم مميزة]] وهي: {{mvar|p}} الموجبة و {{تعبير رياضي|''n'' − ''p''}}السلبية.

بعض الأشكال المترية التي تظهر بشكلٍ متكرر في التطبيقات هي:

* إذا كان {{mvar|g}} له الشكل <math>(n,0)</math>؛ فإن {{mvar|g}} هي ريماني متري، وتسمى {{mvar|M}} [[متعدد شعب ريماني|متشعب ريماني]]، خلاف ذلك ({{mvar|g}} ليس لها توقيع) فإن{{mvar|g}} هو متري ريماني زائف و{{mvar|M}} يسمى متشعب ريماني زائف أو شبه ريماني.
* إذا كان {{mvar|M}} رباعي الأبعاد مع الشكل <math>(1,3)</math> أو <math>(3,1)</math>، فإن المتري يسمى لورنتزيان، وبشكلٍ عام الموتر المتري في البعد {{mvar|n}} يمتلك 4 أشكال هي: {{تعبير رياضي|(1, ''n'' − 1)}}أو {{تعبير رياضي|(''n'' − 1, 1)}}تسمى أحيانًا لورنتزيان.
* إذا كانت {{mvar|M}} ثنائية الأبعاد و{{mvar|g}} لها الشكل <math>(n,n)</math>، فإن المتري يسمى زائدي.

=== متري معكوس ===
لنفترض أن {{تعبير رياضي|'''f''' {{=}} (''X''<sub>1</sub>, ..., ''X''<sub>''n''</sub>)}}قاعدة لحقول المتجهات وكما ذكرنا سابقًا لندع {{تعبير رياضي|''G''['''f''']}}مصفوفة المعاملات، حاصلين على أن:

<math>g_{ij}[\mathbf{f}] = g\left(X_i,X_j\right) \,</math>

يمكن اعتبار<nowiki/>[[مصفوفة قابلة للعكس|المصفوفة المعكوسة]] {{تعبير رياضي|''G''['''f''']<sup>−1</sup>}}، والذي يتم تعريفها باستخدام المتري المعكوس أو المتري المتقارن أو الثنائي، ويطبق المتري المعكوس قانون التحول عندما يتم تغيير الإطار {{تعبير رياضي|'''f'''}}بواسطة مصفوفة {{mvar|A}} من خلال الآتي:

{{NumBlk|:|<math>G[\mathbf{f}A]^{-1} = A^{-1}G[\mathbf{f}]^{-1}\left(A^{-1}\right)^\mathsf{T}</math>|{{EquationRef|5}}}}

يتحول المتري المعكوس بشكل مخالف أو فيما يتعلق بمعكوس تغيير قاعدة المصفوفة{{mvar|A}} ، في حين أن المتري نفسه يوفر طريقة لقياس طول حقول المتجهات أو الزاوية بينهما، فيوفر المتري المعكوس وسيلة لقياس طول حقول المتجهات المشتركة أو الزاوية بينهما، وهذا هو حقول الاقترانات الخطية.

لتفسير ما سبق رياضيًا افترض أن {{mvar|α}}هو حقل متجهات مشترك، هذا يعني أن لكل نقطة {{mvar|p}} هناك {{mvar|α}} تحدد اقتران {{تعبير رياضي|''α''<sub>''p''</sub>}}مُعرف على متجهات مماسية عند {{mvar|p}} بحيث يكون [[تحويل خطي|الشرط الخطي]] التالي ينطبق على جميع المتجهات المماسية {{تعبير رياضي|''X''<sub>''p''</sub>}}و {{تعبير رياضي|''Y''<sub>''p''</sub>}}وجميع الأعداد الحقيقية {{mvar|a}} و{{mvar|b}}:

<math>\alpha_p \left(aX_p + bY_p\right) = a\alpha_p \left(X_p\right) + b\alpha_p \left(Y_p\right)\,</math>

مع اختلاف {{mvar|p}} يُفترض أن تكون {{mvar|α}} [[نعومة دالة|دالة ناعمة]] بمعنى أن:

<math>p \mapsto \alpha_p \left(X_p\right)</math>

هي دالة ناعمة لـ {{mvar|p}} لأي حقل متجهات ناعم {{mvar|X}}.

أي حقل متجهات مشترك {{mvar|α}} له مُرَكِّبات في قاعدة حقول المتجهات {{تعبير رياضي|'''f'''}}، حيث يُحددوا من خلال التالي:

<math>\alpha_i = \alpha \left(X_i\right)\,,\quad i = 1, 2, \dots, n\,.</math>

يُشار إلى متجه الصف لهذه المُرَكِّبات من خلال:

<math>\alpha[\mathbf{f}] = \big\lbrack\begin{array}{cccc} \alpha_1 & \alpha_2 & \dots & \alpha_n \end{array}\big\rbrack \,.</math>

وبتغيير {{تعبير رياضي|'''f'''}}بواسطة مصفوفة {{mvar|A}}؛ فإن {{تعبير رياضي|''α''['''f''']}}تتغير حسب القاعدة الآتية:

<math>\alpha[\mathbf{f}A] = \alpha[\mathbf{f}]A \,</math>

وهذا يعني أن متجه الصف للمُرَكِّبات {{تعبير رياضي|''α''['''f''']}}يتحول إلى متجه متغير.

بالنسبة للزوج {{mvar|α}} و{{mvar|β}} في حقول المتجهات المشتركة، وتعريف المتري المعكوس المُطبق على هذين المتجهين من خلال:

{{NumBlk|:|<math>\tilde{g}(\alpha,\beta) = \alpha[\mathbf{f}]G[\mathbf{f}]^{-1}\beta[\mathbf{f}]^\mathsf{T}</math>|{{EquationRef|6}}}}

التعريف الناتج على الرغم من أنه يشمل اختيار القاعدة {{تعبير رياضي|'''f'''}}إلا أنه لا يعتمد فعليًا على {{تعبير رياضي|'''f'''}}بطريقةٍ أساسية، ففي الواقع تغيير القاعدة إلى {{تعبير رياضي|'''f'''''A''}}يعطي:

<math>\begin{align}
      &\alpha[\mathbf{f}A] G[\mathbf{f}A]^{-1} \beta[\mathbf{f}A]^\mathsf{T} \\
  ={} &\left(\alpha[\mathbf{f}]A\right) \left(A^{-1}G[\mathbf{f}]^{-1} \left(A^{-1}\right)^\mathsf{T}\right) \left(A^\mathsf{T}\beta[\mathbf{f}]^\mathsf{T}\right) \\
  ={} &\alpha[\mathbf{f}] G[\mathbf{f}]^{-1} \beta[\mathbf{f}]^\mathsf{T}.
\end{align}
</math>

حيث يكون الجانب الأيمن من المعادلة ({{EquationRef|6}}) لا يتأثر بتغيير القاعدة {{تعبير رياضي|'''f'''}}إلى أي قاعدة أخرى {{تعبير رياضي|'''f'''''A''}}على الإطلاق، وبالتالي يمكن تخصيص المعادلة لمعنى بغض النظر عن اختيار القاعدة، يُشار إلى مدخلات المصفوفة {{تعبير رياضي|''G''['''f''']}}بواسطة {{تعبير رياضي|''g''<sup>''ij''</sup>}}، حيث تم رفع المؤشرين {{mvar|i}} و {{mvar|j}} للإشارة إلى قانون التحول ({{EquationRef|5}}).

=== رفع وخفض المؤشرات ===
في قاعدة حقول المتجهات f = (X 1... X n) يمكن كتابة أي حقل متجهات ناعم مماسي {{mvar|X}} من خلال النموذج التالي:

{{NumBlk|:|<math>X =
  v^1[\mathbf{f}]X_1 + v^2 [\mathbf{f}]X_2 + \dots + v^n[\mathbf{f}]X_n =
  \mathbf{f} \begin{bmatrix}v^1[\mathbf{f}] \\ v^2[\mathbf{f}] \\ \vdots \\ v^n[\mathbf{f}]\end{bmatrix} =
  \mathbf{f} v[\mathbf{f}]
</math>|{{EquationRef|7}}}}

لبعض الاقترانات الناعمة المحددة بشكل فريد {{تعبير رياضي|''v''<sup>1</sup>, ..., ''v''<sup>''n''</sup>}}عند تغيير القاعدة {{تعبير رياضي|'''f'''}}بواسطة مصفوفة غير أحادية {{mvar|A}}، تتغيير المعامِلات {{تعبير رياضي|''v''<sup>''i''</sup>}}بالطريقة المذكورة في المعادلة ({{EquationRef|7}}) حيث تبقى صحيحة، وهذا يعني أن:

<math>X = \mathbf{fA}v[\mathbf{fA}] = \mathbf{f}v[\mathbf{f}]\,.</math>

وبالتالي {{تعبير رياضي|''v''['''f'''''A''] {{=}} ''A''<sup>−1</sup>''v''['''f''']}}، بمعنى آخر تتحول مُرَكِّبات المتجه بشكل متناقض (عكسي) بسبب التغيير في القاعدة بواسطة المصفوفة غير الأحادية {{mvar|A}}، ويُحدد تناقض مُرَكِّبات {{تعبير رياضي|''v''['''f''']}}بصورةٍ تشكيلية بوضع المؤشرات {{تعبير رياضي|''v''<sup>''i''</sup>['''f''']}}في الموضع العلوي.

يُسمح للإطار أيضًا بالتعبير عنه باستخدام المتجهات المشتركة بدلالة مُرَكِّباتها، ولقاعدة حقول المتجهات {{تعبير رياضي|'''f''' {{=}} (''X''<sub>1</sub>, ..., ''X''<sub>''n''</sub>)}}عُرِفت القاعدة المزدوجة لتكون خطية الوظائف {{تعبير رياضي|(''θ''<sup>1</sup>['''f'''], ..., ''θ''<sup>''n''</sup>['''f'''])}}أي أن:

<math>\theta^i[\mathbf{f}](X_j) = \begin{cases} 1 & \mathrm{if}\ i=j\\ 0&\mathrm{if}\ i\not=j.\end{cases}</math>

حيث، {{تعبير رياضي|''θ''<sup>''i''</sup>['''f'''](''X''<sub>''j''</sub>) {{=}} ''δ''<sub>''j''</sub><sup>''i''</sup>}}: [[دلتا كرونكر]]. فلنفترض التالي:

<math>\theta[\mathbf{f}] = \begin{bmatrix}\theta^1[\mathbf{f}] \\ \theta^2[\mathbf{f}] \\ \vdots \\ \theta^n[\mathbf{f}]\end{bmatrix}</math>

بتغيير القاعدة {{تعبير رياضي|'''f''' ↦ '''f'''''A''}}لمصفوفة غير أحادية {{تعبير رياضي|''A''}}،{{تعبير رياضي|''θ''['''f''']}}يتحول عن طريق:

<math>\theta[\mathbf{f}A] = A^{-1}\theta[\mathbf{f}]</math>

يمكن توسيع أي اقتران خطي {{mvar|α}} في المتجهات المماسية بدلالة القاعدة المزدوجة {{mvar|θ}}:

{{NumBlk|:|<math>\begin{align}
  \alpha &= a_1[\mathbf{f}] \theta^1[\mathbf{f}] + a_2[\mathbf{f}] \theta^2[\mathbf{f}] + \cdots + a_n[\mathbf{f}] \theta^n[\mathbf{f}] \\[8pt]
         &= \big\lbrack\begin{array}{cccc}a_1[\mathbf{f}] & a_2[\mathbf{f}] & \dots & a_n[\mathbf{f}]\end{array}\big\rbrack \theta[\mathbf{f}] \\[8pt]
         &= a[\mathbf{f}] \theta[\mathbf{f}]
\end{align}</math>|{{EquationRef|8}}}}

حيث تشير {{تعبير رياضي|''a''['''f''']}}إلى متجه الصف {{تعبير رياضي|[ ''a''<sub>1</sub>['''f'''] ... ''a''<sub>''n''</sub>['''f'''] ]}}، والمُرَكِّبات {{تعبير رياضي|''a''<sub>''i''</sub>}}تتحول عندما يتم استبدال القاعدة {{تعبير رياضي|'''f'''}}بـ{{تعبير رياضي|'''f'''''A''}}بطريقةٍ تبقى فيها المعادلة ({{EquationRef|8}}) صحيحة، هذا يعني:

<math>\alpha = a[\mathbf{f}A]\theta[\mathbf{f}A] = a[\mathbf{f}]\theta[\mathbf{f}]</math>

ولأن {{تعبير رياضي|''θ''['''f'''''A''] {{=}} ''A''<sup>−1</sup>''θ''['''f''']}}يتبع ذلك {{=}} ''a''['''f''']''A''}، أي أن المُرَكِّبات {{mvar|a}} تتحول بشكل متغاير بواسطة المصفوفة {{mvar|A}} بدلاً من معكوسها، يُحدد تَغيُر المُركِبات ل{{تعبير رياضي|''a''['''f''']}}بشكلٍ تشكيلي بوضع المؤشرات ل{{تعبير رياضي|''a''<sub>''i''</sub>['''f''']}}في الموضع السفلي.

الآن وبما أن الموتر المتري يعطي وسيلة لتحديد المتجهات والمتجهات المشتركة على النحو التالي بتثبيت {{تعبير رياضي|''X''<sub>''p''</sub>}}:

<math>g_p(X_p, -) : Y_p \mapsto g_p(X_p, Y_p)</math>

لمتجه المماس {{تعبير رياضي|''Y''<sub>''p''</sub>}}يحدد اقتران خطي على مساحة المماس عند {{mvar|p}}، وتأخذ هذه العملية المتجه {{تعبير رياضي|''X''<sub>''p''</sub>}}عند النقطة {{mvar|p}} مُنتجةً متجه مشترك{{تعبير رياضي|''g''<sub>''p''</sub>(''X''<sub>''p''</sub>, −)}}في قاعدة حقول المتجهات {{تعبير رياضي|'''f'''}}إذا كان حقل المتجهات {{mvar|X}} يمتلك مُرَكِّبات{{تعبير رياضي|''v''['''f''']}}؛ فإن مُرَكِّبات حقل المتجهات المشترك {{تعبير رياضي|''g''(''X'', −)}}في القاعدة المزدوجة يُعطى من خلال مدخلات متجه الصف:

<math>a[\mathbf{f}] = v[\mathbf{f}]^\mathsf{T} G[\mathbf{f}].</math>

بتغيير القاعدة {{تعبير رياضي|'''f''' ↦ '''f'''''A''}}يتحول الجانب الأيمن من هذه المعادلة عن طريق:

<math>
  v[\mathbf{f}A]^\mathsf{T} G[\mathbf{f}A] =
    v[\mathbf{f}]^\mathsf{T} \left(A^{-1}\right)^\mathsf{T} A^\mathsf{T} G[\mathbf{f}]A =
    v[\mathbf{f}]^\mathsf{T} G[\mathbf{f}]A
</math>

لذلك يتحول {{تعبير رياضي|''a''['''f'''''A''] {{=}} ''a''['''f''']''A''}}: {{mvar|a}} بشكل متغاير. عملية ارتباط المُرَكِّبات المتناقضة لحقل المتجهات field {{تعبير رياضي|''v''['''f'''] {{=}} [ ''v''<sup>1</sup>['''f'''] ''v''<sup>2</sup>['''f'''] ... ''v''<sup>''n''</sup>['''f'''] ]}}<sup>T</sup> بالمُرَكِّبات المتغيرة لحقل المتجهات المشترك {{تعبير رياضي|''a''['''f'''] {{=}} [ ''a''<sub>1</sub>['''f'''] ''a''<sub>2</sub>['''f'''] … ''a''<sub>''n''</sub>['''f'''] ]}}، حيث أن:

<math>a_i[\mathbf{f}] = \sum_{k=1}^n v^k[\mathbf{f}]g_{ki}[\mathbf{f}]</math>

يسمى خافض المُؤشِّر.

لرفع المؤشر تُطبق نفس الطريقة ولكن باستخدام المتري المعكوس بدلاً من المتري، فإذا كانت {{تعبير رياضي|''a''['''f'''] {{=}} [ ''a''<sub>1</sub>['''f'''] ''a''<sub>2</sub>['''f'''] ... ''a''<sub>''n''</sub>['''f'''] ]}}هي مُرَكِّبات لمتجه مشترك في القاعدة المزدوجة {{تعبير رياضي|''θ''['''f''']}}؛ فإن متجه العمود:

{{NumBlk|:|<math>v[\mathbf{f}] = G^{-1}[\mathbf{f}]a[\mathbf{f}]^\mathsf{T}</math>|{{EquationRef|9}}}}

يملك مُرَكِّبات تتحول بشكل متناقض:

<math>v[\mathbf{f}A] = A^{-1}v[\mathbf{f}].</math>

بالتالي فإن الكمية {{تعبير رياضي|''X'' {{=}} '''f'''''v''['''f''']}}لا تعتمد على اختيار القاعدة {{تعبير رياضي|'''f'''}}بشكل أساسي لذلك يُحدد حقل المتجهات في {{mvar|M}}. العملية ({{EquationRef|9}}) ترتبط بالمُرَكِّبات المتغيرة للمتجه المشترك {{تعبير رياضي|''a''['''f''']}}والمُرَكِّبات المتناقضة للمتجه {{تعبير رياضي|''v''['''f''']}}المُعطى يسمى رافع المؤشر. وفي المُرَكِّبات،({{EquationRef|9}}) هي:

<math>v^i[\mathbf{f}] = \sum_{k=1}^n g^{ik}[\mathbf{f}] a_k[\mathbf{f}].</math>

=== متري مستحث ===
لنجعل {{mvar|U}} مجموعة مفتوحة في{{تعبير رياضي|'''ℝ'''<sup>''n''</sup>}}، وليكن {{mvar|φ}} دالة مستمرة قابلة للتفاضل من {{mvar|U}} إلى الفضاء الإقليدي ℝ حيث {{تعبير رياضي|''m'' > ''n''}}، تعيين {{mvar|φ}} يسمى الغمر إذا كان تفاضله عن طريق الحقن في كل نقطة في {{mvar|U}}، وصورة {{mvar|φ}} تسمى المتشعب الفرعي المغمور، بشكلٍ أكثرَ تحديدًا بالنسبة إلى {{تعبير رياضي|1=''m'' = 3}}مما يعني أن الفضاء الإقليدي المحيط هو {{تعبير رياضي|'''ℝ'''<sup>''3''</sup>}}، ويسمى الموتر المتري المستحث بالشكل الأساسي الأول.

افترض أن {{mvar|φ}} غُمر في متشعب فرعي {{تعبير رياضي|''M'' ⊂ '''R'''<sup>''m''</sup>}}، والناتج النقطي الإقليدي المعتاد {{تعبير رياضي|'''ℝ'''<sup>''m''</sup>}}هو متري، فعندما يُقتصر على متجهات مماسية في M يعطي وسيلة لأخذ حاصل الضرب النقطي لهذه المتجهات المماسية، وهذا ما يسمى بالمتري المستحث.

افترض أن {{mvar|v}} متجه مماسي عند نقطة في {{mvar|U}}، ولنعتبر أن:

<math>v = v^1\mathbf{e}_1 + \dots + v^n\mathbf{e}_n</math>

حيث {{تعبير رياضي|'''e'''<sub>''i''</sub>}}هي متجهات الإحداثيات المعيارية في '''ℝ'''<sup>''n''</sup>، وعندما يتم تطبيق {{mvar|φ}} على {{mvar|U}} ينتقل المتجه {{mvar|v}} إلى المتجه المماسي في {{mvar|M}} المُعطى من خلال:

<math>\varphi_*(v) = \sum_{i=1}^n \sum_{a=1}^m v^i\frac{\partial \varphi^a}{\partial x^i}\mathbf{e}_a\,</math>

وهذا ما يسمى الدفع الأمامي لـ {{mvar|v}} على طول {{mvar|φ}}، وبإعطاء متجهين من هذا القبيل: {{mvar|v}} و {{mvar|w}}، يُعرف المتري المستحث عن طريق:

<math>g(v,w) = \varphi_*(v)\cdot \varphi_*(w)</math>

يُتبع من عملية حسابية مباشرة أن مصفوفة المتري المستحث في قاعدة حقول المتجهات الإحداثية{{تعبير رياضي|'''e'''}}تُعطى بواسطة:

<math>G(\mathbf{e}) = (D\varphi)^\mathsf{T}(D\varphi)</math>

حيث {{mvar|Dφ}} هي المصفوفة اليعقوبية:

<math>D\varphi = \begin{bmatrix}
  \frac{\partial\varphi^1}{\partial x^1} & \frac{\partial\varphi^1}{\partial x^2} &
    \dots  & \frac{\partial\varphi^1}{\partial x^n} \\[1ex]
  \frac{\partial\varphi^2}{\partial x^1} & \frac{\partial\varphi^2}{\partial x^2} &
    \dots  & \frac{\partial\varphi^2}{\partial x^n} \\
  \vdots                                 & \vdots                                 &
    \ddots & \vdots \\
  \frac{\partial\varphi^m}{\partial x^1} & \frac{\partial\varphi^m}{\partial x^2} &
    \dots  & \frac{\partial\varphi^m}{\partial x^n}
\end{bmatrix}</math>
== التعريفات الجوهرية للمتري ==
يمكن تعريف مفهوم المتري بشكل جوهري باستخدام لغة [[حزمة ليفية|حزم الألياف]] و[[حزمة شعاعية|حزم المتجهات]]، في هذه المصطلحات الموتر المتري هو اقتران:

{{NumBlk|:|<math>g : \mathrm{T}M\times_M \mathrm{T}M\to \mathbf{R}</math>|{{EquationRef|10}}}}

من ضرب الألياف للحزمة المماسية في {{mvar|M}} مع نفسها في {{تعبير رياضي|'''R'''}}بحيث يكون تقييد {{mvar|g}} لكل ليف هو ربط ثنائي خطي غير منحل:

<math>g_p : \mathrm{T}_pM\times \mathrm{T}_pM \to \mathbf{R}</math>

الارتباط في ({{EquationRef|10}}) يجب أن يكون [[دالة مستمرة|مستمرًا]]، وغالبًا ما يكون [[دالة قابلة للاشتقاق|قابلاً للتفاضل بشكل مستمر]] أو[[نعومة دالة|ناعمًا]] أو[[دالة تحليلية|تحليليًا حقيقيًا]]، اعتمادًا على الحالة المدروسة وما إذا كان {{mvar|M}} يمكن أن تدعم مثل هذا التركيب.

=== متري كجزء من حزمة ===
بواسطة الخاصية العامة لضرب الموتر، أي تعيين ثنائي خطي ({{EquationRef|10}}) يعطي رفع بشكل طبيعي إلى قسم {{تعبير رياضي|''g''<sub>⊗</sub>}}لثنائي حزمة ضرب الموتر لـ {{تعبير رياضي|T''M''}}مع نفسها:

<math>g_\otimes \in \Gamma\left((\mathrm{T}M \otimes \mathrm{T}M)^*\right)</math>

يتم تعريف القسم {{تعبير رياضي|''g''<sub>⊗</sub>}}على عناصر بسيطة من {{تعبير رياضي|T''M'' ⊗ T''M''}}من خلال:

<math>g_\otimes(v \otimes w) = g(v, w)</math>

ويتم تعريفه على العناصر التعسفية لـ {{تعبير رياضي|T''M'' ⊗ T''M''}}من خلال التوسع خطيًا لمجموعات خطية من العناصر البسيطة، الشكل الثنائي الخطي الأصلي ل{{mvar|g}} متماثل إذاوفقط إذا:

<math>g_\otimes \circ \tau = g_\otimes</math>

حيث أن:

<math>\tau : \mathrm{T}M \otimes \mathrm{T}M \stackrel{\cong}{\to} TM \otimes TM</math>

هي خريطة الشريط.

نظرًا لأن {{mvar|M}} ذات أبعاد محدودة، فهناك تماثل طبيعي:

<math>(\mathrm{T}M \otimes \mathrm{T}M)^* \cong \mathrm{T}^*M \otimes \mathrm{T}^*M,</math>

بحيث يُنظر إلى {{تعبير رياضي|''g''<sub>⊗</sub>}}أيضًا كقسم من الحزمة {{تعبير رياضي|T*''M'' ⊗ T*''M''}}لحزمة ظل التمام {{تعبير رياضي|T*''M''}}مع نفسها، ونظرًا لأن {{mvar|g}} متماثل كتركيب الثنائي الخطي، فهو يتبع أن {{تعبير رياضي|''g''<sub>⊗</sub>}}موتر متماثل .

=== متري في حزمة متجه ===
بشكلٍ عام يمكن أن التحدث عن متري في [[حزمة شعاعية|حزمة متجه]]، فإذا كانت {{mvar|E}} عبارة عن حزمة متجه على متشعب {{mvar|M}}؛ فإن المتري هو تعيين:

<math>g : E\times_M E\to \mathbf{R}</math>

من ضرب الألياف من {{mvar|E}} إلى {{تعبير رياضي|'''R'''}}وهو ثنائي خطي في كل ليف:

<math>g_p : E_p \times E_p\to \mathbf{R}.</math>

باستخدام الازدواجية على النحو الوارد أعلاه غالبًا ما يتم تعريف المتري بجزء من حزمة ضرب الموتر {{تعبير رياضي|''E''* ⊗ ''E''*}}.

=== تماثل مماس ظل التمام ===
يعطي الموتر المتري تماثلًا طبيعيًا من حزمة المماس إلى حزمة ظل التمام والتي تسمى أحيانًا التماثل الموسيقي،<ref>لمصطلح "التماثل الموسيقي" انظر إلى {{Harvard citation text|Gallot|Hulin|Lafontaine|2004|p=75}}، وانظر أيضًا {{Harvard citation text|Lee|1997|pp=27–29}}.</ref> هذا التشابه حُصل عليه عن طريق الضبط، لكل متجه مماس {{تعبير رياضي|''X''<sub>''p''</sub> ∈ T<sub>''p''</sub>''M''}}:

<math>S_gX_p\, \stackrel\text{def}{=}\, g(X_p, -),</math>

الدالة الخطية في {{تعبير رياضي|T<sub>''p''</sub>''M''}}التي ترسل متجهًا مماسيًا {{تعبير رياضي|''Y''<sub>''p''</sub>}}عند {{mvar|p}} ل {{تعبير رياضي|''g''<sub>''p''</sub>(''X''<sub>''p''</sub>,''Y''<sub>''p''</sub>)}}، هذا هو من حيث الاقتران [- ، -] بين {{تعبير رياضي|T<sub>''p''</sub>''M''}}ومساحتها المزدوجة {{تعبير رياضي|T{{su|b=''p''|p=∗}}''M''}}:

<math>[S_gX_p, Y_p] = g_p(X_p, Y_p)</math>

لجميع المتجهات المماسية {{تعبير رياضي|''X''<sub>''p''</sub>}}و {{تعبير رياضي|''Y''<sub>''p''</sub>}}و التعيين {{تعبير رياضي|''S''<sub>''g''</sub>}}هو تحول خطي من {{تعبير رياضي|T<sub>''p''</sub>''M''}}إلى {{تعبير رياضي|T{{su|b=''p''|p=∗}}''M''}}، ويترتب على تعريف عدم الانحلال أن الكيرنل ل {{تعبير رياضي|''S''<sub>''g''</sub>}}يُخفض إلى الصفر، وبالتالي من خلال نظرية الرتبة-الصفرية؛ فإن {{تعبير رياضي|''S''<sub>''g''</sub>}}هو تماثل خطي، علاوةً على ذلك {{تعبير رياضي|''S''<sub>''g''</sub>}}عبارة عن [[تحويل خطي|تحول خطي]] متماثل بمعنى أن:

<math>[S_gX_p, Y_p] = [S_gY_p, X_p] </math>

لجميع متجهات المماس {{تعبير رياضي|''X''<sub>''p''</sub>}}و {{تعبير رياضي|''Y''<sub>''p''</sub>}}.

على العكس من ذلك فإن أي تماثل خطي {{تعبير رياضي|''S'' : T<sub>''p''</sub>''M'' → T{{su|b=''p''|p=∗}}''M''}}مُعرّفًا شكلًا ثنائيًا خطيًا غير منحل على {{تعبير رياضي|T<sub>''p''</sub>''M''}}عن طريق:

<math>g_S(X_p, Y_p) = [SX_p, Y_p]\,.</math>

هذا الشكل الخطي متماثل إذا وفقط إذا كانت {{mvar|S}} متماثلة، وبالتالي هناك تطابق طبيعي واحد لواحد بين الأشكال ثنائية الخطية المتماثلة في{{تعبير رياضي|T<sub>''p''</sub>''M''}}والتماثل الخطي المتماثل في {{تعبير رياضي|T<sub>''p''</sub>''M''}}للمزدوج {{تعبير رياضي|T{{su|b=''p''|p=∗}}''M''}}.

نظرًا لأن {{mvar|p}} يتغير في {{mvar|M}}، ويعرف {{تعبير رياضي|''S''<sub>''g''</sub>}}قِسمًا من حزمة {{تعبير رياضي|Hom(T''M'', T*''M'')}}من تماثل حزمة متجه حزمة المماس إلى حزمة ظل التمام، هذا القسم له نفس نعومة {{mvar|g}}: إنه مستمر، أو قابل للتفاضل، أو ناعم، أو تحليلي حقيقي وفقًا لـ {{mvar|g}}، تمثيل {{تعبير رياضي|''S''<sub>''g''</sub>}}الذي يرتبط بكل حقل المتجهات الموجود على {{mvar|M}} يعطي حقل المتجهات المشترك على {{mvar|M}} صيغة مجردة لـ «خافض المؤشر» في حقل متجه، ومعكوس {{تعبير رياضي|''S''<sub>''g''</sub>}}هو تعيين {{تعبير رياضي|T*''M'' → T''M''}}والذي بالقيياس يعطي صيغة مجردة لـ «رافع المؤشر» في حقل المتجهات المشترك.

المعكوس {{تعبير رياضي|''S''{{su|b=''g''|p=−1}}}}يعرّف التعيين الخطي على أنه:

<math>S_g^{-1} : \mathrm{T}^*M \to \mathrm{T}M</math>

وهو غير أحادي ومتماثل بمعنى أن:

<math>\left[S_g^{-1}\alpha, \beta\right] = \left[S_g^{-1}\beta, \alpha\right]</math>

لجميع المتجهات المشتركة: {{mvar|α}} و{{mvar|β}}، يؤدي مثل هذا التعيين المتماثل غير أحادي إلى ظهور الخريطة من خلال دالة الموتر-هوم (Hom):

<math>\mathrm{T}^*M \otimes \mathrm{T}^*M \to \mathbf{R}</math>

أو عن طريق [[فضاء ثنائي|تماثل مزدوج ثنائي]] لجزء الضرب الموتر:

<math>\mathrm{T}M \otimes \mathrm{T}M.</math>

== طول القوس وعنصر الخط ==
افترض أن {{mvar|g}} ريماني متري في {{mvar|M}}، وفي نظام إحداثيات محلي {{تعبير رياضي|''x''<sup>''i''</sup>}}أن: {{تعبير رياضي|''I '' {{=}} 1, 2, …, ''n''}}، فيظهر موتر متري ك<nowiki/>[[مصفوفة (رياضيات)|مصفوفة]] يُشار إليها هنا بواسطة {{تعبير رياضي|'''G'''}}التي تكون مدخلاتها هي المُرَكِّبات {{تعبير رياضي|''g''<sub>''ij''</sub>}}للموتر المتري بالنسبة لحقول المتجهات الإحداثية.

لنفترض أن {{تعبير رياضي|''γ''(''t'')}}[[معادلة وسيطية|منحنى حدودي]] قابل للتفاضل متعدد المتغيرات في {{mvar|M}} ل{{تعبير رياضي|''a'' ≤ ''t'' ≤ ''b''}}، يُحدد [[طول قوس|طول القوس]] من خلال:

<math>L = \int_a^b \sqrt{ \sum_{i,j=1}^n g_{ij}(\gamma(t)) \left(\frac{d}{dt}x^i \circ \gamma(t)\right) \left(\frac{d}{dt} x^j \circ \gamma(t)\right)}\,dt \,</math>

فيما يتعلق بهذا التطبيق الهندسي هو [[شكل تفاضلي|الشكل التفاضلي]] التربيعي:

<math>ds^2 = \sum_{i,j=1}^n g_{ij}(p) dx^i dx^j</math>

يسمى الشكل الأساسي الأول المرتبط بالمتري، وبينما {{mvar|ds}} هو عنصر الخط، فإنه عندما تُسحب {{تعبير رياضي|''ds''<sup>2</sup>}}مرةً أخرى إلى صورة المنحنى في {{mvar|M}} فهي تمثل مربع التفاضل بالنسبة لطول القوس.

بالنسبة للريماني المتري الزائف لا يتم تعريف معادلة الطول أعلاه دائمًا؛ لأن الحد تحت الجذر التربيعي قد يصبح سالبًا، وبشكلٍ عام نحن فقط نحدد طول المنحنى عندما تكون الكمية الموجودة تحت الجذر التربيعي علامة واحدة أو أخرى دائمًا، ففي هذه الحالة يُحدد بواسطة:

<math>L = \int_a^b \sqrt{ \left|\sum_{i,j=1}^ng_{ij}(\gamma(t)) \left(\frac{d}{dt}x^i \circ \gamma(t)\right)\left(\frac{d}{dt}x^j \circ \gamma(t)\right)\right|}\,dt \, </math>

لاحظ أنه بينما تستخدم هذه الصيغ التعبيرات الإحداثية إلا أنها في الواقع مستقلة عن الإحداثيات المُختارة؛ حيث تعتمد هذه الصيغ فقط على المتري والمنحنى على طول الصيغ المُكاملة.

=== الطاقة والمبادئ المتغيرة والجيوديسية ===
بالنظر إلى جزء من منحنى ما هناك كمية أخرى محددة بشكل متكرر وهي الطاقة الحركية للمنحنى:

<math>E = \frac{1}{2} \int_a^b \sum_{i,j=1}^ng_{ij}(\gamma(t)) \left(\frac{d}{dt}x^i \circ \gamma(t)\right)\left(\frac{d}{dt}x^j \circ \gamma(t)\right)\,dt \, </math>

يأتي هذا الاستخدام من [[فيزياء|الفيزياء]] تحديداً [[ميكانيكا كلاسيكية|الميكانيكا الكلاسيكية]]، حيث يمكن ملاحظة أن التكامل {{mvar|E}} على أنه يتوافق مباشرةً مع [[طاقة حركية|الطاقة الحركية]] لجسم نقطي يتحرك على سطح متشعب؛ لذلك على سبيل المثال في صيغة [[كارل غوستاف ياكوب ياكوبي|ياكوبي]] لمبدأ [[بيير لوي موبرتوي|موبرتويس]] يمكن ملاحظة الموتر المتري على أنه يتوافق مع كتلة الموتر للجسم المتحرك.

في كثير من الحالات، كلما دعت عملية حسابية إلى استخدام الطول يمكن إجراء حساب مماثل باستخدام الطاقة أيضًا، وهذا غالبًا ما يؤدي إلى أبسط الصيغ عن طريق تجنب الحاجة إلى استخدام الجذر التربيعي، وبالتالي على سبيل المثال يمكن الحصول على [[معادلات جيوديسية|المعادلات الجيوديسية]] من خلال تطبيق مبادئ التغيير إما على الطول أو الطاقة، في الحالة الأخيرة يُنظر إلى المعادلات الجيوديسية على أنها تنشأ من [[مبدأ الفعل الأدنى]]، فهي تصف حركة «الجسم الحر» (يشعر الجسم بعدم وجود قوى تؤثر عليه) المقيد بالتحرك في المتشعب ولكنه يتحرك بحرية مع زخم ثابت داخل المتشعب.<ref>{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Sternberg|1983}}</ref>

== قياس كنسي وشكل الحجم ==
بالتشابه مع حالة الأسطح فإن الموتر المتري على متشعب باراكومباكت {{mvar|M}} ذو أبعاد عدد {{mvar|n}} يعطي ظهور لطريقة طبيعية لقياس [[حجم]] الأبعاد {{mvar|n}} لمجموعات فرعية من المتشعب، ويسمح مقياس بورل الطبيعي الناتج لتطوير نظرية الاقترانات المُكامَلة في المشعب عن طريق الوسائل المرتبطة ب<nowiki/>[[تكامل لوبيغ]].

يمكن تعريف المتري من خلال نظرية ريسز التمثيلية، ومن خلال إعطاء دالة خطية موجبة {{mvar|Λ}} في الفضاء {{تعبير رياضي|''C''<sub>0</sub>(''M'')}}ل<nowiki/>[[دالة مستمرة|اقتران مستمر]] [[حامل (رياضيات)|مدعوم]] مختصر في {{mvar|M}}، بتعبيرٍ أدق إذا كان {{mvar|M}} مشعب مع موتر متري ريماني زائف {{mvar|g}} فهناك مقياس بوريل موجب فريد {{تعبير رياضي|''μ''<sub>''g''</sub>}}مثل أي مخطط إحداثي {{تعبير رياضي|(''U'', ''φ'')}}فإن:

<math>\Lambda f = \int_U f\,d\mu_g = \int_{\varphi(U)} f\circ\varphi^{-1}(x) \sqrt{|\det g|}\,dx</math>

لجميع {{mvar|f}} المدعومة في {{mvar|U}}، وهنا{{تعبير رياضي|det ''g''}}هو محدد المصفوفة المكونة من مُرَكِّبات الموتر المتري في المخطط الإحداثي، و{{mvar|Λ}} محدد جيد للاقترانات المدعومة في منطقة الإحداثيات مُسوغ من خلال التغيير الياكوبي للمتغيرات، ويمتد إلى دالة خطية موجبة فريدة في {{تعبير رياضي|''C''<sub>0</sub>(''M'')}}بواسطة وسائل تقسيم الوحدة.

إذا كان {{mvar|M}} موجه أيضًا فمن الممكن تحديد شكل الحجم الطبيعي من الموتر المتري، ففي نظام إحداثيات موجه موجب {{تعبير رياضي|(''x''<sup>''1''</sup>, ..., ''x''<sup>''n''</sup>)}}فإن نموذج الحجم يُمثل مثل التالي:

<math>\omega = \sqrt{|\det g|}\, dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n</math>

حيث {{تعبير رياضي|''dx''<sup>''i''</sup>}}هي الإحداثية التفاضلية، وتشير {{تعبير رياضي|∧}}إلى [[جبر خارجي|الضرب الخارجي]] في جبر [[شكل تفاضلي|الأشكال التفاضلية]]، ويعطي شكل الحجم أيضًا طريقة لتكامل الاقترانات الموجودة في المشعب، وهذا التكامل الهندسي يتوافق مع التكامل الذي حُصل عليه بواسطة مقياس بوريل الكنسي.

== أمثلة ==

=== متري إقليدي ===
المثال الأكثر شيوعًا في [[هندسة إقليدية|الهندسة الإقليدية]] الأولية هو الموتر [[مسافة إقليدية|الإقليدي]] [[فضاء ثنائي الأبعاد|ثنائي الأبعاد]]، ففي الإحداثيات المعتادة {{تعبير رياضي|(''x'', ''y'')}}يمكننا كتابة:

<math>g = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} \, </math>

طول المنحنى يُختصر للصيغة التالية:

<math>L = \int_a^b \sqrt{ (dx)^2 + (dy)^2} \, </math>

يمكن كتابة المتري الإقليدي في بعض أنظمة الإحداثيات الشائعة الأخرى على النحو التالي:

في [[نظام إحداثي قطبي|الإحداثيات القطبية]] {{تعبير رياضي|(''r'', ''θ'')}}:

<math>\begin{align}
  x &= r \cos\theta \\
  y &= r \sin\theta \\
  J &= \begin{bmatrix}\cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta\end{bmatrix} \,
\end{align}</math>

لذلك:

<math>g = J^\mathsf{T}J =
  \begin{bmatrix}
      \cos^2\theta + \sin^2\theta                  & -r\sin\theta \cos\theta + r\sin\theta\cos\theta \\
    -r\cos\theta\sin\theta + r\cos\theta\sin\theta & r^2 \sin^2\theta + r^2\cos^2\theta
  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
    1 & 0 \\
    0 & r^2
  \end{bmatrix}
</math>

عن طريق [[قائمة المطابقات المثلثية|المطابقات المثلثية]].

بشكل عام في [[نظام إحداثي ديكارتي|نظام الإحداثيات الديكارتية]] {{تعبير رياضي|''x''<sup>''i''</sup>}}في [[فضاء إقليدي|الفضاء الإقليدي]]، و[[مشتق جزئي|المشتقات الجزئية]] {{تعبير رياضي|∂ / ∂''x<sup>i</sup>''}}[[تعامد ممنظم|متعامدة]] بالنسبة للإقليدي المتري؛ لذلك فإن الموتر المتري هو [[دلتا كرونكر]] δ<sub>''ij''</sub> في نظام الإحداثيات هذا. الموتر المتري بالنسبة للإحداثيات التقريبية ربما تكون منحنية {{تعبير رياضي|''q<sup>i</sup>''}}تُعطى بواسطة:

<math>g_{ij} =
  \sum_{kl}\delta_{kl}\frac{\partial x^k}{\partial q^i} \frac{\partial x^l}{\partial q^j} =
  \sum_k\frac{\partial x^k}{\partial q^i}\frac{\partial x^k}{\partial q^j}
</math>

=== المتري الدائري في الكرة ===
كرة الوحدة في {{تعبير رياضي|'''ℝ'''<sup>3</sup>}}تأتي مزودةً بمقياس طبيعي ناتج من المتري الإقليدي المحيط من خلال العملية الموضحة في قسم المتري المستحث، في الإحداثيات الكروية القياسية {{تعبير رياضي|(''θ'', ''φ'')}}مع {{تعبير رياضي|''θ''}}الخطية، والزاوية المقاسة من المحور z ، والزاوية{{mvar|φ}} المقاسة من المحور {{mvar|x}} في المستوى {{mvar|xy}}؛ فإن المتري يأخذ الشكل:

<math>g = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \sin^2 \theta\end{bmatrix} \,</math>

عادةً تُكتب على هذا النموذج:

<math>ds^2 = d\theta^2 + \sin^2\theta\,d\varphi^2\,</math>

=== لورنتزيان المتري في النسبية ===
في [[فضاء مينكوفسكي]] المسطح في [[النسبية الخاصة]] ومع الإحداثيات:

<math>r^\mu \rightarrow \left(x^0, x^1, x^2, x^3\right) = (ct, x, y, z) \, </math>

اعتمادًا على اختيار شكل متري فإن المتري هو:

<math>g = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} \quad \text{وأ} \quad g = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \, </math>

بالنسبة لمنحنى مع إحداثيات زمنية ثابتة على سبيل المثال؛ فإن صيغة الطول لهذا المتري تُقلل إلى صيغة الطول المعتادة، حيث أنه لمثل منحنى الوقت صيغة الطول تُعطي [[الزمن المناسب]] على طول المنحنى.

في هذه الحالة تُكتب فترة [[زمكان|الزمكان]] بالشكل التالي:

<math>ds^2 = c^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 = dr^\mu dr_\mu = g_{\mu \nu} dr^\mu dr^\nu\, </math>

[[مصفوفة شوارزشيلد]] يصف الزمكان حول جسم كروي متماثل ككوكب أو [[ثقب أسود]] مع الإحداثيات التالية:

<math>\left(x^0, x^1, x^2, x^3\right) = (ct, r, \theta, \varphi) \,</math>

يمكننا كتابة المتري كـالآتي:

:<math>g_{\mu\nu} =
  \begin{bmatrix}
    \left(1 - \frac{2GM}{rc^2}\right) & 0 & 0 & 0 \\
    0 & -\left(1 - \frac{2GM}{r c^2}\right)^{-1} & 0 & 0 \\
    0 & 0 & -r^2 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & -r^2 \sin^2 \theta
  \end{bmatrix}\,
</math>

حيث {{mvar|G}} داخل المصفوفة: هو [[ثابت الجاذبية]] ويمثل {{mvar|M}} إجمالي محتوى [[تكافؤ الكتلة والطاقة|الطاقة والكتلة]] للجسم المركزي.

== انظر أيضًا ==

* [[مدخل إلى رياضيات النسبية العامة|مقدمة لرياضيات النسبية العامة]]
* [[حساب ريتشي]]

== ملاحظات ==
{{مراجع}}
{{مراجع}}

== مراجع ==

* {{استشهاد|الأخير1=Dodson|الأول1=C. T. J.|الأخير2=Poston|الأول2=T.|عنوان=Tensor geometry|ناشر=Springer-Verlag|مكان=Berlin, New York|إصدار=2nd|سلسلة=Graduate Texts in Mathematics|isbn=978-3-540-52018-4|mr=1223091|سنة=1991|المجلد=130|doi=10.1007/978-3-642-10514-2}}
* {{استشهاد|الأخير1=Gallot|الأول1=Sylvestre|الأخير2=Hulin|الأول2=Dominique|الأخير3=Lafontaine|الأول3=Jacques|عنوان=Riemannian Geometry|ناشر=Springer-Verlag|مكان=Berlin, New York|إصدار=3rd|isbn=978-3-540-20493-0|سنة=2004}}.
* {{استشهاد|الأخير=Gauss|الأول=Carl Friedrich|مؤلف-وصلة=Carl Friedrich Gauss|عنوان=General Investigations of Curved Surfaces|مسار= http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ABR1255|تاريخ النشر=1965|سنة=1827|ناشر=Raven Press|مكان=New York|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20230108210946/https://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ABR1255|تاريخ أرشيف=2023-01-08}} translated by A. M. Hiltebeitel and J. C. Morehead; [http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN35283028X_0006_2NS "Disquisitiones generales circa superficies curvas"], ''Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores'' Vol. '''VI''' (1827), pp.&nbsp;99–146.
* {{استشهاد|الأول1=S.W.|الأخير1=Hawking|مؤلف1-وصلة=Stephen Hawking|الأول2=G.F.R.|الأخير2=Ellis|عنوان=The large scale structure of space-time|ناشر=Cambridge University Press|سنة=1973}}.
* {{استشهاد|عنوان=Schaum's Outline of Theory and Problems of Tensor Calculus|الأول=David|الأخير=Kay|ناشر=McGraw-Hill|سنة=1988|isbn=978-0-07-033484-7}}.
* {{استشهاد|الأول=Morris|الأخير=Kline|مؤلف-وصلة=Morris Kline|عنوان=Mathematical thought from ancient to modern times, Volume 3|سنة=1990|ناشر=Oxford University Press}}.
* {{استشهاد|الأول=John|الأخير=Lee|عنوان=Riemannian manifolds|ناشر=Springer Verlag|سنة=1997|isbn=978-0-387-98322-6}}.
* {{استشهاد|الأول=Peter W.|الأخير=Michor|عنوان=Topics in Differential Geometry|سلسلة=[[Graduate Studies in Mathematics]]|المجلد=93|ناشر=American Mathematical Society|مكان=Providence|سنة=2008}} (''to appear'').
* {{استشهاد|الأول1=Charles W.|الأخير1=Misner|مؤلف1-وصلة=Charles W. Misner|الأول2=Kip S.|الأخير2=Thorne|مؤلف2-وصلة=Kip Thorne|الأول3=John A.|الأخير3=Wheeler|مؤلف3-وصلة=John Archibald Wheeler|عنوان=Gravitation|ناشر=W. H. Freeman|سنة=1973|isbn=0-7167-0344-0}}
* {{استشهاد|الأول1=Gregorio|الأخير1=Ricci-Curbastro|مؤلف1-وصلة=Gregorio Ricci-Curbastro|الأول2=Tullio|الأخير2=Levi-Civita|مؤلف2-وصلة=Tullio Levi-Civita|عنوان=Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications|صحيفة=Mathematische Annalen|سنة=1900|المجلد=54|صفحات=125–201|issn=1432-1807|doi=10.1007/BF01454201|العدد=1|s2cid=120009332|مسار= http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0054&DMDID=DMDLOG_0011&L=1|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20221122041352/https://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0054&DMDID=DMDLOG_0011&L=1|تاريخ أرشيف=2022-11-22}}
* {{استشهاد|الأخير=Sternberg|الأول=S.|مؤلف-وصلة=Shlomo Sternberg|سنة=1983|عنوان=Lectures on Differential Geometry|طبعة=2nd|ناشر=Chelsea Publishing Co.|مكان=New York|isbn=0-8218-1385-4}}
* {{استشهاد|الأخير=Vaughn|الأول=Michael T.|عنوان=Introduction to mathematical physics|ناشر=Wiley-VCH Verlag GmbH & Co.|مكان=Weinheim|isbn=978-3-527-40627-2|mr=2324500|سنة=2007|doi=10.1002/9783527618859|مسار= http://cds.cern.ch/record/1070811/files/9783527406272_TOC.pdf|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20230212150227/http://cds.cern.ch/record/1070811/files/9783527406272_TOC.pdf|تاريخ أرشيف=2023-02-12}}
* {{استشهاد|الأخير1=Wells|الأول1=Raymond|مؤلف1-وصلة=Raymond O. Wells, Jr.|عنوان=Differential Analysis on Complex Manifolds|ناشر=Springer-Verlag|مكان=Berlin, New York|سنة=1980|مسار= https://epdf.pub/differential-analysis-on-complex-manifolds.html|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20220121130807/https://epdf.pub/differential-analysis-on-complex-manifolds.html|تاريخ أرشيف=2022-01-21}}
{{موتر}}
{{شريط بوابات|رياضيات|هندسة رياضية|الفيزياء}}

[[تصنيف:رياضيات]]
[[تصنيف:فيزياء]]
[[تصنيف:كميات فيزيائية]]
[[تصنيف:مفاهيم فيزيائية]]
[[تصنيف:موترات]]
[[تصنيف:هندسة تفاضلية]]
[[تصنيف:هندسة ريمانية]]