عرض مصدر مفارقة سانت بطرسبرغ

'''مفارقة سانت بطرسبرغ''' أو '''يانصيب سانت بطرسبرغ''' <ref>{{استشهاد بكتاب|مؤلف=Weiss|الأول=Michael D.|مسار=https://books.google.com/books?id=v33W8lKfOo0C&pg=PA36|عنوان=Conceptual foundations of risk theory|ناشر=U.S. Dept. of Agriculture, Economic Research Service|سنة=1987|صفحة=36|مسار أرشيف=http://web.archive.org/web/20230909221406/https://books.google.com/books?id=v33W8lKfOo0C&pg=PA36|تاريخ أرشيف=2023-09-09}}</ref> هي [[مفارقة]] تتضمن لعبة رمي العملة المعدنية حيث تكون العائدات المتوقعة من لعبة [[يانصيب|اليانصيب]] غير محدودة ولكنها مع ذلك تبدو وكأنها تساوي مبلغًا صغيرًا جدًا للمشاركين. مفارقة سانت بطرسبرغ هي حالة حيث يتنبأ معيار القرار الساذج الذي يأخذ في الاعتبار القيمة المتوقعة فقط بمسار عمل من المفترض ألا يكون أي شخص فعليًا على استعداد لاتخاذه. وقد تم اقتراح عدة حلول لهذه المفارقة، بما في ذلك المبلغ المستحيل من المال الذي قد يحتاجه الكازينو لمواصلة اللعبة إلى أجل غير مسمى.

تم اختراع هذه المشكلة من قبل [[نيكولاس برنولي الأول|نيكولاس برنولي]]، <ref>{{استشهاد بكتاب|مؤلف=Plous|الأول=Scott|عنوان=The psychology of decision-making|تاريخ=1993-01-01|ناشر=McGraw-Hill Education|الفصل=Chapter 7|isbn=978-0070504776}}</ref> الذي ذكرها في رسالة إلى بيير رايموند دي مونتمورت في 9 سبتمبر 1713. <ref>{{استشهاد بكتاب|مؤلف=Eves|الأول=Howard|عنوان=An Introduction To The History of Mathematics|تاريخ=1990|ناشر=Brooks/Cole – Thomson Learning|طبعة=6th|صفحة=427}}</ref> <ref name=":4">{{استشهاد بكتاب|مؤلف=de Montmort|الأول=Pierre Remond|عنوان=Essay d'analyse sur les jeux de hazard|ناشر=[[جمعية الرياضيات الأمريكية]]|سنة=1713|طبعة=Second|مكان=Providence, Rhode Island|لغة=fr|عنوان مترجم=Essays on the analysis of games of chance|النوع=Reprinted in 2006|مؤلف-وصلة=Pierre Raymond de Montmort|isbn=978-0-8218-3781-8}} Translated by {{استشهاد بويب|عنوان=Correspondence of Nicolas Bernoulli concerning the St. Petersburg Game|مسار=http://cerebro.xu.edu/math/Sources/NBernoulli/correspondence_petersburg_game.pdf|تاريخ-الوصول=July 22, 2010|تاريخ=January 1, 2013|مؤلف=Pulskamp|الأول=Richard J|مسار-الأرشيف=https://web.archive.org/web/20210414011124/http://cerebro.xu.edu/math/Sources/NBernoulli/correspondence_petersburg_game.pdf|تاريخ-الأرشيف=April 14, 2021|url-status=dead}}</ref> ومع ذلك، فإن المفارقة تأخذ اسمها من تحليلها الذي أجراه ابن عم نيكولاس، [[دانييل برنولي|دانيال برنولي]]، المقيم السابق في [[سانت بطرسبرغ]]، والذي نشر في عام 1738 أفكاره حول المشكلة في ''تعليقات الأكاديمية الإمبراطورية للعلوم في سانت بطرسبرغ''. <ref name=":1">{{استشهاد بدورية محكمة|عنوان=Exposition of a New Theory on the Measurement of Risk|صحيفة=[[Econometrica]]|مسار=http://www.math.fau.edu/richman/Ideas/daniel.htm|مؤلف=Bernoulli|الأول=Daniel|مؤلف-وصلة=Daniel Bernoulli|تاريخ=January 1954|المجلد=22|العدد=1|صفحات=22–36|تاريخ-الوصول=2006-05-30|مرجع=CITEREFBernoulli1738|مؤلف2=originally published in 1738 ("Specimen Theorize Naval de Mensura Sortis", "Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae"); translated by Dr. Louise Sommer|جايستور=1909829|دوي=10.2307/1909829|مسار أرشيف=http://web.archive.org/web/20120722020025/http://math.fau.edu/richman/Ideas/daniel.htm|تاريخ أرشيف=2012-07-22}}</ref>

== لعبة سانت بطرسبرغ ==
يقدم الكازينو لعبة تعتمد على الحظ للاعب واحد حيث [[تقليب العملة المعدنية|تقلب عملة عادلة]] في كل مرحلة. يبدأ الرهان الأولي بمبلغ 2 دولار ويتضاعف في كل مرة يظهر فيها الذيل. عندما تظهر الرؤوس لأول مرة، تنتهي اللعبة ويفوز اللاعب أياً كان نصيبه الحالي. وبالتالي، يفوز اللاعب بمبلغ 2 دولار إذا ظهر الوجه في الرمية الأولى، و4 دولارات إذا ظهر الظهر في الرمية الأولى وظهرت الصورة في الرمية الثانية، و8 دولارات إذا ظهر الظهر في الرميتين الأوليين وظهرت الصورة في الرمية الثالثة، وهكذا. رياضيا، اللاعب يفوز <math>2^{k+1}</math> دولار، حيث <math>k</math> هو عدد رميات الذيل المتتالية. <ref name=":1" /> ما هو السعر العادل الذي يجب أن أدفعه للكازينو لدخول اللعبة؟

للإجابة على هذا السؤال، يتعين علينا أن نفكر في العائد المتوقع في كل مرحلة: مع احتمال {{كسر|1|2}}، يفوز اللاعب بمبلغ 2 دولار؛ مع احتمال {{كسر|1|4}} يفوز اللاعب بـ 4 دولارات؛ مع احتمال {{كسر|1|8}} يفوز اللاعب بـ 8 دولارات، وهكذا. بافتراض أن اللعبة يمكن أن تستمر طالما أن رمي العملة المعدنية يؤدي إلى ظهور الكتابة، وعلى وجه الخصوص، أن الكازينو لديه موارد غير محدودة، فإن [[قيمة متوقعة|القيمة المتوقعة]] هي

{{Block indent|<math>\begin{align}
  E &= \frac{1}{2}\cdot 2+\frac{1}{4}\cdot 4 + \frac{1}{8}\cdot 8 + \frac{1}{16}\cdot 16 + \cdots \\
    &= 1 + 1 + 1 + 1 + \cdots \\
    &= \infty \,.
\end{align}</math>
}}

[[دالة محدودة|ينمو هذا المبلغ بلا حدود،]] لذا فإن الفوز المتوقع هو مبلغ لا نهائي من المال.

== المفارقة ==
وبما أن الأمر لا يتعلق بشيء سوى القيمة المتوقعة للتغير الصافي في الثروة النقدية، فينبغي للمرء أن يلعب اللعبة بأي ثمن إذا أتيحت له الفرصة. ومع ذلك، ذكر [[دانييل برنولي]]، بعد وصفه للعبة برهان أولي قدره [[الذهب البندقي|دوكات]] واحد، "على الرغم من أن الحساب القياسي يُظهر أن قيمة توقعات [اللاعب] عظيمة بلا حدود، إلا أنه يجب الاعتراف بأن أي رجل عاقل إلى حد ما سيبيع فرصته، بسرور كبير، مقابل عشرين دوكات." <ref name=":1" /> وينقل روبرت مارتن عن [[إيان هاكينج]] قوله، "قليل منا سيدفع حتى 25 دولارًا للدخول في مثل هذه اللعبة"، ويقول إن معظم المعلقين يتفقون معه. <ref>{{استشهاد بموسوعة|موسوعة=The Stanford Encyclopedia of Philosophy|ناشر=Stanford University|مكان=[[ستانفورد (كاليفورنيا)]]|مسار=http://plato.stanford.edu/archives/fall2004/entries/paradox-stpetersburg/|تاريخ-الوصول=2006-05-30|مؤلف=Martin|الأول=Robert|تاريخ=Fall 2004|محرر=Zalta|محرر-الأول=Edward N.|issn=1095-5054|الفصل=The St. Petersburg Paradox|عنوان=The St. Petersburg Paradox (Stanford Encyclopedia of Philosophy/Fall 2004 Edition)<!-- عنوان مولد بالبوت -->|تاريخ الوصول=2025-03-17}}</ref> المفارقة الواضحة هي التناقض بين ما يبدو أن الناس على استعداد لدفعه لدخول اللعبة والقيمة المتوقعة اللانهائية. <ref name=":1" />

== الحلول ==
لقد تم اقتراح عدة طرق لحل هذه المفارقة.

=== نظرية المنفعة المتوقعة ===
يتضمن الحل الكلاسيكي للمفارقة إدخالًا صريحًا [[منفعة|لوظيفة المنفعة]]، [[فرضية المنفعة المتوقعة|وفرضية المنفعة المتوقعة]]، وافتراض [[منفعة حدية|تناقص المنفعة الحدية]] للمال.

وفقا لدانيال برنولي:
{{اقتباس فقرة|إن تحديد قيمة السلعة لا ينبغي أن يعتمد على السعر، بل على المنفعة التي تنتجها... لا شك أن ربح ألف دوقية أكثر أهمية للفقير منه للغني على الرغم من أن كليهما يكسب نفس المبلغ.
}}
نموذج المنفعة الشائع الذي اقترحه دانييل برنولي هو [[لوغاريتم|الدالة اللوغاريتمية]] {{تعبير رياضي|1={{var|U}}({{var|w}}) = ln({{var|w}})}} (المعروفة باسم ''المنفعة اللوغاريتمية''). إنها دالة على إجمالي ثروة المقامر {{Mvar|w}}، ومفهوم تناقص المنفعة الحدية للمال مدمج فيها. تفترض فرضية المنفعة المتوقعة وجود دالة منفعة توفر معيارًا جيدًا لسلوك الأشخاص الحقيقيين؛ أي دالة ترجع قيمة موجبة أو سالبة تشير إلى ما إذا كان الرهان مخاطرة جيدة. بالنسبة لكل حدث محتمل، سيتم ترجيح التغير في المنفعة {{تعبير رياضي|ln(الثروة بعد الحدث)&nbsp;−&nbsp;ln(الثروة قبل الحدث)}} باحتمالية وقوع هذا الحدث. ليكن {{Mvar|c}} هو التكلفة المفروضة لدخول اللعبة. تتقارب الآن المنفعة المتزايدة المتوقعة لليانصيب إلى قيمة محدودة:
{{Block indent|<math>\Delta E(U) = \sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{2^k}\left[\ln\left(w + 2^k - c\right) - \ln(w)\right] < +\infty \,.</math>
}}
تعطي هذه الصيغة علاقة ضمنية بين ثروة المقامر والمبلغ الذي ينبغي أن يكون على استعداد لدفعه (على وجه التحديد، أي {{Mvar|c}} يعطي تغييرًا إيجابيًا في المنفعة المتوقعة). على سبيل المثال، مع المرافق السجلية الطبيعية، يجب أن يكون [[مليونير|المليونير]] (1,000,000 دولار) على استعداد لدفع ما يصل إلى 20.88 دولارًا، ويجب على الشخص الذي لديه 1,000 دولار أن يدفع ما يصل إلى 10.95 دولارًا، ويجب على الشخص الذي لديه دولاران أن يقترض 1.35 دولارًا ويدفع ما يصل إلى 3.35 دولارًا.

قبل نشر دانييل برنولي عام 1738، كان عالم الرياضيات [[غابرييل كرامر|جابرييل كرامر]] من [[كانتون جنيف|جنيف]] قد وجد بالفعل في عام 1728 أجزاء من هذه الفكرة (التي كانت مدفوعة أيضًا بمفارقة سانت بطرسبرغ)، حيث صرح بأن
{{اقتباس فقرة|يقدّر الرياضيون المال بناءً على كميته، بينما يقدّره العقلاء بناءً على كيفية استخدامه.
}}
وقد أثبت في رسالة إلى نيكولاس برنولي <ref>Xavier University Computer Science. [http://cerebro.xu.edu/math/Sources/NBernoulli/correspondence_petersburg_game.pdf correspondence_petersburg_game.pdf Nicolas Bernoulli] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150501234331/http://cerebro.xu.edu/math/Sources/NBernoulli/correspondence_petersburg_game.pdf|date=May 1, 2015}}</ref> أن دالة الجذر التربيعي التي تصف الفائدة الهامشية المتناقصة للمكاسب يمكن أن تحل المشكلة. ومع ذلك، وعلى عكس دانييل برنولي، فإنه لم يأخذ في الاعتبار إجمالي ثروة الشخص، بل فقط المكاسب التي يحققها من اليانصيب.

مع ذلك، فإن حل كرامر وبرنولي ليس مُرضيًا تمامًا، إذ يُمكن تغيير اليانصيب بسهولة بحيث تظهر المفارقة مجددًا. ولتحقيق هذا الهدف، يكفي تغيير اللعبة بحيث تُعطي مكاسب متزايدة بوتيرة أسرع. لأي دالة منفعة غير محدودة، يُمكن إيجاد يانصيب يسمح بنوع من مفارقة سانت بطرسبرغ، كما أشار مينجر لأول مرة.<ref>{{استشهاد بدورية محكمة|عنوان=Das Unsicherheitsmoment in der Wertlehre Betrachtungen im Anschluß an das sogenannte Petersburger Spiel|عنوان مترجم=The element of uncertainty in value theory: Reflections on the so-called St Petersburg game|صحيفة=[[Zeitschrift für Nationalökonomie]]|الأخير=Menger|الأول=Karl|مؤلف-وصلة=Karl Menger|تاريخ=August 1934|لغة=de|المجلد=5|العدد=4|صفحات=459–485|issn=0931-8658|s2cid=151290589|doi=10.1007/BF01311578}}</ref>

في الآونة الأخيرة، تم توسيع نظرية المنفعة المتوقعة للوصول إلى المزيد من [[اقتصاد سلوكي|نماذج القرار السلوكي]]. في بعض هذه النظريات الجديدة، كما هو الحال في [[نظرية الاحتمالية التراكمية|نظرية الاحتمال التراكمي]]، تظهر مفارقة سانت بطرسبرغ مرة أخرى في حالات معينة، حتى عندما تكون دالة المنفعة مقعرة، ولكن ليس إذا كانت محدودة. <ref>{{استشهاد بدورية محكمة|عنوان=Cumulative prospect theory and the St. Petersburg paradox|صحيفة=[[Economic Theory (journal)|Economic Theory]]|مسار=https://ub-madoc.bib.uni-mannheim.de/2714/1/dp04_28.pdf|مؤلف=Rieger|الأول=Marc Oliver|تاريخ=August 2006|المجلد=28|العدد=3|صفحات=665–679|مؤلف2=Wang|issn=0938-2259|hdl-access=free|الأول2=Mei|مؤلف2-وصلة=Mei Wang|hdl=20.500.11850/32060|s2cid=790082|دوي=10.1007/s00199-005-0641-6|مسار أرشيف=http://web.archive.org/web/20170923011846/https://ub-madoc.bib.uni-mannheim.de/2714/1/dp04_28.pdf|تاريخ أرشيف=2017-09-23}} ([http://www.sfb504.uni-mannheim.de/publications/dp04-28.pdf Publicly accessible, older version.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20060604235233/http://www.sfb504.uni-mannheim.de/publications/dp04-28.pdf|date=June 4, 2006}})</ref>

=== ترجيح الاحتمالات ===
وقد اقترح نيكولاس برنولي بنفسه فكرة بديلة لحل هذه المفارقة. لقد افترض أن الناس سيهملون الأحداث غير المحتملة. <ref name=":4" /> وبما أنه في يانصيب سانت بطرسبرغ، فإن الأحداث غير المحتملة فقط هي التي تؤدي إلى جوائز عالية تؤدي إلى قيمة متوقعة لا نهائية، وهذا من شأنه أن يحل المفارقة. عادت فكرة ترجيح الاحتمالات إلى الظهور في وقت لاحق في العمل على [[نظرية احتمالية|نظرية التوقعات]] التي أجراها [[دانيال كانمان|دانييل كانيمان]] [[عاموس تفيرسكي|وعاموس تفيرسكي]]. وبالمثل، كتب بول ويريتش أن تجنب المخاطرة قد يحل هذه المفارقة. واصل ويريتش الكتابة بأن زيادة الجائزة تقلل في الواقع من فرصة قيام شخص ما بالدفع للعب اللعبة، حيث صرح "هناك عدد من [[wiktionary:a bird in the hand is worth two in the bush|الطيور في اليد]] يساوي أكثر من أي عدد من الطيور في الشجرة". <ref>{{استشهاد بويب|عنوان=The St. Petersburg Paradox|مسار=https://stanford.library.sydney.edu.au/archives/sum2008/entries/paradox-stpetersburg/|ناشر=Stanford University|صحيفة=Stanford Library|مؤلف=Martin|الأول=R. M.}}</ref> <ref name=":7">{{استشهاد بموسوعة|موسوعة=Stanford Encyclopedia of Philosophy|مسار=https://plato.stanford.edu/archives/fall2020/entries/paradox-stpetersburg/|تاريخ-الوصول=March 24, 2021|مؤلف=Peterson|الأول=Martin|تاريخ=July 30, 2019|orig-date=July 30, 2019|محرر=Edward N. Zalta|طبعة=Fall 2020|الفصل=The St. Petersburg Paradox|عنوان=The St. Petersburg Paradox<!-- عنوان مولد بالبوت -->|تاريخ الوصول=2025-03-17}}</ref> لكن بعض المنظرين رفضوا ذلك، لأن بعض الناس، كما يشيرون، يستمتعون بمخاطرة المقامرة، ولأنه من غير المنطقي أن نفترض أن زيادة الجائزة ستؤدي إلى المزيد من المخاطر.

[[نظرية الاحتمالية التراكمية|نظرية التوقعات التراكمية]] هي أحد التعميمات الشائعة [[فرضية المنفعة المتوقعة|لنظرية المنفعة المتوقعة]] التي يمكنها التنبؤ بالعديد من الانتظامات السلوكية. <ref name=":5">{{استشهاد بدورية محكمة|عنوان=Advances in prospect theory: Cumulative representation of uncertainty|صحيفة=[[Journal of Risk and Uncertainty]]|مؤلف=Tversky|الأول=Amos|سنة=1992|المجلد=5|العدد=4|صفحات=297–323|مؤلف2=Kahneman|s2cid=8456150|دوي=10.1007/bf00122574}}</ref> ومع ذلك، فإن المبالغة في وزن الأحداث ذات الاحتمالية الصغيرة التي تم إدخالها في نظرية الاحتمالات التراكمية قد تعيد إحياء مفارقة سانت بطرسبرغ. تتجنب نظرية الاحتمالات التراكمية مفارقة سانت بطرسبرغ فقط عندما يكون معامل القدرة لدالة [[منفعة|المنفعة]] أقل من معامل القدرة لدالة ترجيح الاحتمالية. <ref>{{استشهاد بدورية محكمة|عنوان=Back to the St. Petersburg Paradox?|صحيفة=[[Management Science (journal)|Management Science]]|مسار=http://www.cerge-ei.cz/pdf/wp/Wp227.pdf|مؤلف=Blavatskyy|الأول=Pavlo|تاريخ=April 2005|المجلد=51|العدد=4|صفحات=677–678|دوي=10.1287/mnsc.1040.0352|مسار أرشيف=http://web.archive.org/web/20240814043502/https://cerge-ei.cz/pdf/wp/Wp227.pdf|تاريخ أرشيف=2024-08-14}}</ref> من الناحية البديهية، لا ينبغي لدالة المنفعة أن تكون مقعرة فحسب، بل يجب أن تكون مقعرة بالنسبة لدالة ترجيح الاحتمال لتجنب مفارقة سانت بطرسبرغ. يمكن للمرء أن يزعم أن الصيغ الخاصة بنظرية التوقعات تم الحصول عليها في حدود أقل من 400 دولار. <ref name=":5" /> لا ينطبق هذا على المبالغ المتزايدة بلا حدود في مفارقة سانت بطرسبرغ.

=== يانصيب سانت بطرسبرغ المحدود ===
تفترض لعبة سانت بطرسبرغ الكلاسيكية أن الكازينو أو المصرفي لديه موارد لا حصر لها. لقد تم التشكيك في هذا الافتراض منذ فترة طويلة باعتباره غير واقعي. <ref name="jeffery154">{{استشهاد بكتاب|مؤلف=Jeffrey|الأول=Richard C.|مسار=https://books.google.com/books?id=geJ-SwTcmyEC|عنوان=The Logic of Decision|ناشر=University of Chicago Press|سنة=1990|طبعة=2|صفحات=[https://books.google.com/books?id=geJ-SwTcmyEC&lpg=PR1&pg=PA154 154]|اقتباس=[O]ur rebuttal of the St. Petersburg paradox consists in the remark that anyone who offers to let the agent play the St. Petersburg game is a liar for he is pretending to have an indefinitely large bank.|مؤلف-وصلة=Richard Jeffrey|isbn=9780226395821|مسار أرشيف=http://web.archive.org/web/20230220234447/https://books.google.com/books?id=geJ-SwTcmyEC|تاريخ أرشيف=2023-02-20}}</ref> أشار أليكسيس فونتين دي بيرتينز في عام 1754 إلى أن موارد أي داعم محتمل للعبة محدودة. <ref>{{استشهاد بدورية محكمة|عنوان=Solution d'un problème sur les jeux de hasard|عنوان مترجم=Solution to a problem about gambling games|صحيفة=Mémoires donnés à l'Académie Royale des Sciences|مؤلف=Fontaine|الأول=Alexix|سنة=1764|صفحات=429–431}} cited in Dutka, 1988</ref> والأمر الأكثر أهمية هو أن القيمة المتوقعة للعبة تنمو بشكل لوغاريتمي مع موارد الكازينو. ونتيجة لذلك، فإن القيمة المتوقعة للعبة، حتى عند لعبها ضد كازينو يتمتع بأكبر رصيد مالي يمكن تصوره بشكل واقعي، متواضعة للغاية. في عام 1777، حسب [[جورج دي بوفون|جورج لويس ليكلير، كونت دي بوفون،]] أنه بعد 29 جولة من اللعب لن يكون هناك ما يكفي من المال في مملكة فرنسا لتغطية الرهان. <ref name=":8">{{استشهاد بدورية محكمة|عنوان=Essai d'Arithmétique Morale|صحيفة=Supplements a l'Histoire Naturelle|مؤلف=Buffon|الأول=G. L. L.|سنة=1777|المجلد=IV|صفحات=46–14}} Reprinted in ''Oeuvres Philosophiques de Buffon'', Paris, 1906, cited in Dutka, 1988</ref>

إذا كانت موارد الكازينو محدودة، فيجب أن تنتهي اللعبة بمجرد استنفاد تلك الموارد. <ref name="jeffery154" /> لنفترض أن إجمالي الموارد (أو الحد الأقصى للجائزة الكبرى) للكازينو هو ''W'' دولار (بشكل عام، يتم قياس ''W'' بوحدات نصف الرهان الأولي للعبة). وبالتالي فإن الحد الأقصى لعدد المرات التي يمكن للكازينو اللعب فيها قبل أن يصبح غير قادر على تغطية الرهان التالي بالكامل هو ''L = ⌊log2(W)⌋''. <ref name=":3">{{استشهاد بدورية محكمة|عنوان=On the St. Petersburg Paradox|صحيفة=Archive for History of Exact Sciences|مسار=https://www.jstor.org/stable/41133842|مؤلف=Dutka|الأول=Jacques|سنة=1988|المجلد=39|العدد=1|صفحات=13–39|تاريخ-الوصول=March 23, 2021|جايستور=41133842|s2cid=121413446|دوي=10.1007/BF00329984|مسار أرشيف=http://web.archive.org/web/20240411204830/https://www.jstor.org/stable/41133842|تاريخ أرشيف=2024-04-11}}</ref> {{Refn|The notation {{تعبير رياضي|1= {{floor|X}}}} indicates the [[floor function]], the largest integer less than or equal to ''X''.}} بافتراض أن اللعبة تنتهي عندما لا يتمكن الكازينو من تغطية الرهان، فإن القيمة المتوقعة ''E'' لليانصيب تصبح بعد ذلك: <ref name=":3" />

: <math>\begin{align}
 E &= \sum_{k=1}^{L} \frac{1}{2^k} \cdot 2^k = L\,.
\end{align}</math>

يوضح الجدول التالي القيمة المتوقعة ''E'' للعبة مع العديد من المصرفيين المحتملين ورصيدهم ''W'' :
{| class="wikitable" style="text-align:right;"
!المصرفي
! رأس المال
! القيمة المتوقعة<br /> من لعبة واحدة
|-
| align="right" | مليونير
| 1,050,000 دولار
| 20 دولارًا
|-
| align="right" | ملياردير
| 1,075,000,000 دولار
| 30 دولارًا
|-
| align="right" | [[قائمة الدول حسب الناتج المحلي الإجمالي|الناتج المحلي الإجمالي للولايات المتحدة]] (2020) 
| 20.8 تريليون دولار
| 44 دولارًا
|-
| align="right" | [[قائمة الدول حسب الناتج المحلي الإجمالي|الناتج المحلي الإجمالي العالمي (2020)]] <ref name="imf" />
| 83.8 تريليون دولار
| 46 دولارًا
|-
| align="right" | ملياردير-ملياردير 
| 10 <sup>18</sup> دولارًا
| 59 دولارًا
|-
| align="right" | [[عدد إدنغتون|الذرات في الكون]] <ref>{{استشهاد بويب|عنوان=Notable Properties of Specific Numbers (page 19) at MROB|مسار=http://mrob.com/pub/math/numbers-19.html}}</ref>
| ~10 <sup>80</sup> دولارًا
| 266 دولارًا
|-
| align="right" | [[جوجول|جوجليونير]]
| 10 <sup>100</sup> دولار
| 332 دولارًا
|}
'''ملاحظة:''' وفقًا لقواعد اللعبة التي تنص على أنه إذا فاز اللاعب بمبلغ أكبر من رصيد الكازينو، فسيتم دفع كل ما يملكه الكازينو إليه، وتكون القيمة الإضافية المتوقعة أقل مما كانت ستكون عليه إذا كان لدى الكازينو أموال كافية لتغطية جولة أخرى، أي أقل من 1 دولار. لكي يفوز اللاعب {{Mvar|W}} يجب أن يُسمح له باللعب بجولة {{تعبير رياضي|{{var|L}}+1}} . وبالتالي فإن القيمة الإضافية المتوقعة هي {{تعبير رياضي|{{var|W}}/2{{sup|{{var|L}}+1}}}}.

إن فرضية الموارد اللانهائية تنتج مجموعة متنوعة من المفارقات الواضحة في الاقتصاد. في نظام المراهنة مارتينجال، يقوم المقامر الذي يراهن على عملة معدنية ملقاة بمضاعفة رهانه بعد كل خسارة بحيث يغطي الفوز النهائي جميع الخسائر؛ يفشل هذا النظام مع أي رصيد بنكي محدود. يُظهر مفهوم خراب المقامر أن المقامر المثابر الذي يرفع رهانه إلى جزء ثابت من رصيده المصرفي عندما يفوز، لكنه لا يقلل رهانه عندما يخسر، سوف يفلس في النهاية وبشكل حتمي - حتى لو كانت اللعبة ذات [[قيمة متوقعة]] إيجابية.

=== تجاهل الأحداث ذات الاحتمالية الصغيرة ===
زعم بوفون <ref name="مولد تلقائيا1">{{استشهاد بدورية محكمة|عنوان=Essai d'Arithmétique Morale|صحيفة=Supplements a l'Histoire Naturelle|مؤلف=Buffon|الأول=G. L. L.|سنة=1777|المجلد=IV|صفحات=46–14}}<cite class="citation journal cs1" data-ve-ignore="true" id="CITEREFBuffon1777">Buffon, G. L. L. (1777). "Essai d'Arithmétique Morale". ''Supplements a l'Histoire Naturelle''. '''IV''': <span class="nowrap">46–</span>14.</cite> Reprinted in ''Oeuvres Philosophiques de Buffon'', Paris, 1906, cited in Dutka, 1988</ref> أن نظرية السلوك العقلاني يجب أن تتوافق مع ما قد يفعله صانع القرار العقلاني في الحياة الواقعية، وبما أن العقلاء يتجاهلون بانتظام الأحداث التي من غير المرجح حدوثها بدرجة كافية، فيجب على صانع القرار العقلاني أيضًا تجاهل مثل هذه الأحداث النادرة.

ولتقدير عتبة التجاهل، زعم أنه بما أن رجلاً يبلغ من العمر 56 عاماً يتجاهل إمكانية الوفاة في الساعات الأربع والعشرين القادمة، والتي كان احتمال حدوثها 1/10189 وفقاً [[جدول الحياة|لجداول الوفيات]] في ذلك اليوم، فإن الأحداث التي يكون احتمال حدوثها أقل من 1/10000 يمكن تجاهلها. بافتراض ذلك، فإن لعبة سانت بطرسبرغ لها مكافأة متوقعة قدرها <math>\sum_{k=1}^{13} 2^k\frac{1}{2^k} = 13</math>.

=== رفض التوقعات الرياضية ===
لقد رفض العديد من المؤلفين، بما في ذلك [[جان لو رون دالمبير|جان لو روند دالمبير]] [[جون مينارد كينز|وجون ماينارد كينز]]، تعظيم التوقعات (حتى المنفعة) كقاعدة سليمة للسلوك.   أصر كينز، على وجه الخصوص، على أن [[تجنب المخاطر|المخاطر النسبية]] قد تكون قيمة البديل مرتفعة بدرجة كافية لرفضه حتى لو كانت توقعاته هائلة. <ref name=":6" /> وفي الآونة الأخيرة اقترح بعض الباحثين استبدال القيمة المتوقعة [[وسيط (إحصاء)|بالمتوسط]] باعتباره القيمة العادلة. <ref>{{استشهاد بدورية محكمة|عنوان=The mean, the median, and the St. Petersburg paradox|صحيفة=Judgment and Decision Making|مؤلف=Hayden|الأول=B.|سنة=2009|المجلد=4|العدد=4|صفحات=256–272|مؤلف2=Platt|الأول2=M.|ببمد_سنترال=3811154|pmid=24179560|دوي=10.1017/S1930297500003831}}</ref> <ref>{{استشهاد بدورية محكمة|عنوان=The median-based resolution of the St. Petersburg paradox|صحيفة=Physics Letters A|مؤلف=Okabe|الأول=T.|سنة=2019|المجلد=383|العدد=26|صفحة=125838|مؤلف2=Nii|مؤلف3=Yoshimura|الأول2=M.|الأول3=J.|بيب_كود=2019PhLA..38325838O|s2cid=199124414|دوي=10.1016/j.physleta.2019.125838}}</ref>

=== إرجودية ===
تم طرح قرار مبكر يحتوي على الحجج الرياضية الأساسية التي تفترض ديناميكيات مضاعفة في عام 1870 من قبل ويليام ألين وايتورث. <ref>{{استشهاد بكتاب|مؤلف=Whitworth|الأول=William Allen|عنوان=Choice and Chance|تاريخ=1870|ناشر=Deighton Bell|طبعة=2|مكان=London}}</ref> تم إجراء رابط صريح لمشكلة التناسق الحركي بواسطة بيترز في عام 2011. <ref name="Peters2011a">{{استشهاد بدورية محكمة|عنوان=The time resolution of the St Petersburg paradox|صحيفة=[[المداولات الفلسفية للجمعية الملكية]]|مؤلف=Peters|الأول=Ole|سنة=2011a|المجلد=369|العدد=1956|صفحات=4913–4931|أرخايف=1011.4404|ببمد_سنترال=3270388|بيب_كود=2011RSPTA.369.4913P|pmid=22042904|دوي=10.1098/rsta.2011.0065}}</ref> هذه الحلول مماثلة رياضيا لاستخدام معيار كيلي أو الأداة اللوغاريتمية. يمكن أن تتوافق الديناميكيات العامة التي تتجاوز الحالة المضاعفة البحتة مع وظائف المنفعة غير اللوغاريتمية، كما أشار كار وتشيروبيني في عام 2020. <ref>{{استشهاد بدورية محكمة|عنوان=Generalized Compounding and Growth Optimal Portfolios: Reconciling Kelly and Samuelson|صحيفة=SSRN|مؤلف=Carr|الأول=Peter|سنة=2020|مؤلف2=Cherubini|الأول2=Umberto|s2cid=219384143|دوي=10.2139/ssrn.3529729}}</ref>

== المناقشات الأخيرة ==

=== فيلر ===
وقد اقترح [[وليم فيلر|ويليام فيلر]] حلاً يتضمن أخذ العينات. <ref name=":0">{{استشهاد بكتاب|مؤلف=Feller|الأول=William|عنوان=An Introduction to Probability Theory and its Applications Volume I, II|ناشر=Wiley|سنة=1968|مؤلف-وصلة=William Feller|isbn=978-0471257080}}</ref> وبشكل بديهي، فإن إجابة فيلر هي "تنفيذ هذه اللعبة مع عدد كبير من الأشخاص وحساب القيمة المتوقعة من استخراج العينة". في هذه الطريقة، عندما تكون الألعاب ممكنة لعدد لا نهائي من المرات، فإن القيمة المتوقعة ستكون لا نهائية، وفي حالة العدد المحدود، فإن القيمة المتوقعة ستكون قيمة أصغر بكثير.

=== صامويلسون ===
يقوم [[بول سامويلسون|بول صامويلسون]] بحل المفارقة <ref>{{استشهاد بدورية محكمة|عنوان=The St. Petersburg Paradox as a Divergent Double Limit|صحيفة=[[International Economic Review]]|مؤلف=Samuelson|الأول=Paul|تاريخ=January 1960|المجلد=1|العدد=1|صفحات=31–37|جايستور=2525406|دوي=10.2307/2525406}}</ref> من خلال القول بأنه حتى لو كان لدى الكيان موارد غير محدودة، فلن يتم تقديم اللعبة أبدًا. إذا كان اليانصيب يمثل ربحًا غير محدود متوقعًا للاعب، فإنه يمثل أيضًا خسارة غير محدودة متوقعة للمضيف. لم يكن من الممكن رؤية أي شخص يدفع مقابل لعب اللعبة لأنه لن يتم تقديمها أبدًا. وكما لخص صامويلسون الحجة، "لن يكون بولس مستعدًا أبدًا لإعطاء ما سيطلبه بطرس مقابل مثل هذا العقد؛ وبالتالي فإن النشاط المشار إليه سيحدث عند مستوى التوازن من الكثافة الصفرية".

=== المتغيرات ===
تم اقتراح العديد من المتغيرات للعبة سانت بطرسبرغ لمواجهة الحلول المقترحة للعبة. <ref name="مولد تلقائيا2">{{استشهاد بموسوعة|موسوعة=Stanford Encyclopedia of Philosophy|مسار=https://plato.stanford.edu/archives/fall2020/entries/paradox-stpetersburg/|تاريخ-الوصول=March 24, 2021|مؤلف=Peterson|الأول=Martin|تاريخ=July 30, 2019|orig-date=July 30, 2019|محرر=Edward N. Zalta|طبعة=Fall 2020|الفصل=The St. Petersburg Paradox|عنوان=The St. Petersburg Paradox<!-- عنوان مولد بالبوت -->|تاريخ الوصول=2025-03-17}}<cite class="citation encyclopaedia cs1" data-ve-ignore="true" id="CITEREFPeterson2019">Peterson, Martin (July 30, 2019) [July 30, 2019]. [https://plato.stanford.edu/archives/fall2020/entries/paradox-stpetersburg/ "The St. Petersburg Paradox"]. In Edward N. Zalta (ed.). ''Stanford Encyclopedia of Philosophy'' (Fall 2020&nbsp;ed.)<span class="reference-accessdate">. Retrieved <span class="nowrap">March 24,</span> 2021</span>.</cite></ref>

على سبيل المثال، "لعبة باسادينا": <ref>{{استشهاد بدورية محكمة|عنوان=Vexing Expectations|صحيفة=Mind|مسار=http://dx.doi.org/10.1093/mind/113.450.237|مؤلف=Nover|الأول=H.|تاريخ=2004-04-01|المجلد=113|العدد=450|صفحات=237–249|issn=0026-4423|دوي=10.1093/mind/113.450.237}}</ref> دع <math>n</math> يكون عدد مرات رمي العملة المعدنية؛ إذا كان <math>n</math> فردي يكسب اللاعب وحدات من <math>\frac{2^n}{n}</math>؛ وإلا يخسر اللاعب <math>\frac{2^n}{n}</math> وحدات المنفعة. الفائدة المتوقعة من اللعبة هي <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \ln 2</math> . ومع ذلك، بما أن المجموع ليس متقاربًا بشكل مطلق، فمن الممكن إعادة ترتيبه ليصبح مجموعًا لأي رقم، بما في ذلك اللانهاية الموجبة أو السالبة. ويشير هذا إلى أن الفائدة المتوقعة من لعبة باسادينا تعتمد على ترتيب الجمع، ولكن نظرية القرار القياسية لا تقدم طريقة مبدئية لاختيار ترتيب الجمع.

=== استخدام نماذج صنع القرار المستخدمة في التداول الكمي ===
إن أحد الأساليب التي تجتذب قدرًا كبيرًا من الاهتمام في حل مفارقة سانت بطرسبرغ هو استخدام معلمة مرتبطة بالجانب المعرفي للاستراتيجية. تم تطوير هذا النهج من خلال دراسة الأنظمة غير المستقرة في التمويل. هناك الكثير من الأبحاث حول عدم ثبات الأسواق المالية.  

من الناحية الإحصائية، فإن معرفة ظاهرة ما تؤدي إلى زيادة احتمال التنبؤ بها. في الممارسة العملية، لا يمكن إعادة إنتاج النتائج التي تم إنشاؤها بواسطة خوارزمية التنبؤ غير العشوائية، والتي تنفذ معلومات مفيدة، بشكل عشوائي (يميل الاحتمال إلى الصفر مع زيادة عدد التنبؤات المقدمة). وبالتالي، لفهم ما إذا كانت الاستراتيجية تعمل بشكل إدراكي أو عشوائي، نحتاج فقط إلى حساب احتمال الحصول على نتيجة مساوية أو أفضل بشكل عشوائي. وفي حالة مفارقة سانت بطرسبرغ، تمت مقارنة استراتيجية المضاعفة باستراتيجية الرهان الثابت التي كانت عشوائية تمامًا ولكنها متكافئة من حيث القيمة الإجمالية للرهانات. ومن خلال هذه المقارنة، يتبين أن استراتيجية الرهان الثابت العشوائي تحقق نتائج أفضل باحتمالية تميل إلى 50% مع زيادة عدد الرهانات. إذا استغلت استراتيجية المضاعفة بعض المعلومات المفيدة حول النظام، فإن هذا الاحتمال يجب أن يتجه نحو الصفر بدلاً من التقارب إلى 50%. وهذا يدل على أن هذه الاستراتيجية لا تستخدم أي معلومات مفيدة.

ومن وجهة النظر هذه، تعلمنا مفارقة سانت بطرسبرغ أن المكسب المتوقع الذي يتجه نحو اللانهاية لا يعني دائماً وجود استراتيجية معرفية وغير عشوائية. وبالتالي، من وجهة نظر اتخاذ القرار، يمكننا إنشاء تسلسل هرمي من القيم، حيث تصبح المعرفة أكثر أهمية من المكسب المتوقع.

== انظر أيضا ==

* [[نمو أسي|النمو الأسّي]]
* [[قائمة المفارقات]]
* [[سرقة باسكال]]
* مسألة المظروفين
* [[مفارقات زينون|مفارقات زينو]]

== مراجع ==
{{مراجع|30em}}

== قراءة إضافية ==

* {{استشهاد بدورية محكمة|عنوان=The use of unbounded utility functions in expected-utility maximization: Response|صحيفة=[[Quarterly Journal of Economics]]|مسار=https://ideas.repec.org/a/oup/qjecon/v88y1974i1p136-138..html|مؤلف=Arrow|الأول=Kenneth J.|مؤلف-وصلة=Kenneth Arrow|صيغة=PDF|تاريخ=February 1974|المجلد=88|العدد=1|صفحات=136–138|جايستور=1881800|دوي=10.2307/1881800|مسار أرشيف=http://web.archive.org/web/20250120172855/https://ideas.repec.org/a/oup/qjecon/v88y1974i1p136-138..html|تاريخ أرشيف=2025-01-20}}
* {{استشهاد بدورية محكمة|عنوان=The St. Petersburg paradox: A discussion of some recent comments|صحيفة={{Ill-WD2|مجلة النظرية الاقتصادية|id=Q841713}}|مؤلف=Aumann|الأول=Robert J.|مؤلف-وصلة=Robert Aumann|تاريخ=April 1977|المجلد=14|العدد=2|صفحات=443–445|دوي=10.1016/0022-0531(77)90143-0}}
* {{استشهاد بدورية محكمة|عنوان=Decision Making And Saint Petersburg Paradox: Focusing On Heuristic Parameters, Considering The Non-Ergodic Context And The Gambling Risks|صحيفة=[[Rivista italiana di economia demografia e statistica]]|مسار=https://EconPapers.repec.org/RePEc:ite:iteeco:160406|مؤلف=Cappiello|الأول=Antonio|سنة=2016|المجلد=70|العدد=4|صفحات=147–158|المعرف=RePEc:ite:iteeco:160406|issn=0035-6832}}
* {{استشهاد بدورية محكمة|عنوان=Growth Stocks and the Petersburg Paradox|صحيفة=[[The Journal of Finance]]|مؤلف=Durand|الأول=David|تاريخ=September 1957|المجلد=12|العدد=3|صفحات=348&ndash;363|جايستور=2976852|دوي=10.2307/2976852}}
* {{استشهاد بكتاب|مؤلف=Haigh|الأول=John|مسار=https://archive.org/details/takingchanceswin0000haig|عنوان=Taking Chances|ناشر=Oxford University Press|سنة=1999|مكان=Oxford, UK|صفحات=[https://archive.org/details/takingchanceswin0000haig/page/330 330]|التسجيل=registration|isbn=978-0198526636}}(Chapter 4)
* {{استشهاد بكتاب|مؤلف=Jeffrey|الأول=Richard C.|عنوان=The Logic of Decision|ناشر=University of Chicago Press|سنة=1983|طبعة=2|مكان=Chicago}}
* {{استشهاد بكتاب|مؤلف=Laplace|الأول=Pierre Simon|مسار={{كتب جوجل|id=6MRLAAAAMAAJ|plainurl=yes}}|عنوان=Théorie analytique des probabilités|ناشر=[[Ve. Courcier]]|سنة=1814|طبعة=Second|مكان=Paris|لغة=fr|عنوان مترجم=Analytical theory of probabilities|مؤلف-وصلة=Pierre Simon de Laplace}}
* {{استشهاد بأرخايف|أرخايف=1110.1578|صنف=q-fin.RM|مؤلف=Peters|الأول=Ole|عنوان=Menger 1934 revisited|تاريخ=October 2011b}}
* {{استشهاد بدورية محكمة|عنوان=Evaluating gambles using dynamics|صحيفة=[[Chaos (journal)|Chaos]]|مؤلف=Peters|الأول=Ole|سنة=2016|المجلد=26|العدد=2|صفحات=023103|مؤلف2=Gell-Mann|الأول2=Murray|أرخايف=1405.0585|بيب_كود=2016Chaos..26b3103P|s2cid=9726238|pmid=26931584|دوي=10.1063/1.4940236}}
* {{استشهاد بدورية محكمة|عنوان=St. Petersburg Paradoxes: Defanged, Dissected, and Historically Described|صحيفة=[[مجلة الأدب الاقتصادي]]|مؤلف=Samuelson|الأول=Paul|مؤلف-وصلة=Paul Samuelson|تاريخ=March 1977|المجلد=15|العدد=1|صفحات=24–55|جايستور=2722712}}
* {{استشهاد بكتاب|مؤلف=Sen|الأول=P.K.|عنوان=Large Sample Methods in Statistics. An Introduction with Applications|ناشر=Springer|سنة=1993|مكان=New York|مؤلف2=Singer|الأول2=J.M.|isbn=978-0412042218}}
* {{استشهاد بكتاب|مؤلف=Todhunter|الأول=Isaac|مسار=https://archive.org/details/b24863026|عنوان=A history of the mathematical theory of probabilities|ناشر=[[Macmillan & Co]]|سنة=1865|مؤلف-وصلة=Isaac Todhunter}}
* {{استشهاد بويب|عنوان=Bernoulli and the St. Petersburg Paradox|مسار=http://cepa.newschool.edu/het/essays/uncert/bernoulhyp.htm|ناشر=[[The New School for Social Research]], New York|تاريخ-الوصول=2006-05-30|صحيفة=The History of Economic Thought|مسار-الأرشيف=https://web.archive.org/web/20060618001719/http://cepa.newschool.edu/het/essays/uncert/bernoulhyp.htm|تاريخ-الأرشيف=June 18, 2006|url-status=dead|df=mdy-all}}

== روابط خارجية ==

* [http://www.mathematik.com/Petersburg/Petersburg.html محاكاة عبر الإنترنت ليانصيب سانت بطرسبرغ]
{{المفارقات}}
{{شريط بوابات|إحصاء|الاقتصاد|منطق}}
{{DEFAULTSORT:Saint Petersburg paradox}}
[[تصنيف:مفارقات اللانهاية]]
[[تصنيف:تقليب العملة المعدنية]]
[[تصنيف:مفارقات نظرية الاحتمالات]]
[[تصنيف:اقتصاد رياضي]]
[[تصنيف:تمويل سلوكي]]
[[تصنيف:صفحات بترجمات غير مراجعة]]