عرض مصدر معضلة بازل

{{شريط جانبي الثابت باي}}
'''مسألة بازل''' أو '''معضلة بازل''' هي مسألة في [[تحليل رياضي|التحليل الرياضي]] ذات صلة [[نظرية الأعداد|بنظرية الأعداد]]. طرحها [[بييترو منغولي|بترو منجولي]] عام {{بحاجة لمصدر|1644}} وحلها
[[ليونهارت أويلر|ليونارد أويلر]] في عام 1734.<ref>{{استشهاد بدورية محكمة|الأخير=Ayoub|الأول=Raymond|عنوان=Euler and the zeta function|صحيفة=Amer. Math. Monthly|المجلد=81|سنة=1974|صفحات=1067–86|مسار= https://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/euler-and-the-zeta-function|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20190814233022/https://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/euler-and-the-zeta-function|تاريخ أرشيف=2019-08-14}}</ref> وقد عَرض الحل في 5 ديسمبر 1735 في [[الأكاديمية الروسية للعلوم|أكاديمية سانت بطرسبرغ للعلوم]].<ref>[http://eulerarchive.maa.org/pages/E041.html E41 – De summis serierum reciprocarum] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180325201658/http://eulerarchive.maa.org/pages/E041.html |date=25 مارس 2018}}</ref> صمدَت المسألة ضد هجمات علماء الرياضيات البارزين في ذلك العصر. حل [[ليونهارت أويلر|أويلر]] جلب له شهرة فورية وعمره لم يكن يتجاوز الثامنة والعشرين.
قام [[ليونهارت أويلر|أويلر]] بتعميم طريقة حله، وقد أخذ [[برنارد ريمان]] أفكاره لاحقًا بسنوات في بحثه المنشور عام 1859 بعنوان [[حول عدد الأعداد الأولية الأصغر من عدد ما]]، والذي حدد فيه [[قائمة دوال زيتا|دالة زيتا]] وأثبت خصائصها الأساسية.
سميت المسألة بـ'''معضلة بازل''' نسبة إلى المدينة السويسرية [[بازل]]، مسقط رأس أويلر والمدينة التي عاشت فيها [[عائلة برنولي]] الذين هاجموا المسألة بلا جدوى.

تطالب مسألة بازل بحاصل الجمع الدقيق [[مقلوب عدد|لمقلوبات]] مربعات [[عدد طبيعي|الأعداد الطبيعية]]، أي حاصل جمع [[متسلسلة (رياضيات)|المتسلسلة اللا نهائية]]:

:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots</math> .

حاصل الجمع التقريبي لهذه المسألة هو '''1.644934'''،<ref>{{Cite OEIS|1=A013661}}</ref> ولكن المطلوب هو إيجاد حاصل الجمع الدقيق للمتسلسلة بصورة مبسطة (أي ب[[تعبير منغلق الشكل]] مثل الكسور)، مع البرهان وهو الذي وجده [[ليونهارت أويلر|أويلر]] {{كسر|{{pi}}<sup>2</sup>|6}}.
أعلن عن اكتشافه للحل في عام 1735. استندَت حُجج وبراهين [[ليونهارت أويلر|أويلر]] على نتائج رياضية لم يكن مبرهنا عنهن في ذلك الوقت، على الرغم من أن صحتها ثبتت في وقت لاحق. لم يقدم أويلر برهانا صارما على نتيجته هذه إلا في حدود عام 1741.

== نهج أويلر ==
تحديد أويلر ل {{كسر|{{pi}}<sup>2</sup>|6}} مبني على الدراسة الدقيقة لسلوك [[متعددة الحدود|كثيرات الحدود]] المنتهية وافتراض أن خصائصها تنطبق على المتسلسلات اللا نهائية.
وبالطبع، تطلب [[المنطق|منطق]] أويلر في الحل تبريرًا (بعد 100 عام، أثبت [[كارل فايرشتراس|كارل ويرستراس]] أن تمثيل [[ليونهارت أويلر|أويلر]] ل[[موجة جيبية|دالة الجيب]] متسلسلةً لا نهائية كان صحيحًا، من خلال [[مبرهنة التعميل لفايرشتراس|مبرهنة ويرستراس في التحليل إلى عوامل]]). لكن حتى من دون مبرر، بفضل الوصول إلى القيمة الصحيحة، والتي تم التأكد منها من خلال جمع حدود منتهية من المتسلسلة. هذا التوافق بين نتيجة أويلر وحاصل جمع تلك الحدود أعطى [[ليونهارت أويلر|أويلر]] ثقة كافية لإعلان نتائجه للمجتمع الرياضي.
لمتابعة برهان أويلر، تُستحضر أولًا [[متسلسلة تايلور]] مطبقة على [[موجة جيبية|دالة الجيب]]
:<math> \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots </math>
قسّم الطرفين على {{mvar|x}}
:<math> \frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \cdots </math>
باستخدام [[مبرهنة التعميل لفايرشتراس|مبرهنة ويرستراس في التحليل إلى عوامل]]، يُستنتج أن الجانب الأيسر هو حاصل ضرب العوامل الخطية بحلولها، كما نفعل لكثيرات الحدود المنتهية (والذي افترضه [[ليونهارت أويلر|أويلر]] مساعدا لتوسيع درجة كثيرة الحدود اللا نهائية من حيث حلولها، ولكنه بشكل عام ليس دائمًا صحيحًا لكل <math>P(x)</math>)
<ref>بديهيًّا، بما أن الجانب الأيسر هو [[متعددة الحدود|كثيرة حدود]] (من درجة لا نهائية) يمكننا أن نكتبها حاصلَ ضرب حلولها:
:<math>\begin{align} 
\sin(x) & = x (x^2-\pi^2)(x^2-4\pi^2)(x^2-9\pi^2) \cdots \\ 
     & = Ax \left(1 - \frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{4\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{9\pi^2}\right) \cdots.
\end{align}
</math>
الآن، بما أننا نعرف من [[تفاضل وتكامل|علم الحسبان]] الأولي أن: <math>\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1</math> نستطيع استنتاج أن الثابت الرئيس يستوفي هذا الشرط <math>A = 1</math>.</ref>

:<math>\begin{align}
\frac{\sin x}{x} &= \left(1 - \frac{x}{\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{\pi}\right)\left(1 - \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 - \frac{x}{3\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{3\pi}\right) \cdots \\
                    &= \left(1 - \frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{4\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{9\pi^2}\right) \cdots
\end{align}</math>

لو ضربنا كل حدود {{تعبير رياضي|''x''<sup>2</sup>}} وجمعناهم في جهة (يمكن فعل ذلك، حسب [[متطابقات نيوتن]]) سنرى بالاستقراء بأن معامل {{تعبير رياضي|''x''<sup>2</sup>}} لـ{{تعبير رياضي|{{كسر|sin ''x''|''x''}}}} هو:
<ref>بصفة خاصة، عندما نقول بأن <math>H_n^{(2)} := \sum_{k=1}^n k^{-2}</math> إشارة إلى الدرجة الثانية من الرقم التناسقي، نستطيع بسهولة أن نبرهن بـ[[استقراء رياضي|الاستقراء الرياضي]] بأن <math>[x^2] \prod_{k=1}^{n} \left(1-\frac{x^2}{\pi^2}\right) = -\frac{H_n^{(2)}}{\pi^2} \rightarrow -\frac{\zeta(2)}{\pi^2}</math> طالما <math>n \rightarrow \infty</math>.</ref>

:<math> -\left(\frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{4\pi^2} + \frac{1}{9\pi^2} + \cdots \right) = -\frac{1}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}.</math>
ولكن من متسلسلة الجيب الأصلية {{تعبير رياضي|{{كسر|sin ''x''|''x''}}}} معامل {{تعبير رياضي|''x''<sup>2</sup>}} هو {{تعبير رياضي|−{{كسر|1|3!}} {{=}} −{{كسر|1|6}}}}، وعليه فيجب أن يكون هذان المعاملان متساويين، وهكذا:
:<math>-\frac{1}{6} = -\frac{1}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}.</math>
والآن بضرب كِلا الطرفين بـ−{{pi}}<sup>2</sup> سنحصل على ناتج هذه المسألة
:<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}.</math>

طريقة حساب <math>\zeta(2)</math> مُفصّلة بطريقة مميزة في كتاب جاما هافل {{إنج|Havil's Gamma}} والذي يُورد الكثير من تفاصيل [[قائمة دوال زيتا|دالة زيتا]]، والمتسلسلات المتعلقة ب[[لوغاريتم|اللوغارتمات]]، و[[تكامل|التكامل]]، بالإضافة للمنظور التاريخي المرتبط ب[[ثابتة أويلر-ماسكيروني|ثابت أويلر جاما]].<ref name="HAVIL-GAMMA">{{استشهاد بكتاب|الأخير1=Havil|الأول1=J.|عنوان=Gamma: Exploring Euler's Constant|سنة=2003|مسار=https://archive.org/details/gammaexploringeu00havi_632|تاريخ=2003|ناشر=Princeton University Press|مكان=Princeton, New Jersey|isbn=0-691-09983-9|صفحات=[https://archive.org/details/gammaexploringeu00havi_632/page/n60 37]–42 (الفصل 4)}}</ref>

=== تعميم طريقة أويلر باستخدام كثيرات الحدود الابتدائية المتماثلة ===
=== عواقب برهان أويلر ===

== دالة زيتا لريمان ==
[[دالة زيتا لريمان]] {{تعبير رياضي|''ζ''(''s'')}} هي واحدة من أهم الدوال في الرياضيات نظرا لعلاقتها بتوزيع [[عدد أولي|الأعداد الأولية]]. تعرف دالة زيتا لريمان عند كل [[عدد مركب|عدد عقدي]] s جزؤه الحقيقي أكبر قطعا من الواحد بالصيغة التالية:

:<math>\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}.</math>
إذا كان المتغير s مساويا لاثنين، فإنه يتبين أن <math>\zeta(2)</math> يساوي مجموع مقلوبات مربعات جميع [[عدد صحيح|الأعداد الصحيحة]] الطبيعية :
:<math>\zeta(2) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}
                = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} \approx 1.644934.</math>

يمكن البرهان على تقارب هذه المتسلسلة من خلال ما يلي
:<math>\begin{align}
  \sum_{n=1}^N \frac{1}{n^2} & < 1 + \sum_{n=2}^N \frac{1}{n(n-1)} \\
                             & = 1 + \sum_{n=2}^N \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \right) \\
                             & = 1 + 1 - \frac{1}{N} \;{\stackrel{N \to \infty}{\longrightarrow}}\; 2.
\end{align}</math>

يمكن البرهان أيضا على أن ل {{تعبير رياضي|''ζ''(''s'')}} تعبيرا بسيطا مستعملا [[عدد برنولي|أعداد برنولي]] كلما كان {{تعبير رياضي|''s''}} يساوي عددا صحيحا طبيعيا زوجيا. إذا كان {{تعبير رياضي|''s'' {{=}} 2''n''}} فإن :

:<math>\zeta(2n) = \frac{(2\pi)^{2n}(-1)^{n+1}B_{2n}}{2\cdot(2n)!}.</math>

== دليل قاطع باستخدام متسلسلة فورييه ==

استعمل [[متطابقة بارسيفال]] (مطبقةً على الدالة {{تعبير رياضي|1=''f''(''x'') = ''x''}}) من أجل الحصول على ما يلي:

:<math>\sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi x^2 \, dx,</math>

حيث

:<math>\begin{align}
  c_n &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi x e^{-inx} \, dx \\[4pt]
      &= \frac{n\pi \cos(n\pi)-\sin(n\pi)}{\pi n^2} i \\[4pt]
      &= \frac{\cos(n\pi)}{n} i \\[4pt]
      &= \frac{(-1)^n}{n} i
\end{align}</math>

for {{تعبير رياضي|''n'' ≠ 0}}, and {{تعبير رياضي|''c''<sub>0</sub> {{=}} 0}}. Thus,

:<math>|c_n|^2 = \begin{cases}
\dfrac{1}{n^2}, & \text{for } n \neq 0, \\
0, & \text{for } n = 0,
\end{cases}
</math>

و

:<math>\sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2 = 2\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi x^2 \, dx.</math>

إذن،

:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{1}{4\pi}\int_{-\pi}^\pi x^2 \, dx = \frac{\pi^2}{6}</math>

وهذا ينهي البرهان.

== دليل قاطع آخر باستخدام متطابقة برسفال ==
=== التعميمات وعلاقات التكرار ===
== برهان كوشي ==
=== تاريخ البرهان ===
=== البرهان ===
يعتمد هذا البرهان على المتراجحة التالية:
:<math>\tfrac{1}{2}r^2\tan\theta > \tfrac{1}{2}r^2\theta > \tfrac{1}{2}r^2\sin\theta</math>
بقلب حدود هذه المتراجحة وحساب مربعاتهن، يحصل على ما يلي:
:<math>\cot^2\theta<\tfrac{1}{\theta^2}<\csc^2\theta</math>
حيث <math>\cot</math> هي دالة [[دوال مثلثية|الظل التمام]] و<math>\csc</math> هي دالة [[دوال مثلثية|القاطع التمام]].

يتمثل هذا البرهان في الحصول على متسلسة أصغر من مجموع مربعات مقلوبات الأعداد الطبيعية باستعمال هذه الصيغة المثلثية، تؤول إلى <math>\pi^2/6</math>، والحصول على متسلسلة ثانية أكبر من مجموع مربعات مقلوبات الأعداد الطبيعية تؤول إلى <math>\pi^2/6</math>، هي الأخرى.

== متطابقات أخرى ==
=== التمثيل بالمتسلسلات ===
=== التمثيل بالتكامل ===
=== الكسور المستمرة ===

== طالِع أيضًا ==
* [[دالة زيتا لريمان]]
* [[ثابتة أبيري]]

== مراجع ==
* {{استشهاد | عنوان=Number Theory: An Approach Through History | الأول=André | الأخير=Weil | مؤلف-وصلة=André Weil | ناشر=Springer-Verlag | isbn=0-8176-3141-0 | سنة = 1983}}.
* {{استشهاد | عنوان=Euler: The Master of Us All | الأول=William | الأخير=Dunham | مؤلف-وصلة=William Dunham (mathematician) | ناشر=[[جمعية الرياضيات الأمريكية]] | سنة=1999 | isbn=0-88385-328-0}}.
* {{استشهاد | عنوان=Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics | الأول=John | الأخير=Derbyshire | مؤلف-وصلة=John Derbyshire | ناشر=Joseph Henry Press | isbn=0-309-08549-7 | سنة=2003 | التسجيل=registration | مسار= https://archive.org/details/primeobsessionbe00derb_0 |مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20220312223956/https://archive.org/details/primeobsessionbe00derb_0|تاريخ أرشيف=2022-03-12}}.
* {{استشهاد | الأخير1=Aigner | الأول1=Martin | مؤلف1-وصلة= Martin Aigner | الأخير2=Ziegler | الأول2=Günter M. | مؤلف2-وصلة=Günter M. Ziegler | عنوان=[[Proofs from THE BOOK]] | ناشر=[[شبرينغر|سبرنجر]] | مكان=Berlin, New York | سنة=1998}}
* {{استشهاد | عنوان=Riemann's Zeta Function | الأول=Harold M. | الأخير=Edwards | مؤلف-وصلة = Harold Edwards (mathematician) | ناشر=Dover | isbn=0-486-41740-9 | سنة=2001}}.

== الملاحظات ==
{{مراجع}}
{{شريط بوابات|تحليل رياضي|رياضيات|نظرية الأعداد}}
{{روابط شقيقة}}

[[تصنيف:خوارزميات π]]
[[تصنيف:زيتا والدوال اللامية]]
[[تصنيف:مربعات في نظرية الأعداد]]
[[تصنيف:معضلات رياضية]]
[[تصنيف:نظرية الأعداد]]