عرض مصدر معادلة xʸ=yˣ

عموما، [[رفع (رياضيات)|المعادلات الأسية]] [[عملية تبديلية|عمليات غير تبادلية]]. ولكن تعتبر '''معادلة xʸ=yˣ''' حالة خاصة، عندما تكون <math>x=2, y=4</math>.<ref>[https://web.archive.org/web/20021015103129/http://www.komal.hu/cikkek/loczy/powers/commpower.e.shtml "On commutative and associative powers"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200923080259/https://web.archive.org/web/20021015103129/http://www.komal.hu/cikkek/loczy/powers/commpower.e.shtml |date=23 سبتمبر 2020}}</ref>
== التاريخ ==
[[ملف:ETH-BIB-Bernoulli, Daniel (1700-1782)-Portrait-Portr 10971.tif (cropped).jpg|تصغير|يسار|[[دانييل برنولي]]]]
[[ملف:Leonhard Euler 2.jpg|thumb|[[ليونهارت أويلر]]]]
تم ذكر معادلة <math>x^y=y^x</math> لأول مرة في رسالة [[دانييل برنولي]] إلى [[كريستيان غولدباخ]] يوم 29 يونيو 1728.<ref>[https://web.archive.org/web/20040416081838/http://www.gotham-corp.com/sources.htm#_Toc69534169 "Sources in recreational mathematics: an annotated bibliography. 8th preliminary edition"]</ref> ذكر فيها أن <math>x\ne y</math> إلا في حالة <math>(2,4)</math> و <math>(4,2)</math>، على الرغم من أن هناك العديد من الحلول غير المتناهية.<ref>[https://books.google.com/books?id=dO7C02z4LlcC&pg=PA687 "Rational solutions of xy = yx"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160531140005/https://books.google.com/books?id=dO7C02z4LlcC&pg=PA687 |date=31 مايو 2016}}</ref><ref>[https://web.archive.org/web/20160304191325/http://www.maa.org/sites/default/files/Sved50816668.pdf "On the Rational Solutions of xy = yx"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200923080316/https://web.archive.org/web/20160304191325/http://www.maa.org/sites/default/files/Sved50816668.pdf |date=23 سبتمبر 2020}}</ref><br />
جاء الرد من [[كريستيان غولدباخ]] في 31 يناير 1729، ذكر فيها الصيغة العامة لحل هذه المعادلة:<ref>{{وإو|عر=History_of_the_Theory_of_Numbers|تر=History_of_the_Theory_of_Numbers|لغ=en|نص=History of the Theory of Numbers}}</ref>

<math>y=vx</math>

وهي صيغة مشابهه لما ذكره [[ليونهارت أويلر]].

أشار فان هينجيل (''J. van Hengel'') أنه إذا كان <math>r, n</math> أعداد صحيحة موجبة. بحيث تكون <math>r\geqslant 3</math> أو <math>n\geqslant 3</math>. يكون<br />
<math>r^{r+n} > (r+n)^{r}</math>

وهذا كافي لاعتبار <math>x = 1</math> و <math>x = 2</math> في محاولة لإيجاد حل المعادلة.<ref>[http://digital.ub.uni-duesseldorf.de/ulbdsp/periodical/titleinfo/4315444 "Beweis des Satzes, dass unter allen reellen positiven ganzen Zahlen nur das Zahlenpaar 4 und 2 für a und b der Gleichung ab = ba genügt"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170702161120/http://digital.ub.uni-duesseldorf.de/ulbdsp/periodical/titleinfo/4315444 |date=02 يوليو 2017}}</ref>

تم ذكر المشكلة في العديد من الأوراق البحثية والمنشورات. ففي عام 1960 تم ذكر المعادلة في منافسة ويل وليام بوتنام الرياضية.<ref>[https://books.google.com/books?id=7D0PAQAAMAAJ&q=%22prove+that+you+have+obtained+all+of+them%22 "The twenty-first William Lowell Putnam mathematical competition (December 3, 1960), afternoon session, problem 1"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20191217042455/https://books.google.com/books?id=7D0PAQAAMAAJ&q=%22prove+that+you+have+obtained+all+of+them%22 |date=17 ديسمبر 2019}}</ref><ref>[[الرياضيات الأمريكية الشهرية]]</ref>

== حلول حقيقة موجبة ==
يوجد العديد من الحلول إذا كانت المعادلة بالشكل التالي:

<math>x=y</math>

ولكن لحل معادلة <math>x^y=y^x</math>، يجب اعتبار أن <math>x\ne y</math>. وأن <math>y = vx</math>.

وبذلك يكون

: <math>(vx)^x = x^{vx} = (x^v)^x</math>.

بأخذ <math>\tfrac{1}{x}</math> أسا لكا الطرفين، ثم القسمة على <math>x</math>

: <math>v = x^{v-1}</math>.

يكون حل المعادلة على الشكل التالي :

: <math>x = v^{\frac{1}{v-1}}</math>,
: <math>y = v^{\frac{v}{v-1}}</math>.

بأخذ <math>v=2</math> أو <math>v=\tfrac{1}{2}</math>، يكون الحل الصحيح الموجب للمعادلة هو: 
:<math>4^2=2^4</math>.
==انظر أيضا==
* [[قائمة الثوابت الرياضية|الدوال والثوابت الرياضية]]
* [[معدل الحرارة (الكفاءة)]].
* [[معادلات نيوتن-أويلر]].
* [[عدد صغير|الرقم الصغير]].
* [[عدد مؤلف|عدد غير أولي]].
* [[الأس العشري]].
* [[طريقة غاوس-زايدل|طريقة جاوس سيدل]].
* [[حسابات الفاصلة المتحركة|عدد فاصل عائم]] .
* [[مقياس إنساني]] .
* [[نظام الوحدات الدولي]].
* [[كسر (رياضيات)|كسر]] .
* [[عدد صحيح خال من المربعات]].
* [[جدول التفكيك إلى عوامل أولية]].
* [[تحليل عدد صحيح إلى عوامل]].
* [[المبرهنة الأساسية في الحسابيات]].
* [[غربال إراتوستينس]].
* [[المبرهنة الأساسية في الحسابيات#التمثيل القانوني لعدد صحيح موجب|التمثيل القانوني لعدد صحيح موجب]]
* [[قضبان كويزنير]]
* [[خوارزمية شور|خوارزمية شوور]].
* [[فيزياء رياضية]]
* [[تحليل إلى عوامل]]
* [[جدول القواسم]]

== المصادر ==
{{مراجع}}

{{شريط بوابات|رياضيات|نظرية الأعداد}}

[[تصنيف:رياضيات مسلية]]
[[تصنيف:معادلات ديوفانتية]]