عرض مصدر معادلة فوكر–بلانك

[[ملف:FokkerPlanck.gif|تصغير]]
'''معادلة فوكر بلانك''' {{إنج|Fokker-Planck equation}} هي معادلة تصف التطور الزمني «التغير خلال الزمن» لتابع الكثافة الاحتمالية لسرعة جسيم ما. ويمكن ان تكتب بشكلها العام على شكل ابعاد متعددة باستخدام المؤثر نبلا. لكنها غالبا ما تكتب باختصار على اعتبار الحركة ذات بعد واحد.

تعود تسميتها نسبة إلى العالم الألماني الشهير <ref>ماكس بلانك</ref> صاحب <ref>نظرية الكم</ref> وإلى العالم الهولندي ادريان فوكر وقد تسمى أحيانا بأسماء أخرى منها معادلة كولوكلوف المتقدمة "Kolmogorov Forward Equation" ومعادلة سمولوكوفسكي "Smoluchowski equation" وخاص عندما تصف هذه المعادلة التوزعات الاحتمالية الممكنة لموضع جسيم أي تغير احتمال أماكن تواجد جسيم في نقطة معينة خلال الزمن"

وقد أجري أول اشتقاق مجهري متسق لمعادلة فوكر بلانك في مخطط واحد من الميكانيكا الكلاسيكية والكمية بواسطة<ref>ن. ن. بوغوليوبوف (جونيور) ود. ب. سانكوفيتش (1994). "[https://dx.doi.org/10.1070/RM1994v049n05ABEH002419 ن. ن. بوغوليوبوف ووالميكانيكا الإحصائية]". ''الرياضيات الروسية. أستطلاعات'' '''49'''(5): 19—49. {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200923084258/http://mr.crossref.org/iPage?doi=10.1070/RM1994v049n05ABEH002419 |date=23 سبتمبر 2020}}</ref> من قبل [[نيكولاي بوغوليوبوف]] و[[نيكولاي كريلوف]].<ref>[[نيكولاي بوغوليوبوف]] و[[نيكولاي كريلوف]] (1939). ''معادلات فوكر بلانك ولدت في نظرية الاضطراب من خلال طريقة على أساس الخصائص الطيفية لهاميلتونيان مضطرب''. قسم علم الفيزياء في أكاديمية العلوم الأوكرانية SSR '''4''': 81–157.</ref>

في بعد مكاني واحد ''x'', معادلة فوكر – بلانك لمعلاج <math>dX_t = D_1(X_t,t)dt + \sqrt{2 D_2(X_t,t)}dW_t</math> مع انجراف ايتو ''D''<sub>1</sub>(''x'',''t'') ونشر ''D''<sub>2</sub>(''x'',''t'') هو:
:<math>\frac{\partial}{\partial t}f(x,t)=-\frac{\partial}{\partial x}\left[ D_{1}(x,t)f(x,t)\right] +\frac{\partial}{\partial x}\left[ D_{2}(x,t)\frac{\partial}{\partial x}f(x,t)\right]. </math>
ومع ذلك، في كثير من الأحيان، في التطبيقات الفيزيائية نأخذ في الاعتبار معلاج ستراتونوفيتش ذو الصلة أكثر (مكتوب في شكل ايتو):
:<math>dX_t = \left[D_1(X_t,t) + \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial x}D_2(X_t,t)\right]dt + \sqrt{2 D_2(X_t,t)}dW_t</math>
والذي يتضمن عامل الانجراف المضاف وذلك بسبب الآثار الانتشار المتدرج.
أكثر عموما، التوزيع الاحتمالي المعتمد على الزمن يعتمد على مجموعة من <math>N</math> متغيرات كلية <math>x_i</math>. الشكل العام للمعادلة فوكر بلانك يصبح بعد ذلك:
:<math>\frac{\partial f}{\partial t} = -\sum_{i=1}^N \frac{\partial}{\partial x_i} \left[ D_i^1(x_1, \ldots, x_N) f \right] + \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{N} \frac{\partial^2}{\partial x_i \, \partial x_j} \left[ D_{ij}^2(x_1, \ldots, x_N) f \right],</math>
حيث <math>D^1</math> هو متجه الانجراف و<math>D^2</math> هو موتر الانتشار; وينتج هذه الأخير من وجود القوة التصادفية..

== مراجع ==
{{مراجع}}
{{شريط بوابات|فيزياء}}

[[تصنيف:أشياء سميت نسبة إلى ماكس بلانك]]
[[تصنيف:حساب التفاضل والتكامل العشوائي]]
[[تصنيف:رياضيات مالية]]
[[تصنيف:ظاهرة الانتقال]]
[[تصنيف:عمليات تصادفية|فوكر- بلانك]]
[[تصنيف:ماكس بلانك]]
[[تصنيف:معادلات تفاضلية جزئية من نوع القطع المكافئ|فوكر- بلانك]]
[[تصنيف:معادلات|فوكر- بلانك]]