عرض مصدر معادلات ماكسويل

{{بطاقة عامة}}
{{شريط جانبي كهرومغناطيسية|cTopic=Electrodynamics}}
[[ملف:Wave equations for electromagnetic waves.jpg|تصغير|معادلة الموجة للموجات الكهرومغناطيسية]]
'''معادلات ماكسويل''' هي مجموعة من [[معادلة تفاضلية جزئية|المعادلات التفاضلية الجزئية]] المقترنة التي تشكل، إلى جانب [[قوة لورنتس|قانون قوة لورنتس]]، أساس [[كهرومغناطيسية كلاسيكية|الكهرومغناطيسية التقليدية]] [[بصريات|والبصريات]] التقليدية [[دائرة كهربائية|والدوائر الكهربائية]]. توفر المعادلات نموذجًا رياضيًا للتكنولوجيات الكهربائية والبصرية وتكنولوجيا الراديو، مثل توليد القدرة الكهربائية والمحركات الكهربائية [[اتصال لاسلكي|والاتصالات اللاسلكية]] والعدسات والرادار وما إلى ذلك. تصف معادلات ماكسويل آلية توليد [[حقل كهربائي|الحقول الكهربائية]] [[حقل مغناطيسي|والمغناطيسية]] بواسطة [[شحنة كهربائية|الشحنات]] [[تيار كهربائي|والتيارات]] والتغييرات في الحقول. إحدى النتائج المهمة للمعادلات هي إثبات أن الحقول الكهربائية والمغناطيسية المتذبذبة تنتشر بسرعة ثابتة ([[سرعة الضوء]] ''c'') في الفراغ. يمكن لهذه الموجات المعروفة باسم [[موجة كهرومغناطيسية|الإشعاع الكهرومغناطيسي]] امتلاك أطوال موجية مختلفة لإنتاج [[طيف كهرومغناطيسي]] يتراوح بين [[موجة راديو|الموجات الراديوية]] إلى [[أشعة غاما]]. سميت المعادلات نسبةً لعالم الفيزياء والرياضيات [[جيمس كليرك ماكسويل]]، الذي نشر شكلًا مبكرًا من المعادلات التي تضمنت قانون قوة لورنتس بين عامي 1861 و1862. استخدم ماكسويل المعادلات أولًا لاقتراح أن الضوء هو ظاهرة [[كهرومغناطيسية]].

تمتلك المعادلات شكلين رئيسيين. تتمتع معادلات ماكسويل المجهرية بقابلية شاملة للتطبيق ولكنها غير عملية للحسابات العادية. تربط هذا المعادلات الحقلين الكهربائي والمغناطيسي بالشحنة والتيار الكليين، بما في ذلك الشحنات والتيارات المعقدة في المواد على [[فضاء ذري|المقياس الذري]]. تُعرّف معادلات ماكسويل الجاهرية حقلين إضافيين جديدين يصفان سلوك المادة على نطاق كبير دون الحاجة للأخذ بعين الاعتبار شحنات المقياس الذري والظواهر الكمومية مثل اللف المغزلي. ومع ذلك، يتطلب استخدامها معاملات محددة تجريبيًا لوصف ظواهر استجابة المواد للمؤثرات الكهرومغناطيسية.

غالبًا ما يُستخدم مصطلح معادلات ماكسويل في صياغات بديلة مماثلة. من المُفضل استخدام أشكال معادلات ماكسويل المرتكزة على [[كمون كهربائي|الكمون الكهربائي]] والكمون المغناطيسي في حل المعادلات بشكل صريح باعتبارها «<nowiki/>[[مسألة القيمة الحدية|مسألة قيمة حدية]]» أو «ميكانيكا تحليلية» أو للاستخدام في [[ميكانيكا الكم]]. تؤدي «صياغة موافق التغير» (في [[زمكان|الزمكان]] بدلًا من المكان والزمان بشكل منفصل) إلى ظهور التوافق بين معادلات ماكسويل [[النسبية الخاصة|والنسبية الخاصة]]. تتوافق «معادلات ماكسويل في الزمكان المنحني»، والتي تُستخدم عادة في [[فيزياء الجسيمات|فيزياء الطاقة العالية]] [[جاذبية|وفيزياء الجاذبية]]، مع [[النسبية العامة]]. في الواقع، طور [[ألبرت أينشتاين|آينشتاين]] النسبية الخاصة والعامة للجمع بين سرعة الضوء الثابتة، التي تُعد إحدى نتائج معادلات ماكسويل، ومبدأ أن الحركة النسبية لها أهمية فيزيائية فقط.

مثّل نشر المعادلات توحيد الظواهر الموصوفة سابقًا: المغناطيسية والكهرباء والضوء والإشعاع المصاحب له. منذ منتصف القرن العشرين، يعلم العلماء أن معادلات ماكسويل ليست دقيقة تمامًا، بل تمثل الحد [[النظرية التقليدية للفيض|التقليدي]] لنظرية [[كهروديناميكا كمية|الكهروديناميكا الكمية]] الأساسية.

== وصف مفاهيمي لمعادلات ماكسويل ==

=== قانون غاوس ===
يصف [[قانون غاوس]] العلاقة بين [[حقل كهربائي|الحقل الكهربائي]] الساكن [[شحنة كهربائية|والشحنات الكهربائية]] التي تولده: يتجه الحقل الكهربائي الساكن بعيدًا عن الشحنات الموجبة ونحو الشحنات السالبة، ويتناسب [[تدفق كهربائي|التدفق الكهربائي]] الخارجي للحقل الكهربائي عبر أي [[سطح غاوسي|سطح]] مغلق مع الشحنة التي يحيطها السطح. عن طريق تصور الحقل الكهربائي بخطوط حقله، هذا يعني أن خطوط الحقل تبدأ من الشحنات الكهربائية الموجبة وتنتهي إلى الشحنات الكهربائية السالبة. يقود «حساب» عدد خطوط الحقل التي تمر عبر سطح مغلق إلى معرفة الشحن الكلية (بما في ذلك «الشحنة المُقيدة» الناتجة عن «استقطاب المواد») المُحاطة بالسطح، مقسومًا عليها «[[سماحية الفراغ]]».

=== قانون غاوس للمغناطيسية ===
ينص [[قانون غاوس المغناطيسي|قانون غاوس للمغناطيسية]] على عدم وجود «شحنات مغناطيسية»  (التي تُسمى أيضًا «<nowiki/>[[أحادي القطب المغناطيسي|أحاديات القطب المغناطيسي]]») مشابهةً للشحنات الكهربائية.<ref name="VideoGlossary">{{استشهاد بويب
| مسار = https://videoglossary.lbl.gov/#n45
| عنوان = Maxwell's equations
| موقع = Science Video Glossary
| ناشر = Berkeley Lab
| الأخير = Jackson
| الأول = John
|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20190129113142/https://videoglossary.lbl.gov/|تاريخ أرشيف=2019-01-29}}</ref> بدلًا من ذلك، ينتج الحقل المغناطيسي عن المواد بفعل تكوين يسمى «<nowiki/>[[ثنائي قطب|ثنائي القطب]]»، ويكون التدفق المغناطيسي الخارجي للحقل المغناطيسي عبر أي سطح مغلق صفرًا. تُمثل ثنائيات القطب المغناطيسية بواسطة حلقات من التيار الكهربائي لكنها تشبه «الشحنات المغناطيسية» الموجبة والسالبة، اللتين ترتبطان مع بعضهما دون إمكانية فصلهما، وبالتالي لا ينتج عن ذلك «شحنة مغناطيسية» كلية. من ناحية خطوط الحقل، تنص هذه المعادلة على أن خطوط الحقول المغناطيسي لا تبدأ ولا تنتهي ولكنها تشكل حلقات أو تمتد إلى ما لا نهاية وتعود. بمعنى آخر، يجب أن يخرج أي خط حقل مغناطيسي من أي حجم بعد دخوله. بعبارات تقنية مكافئة، فإن [[تدفق مغناطيسي|التدفق المغناطيسي]] الكلي عبر أي «سطح غاوسي» هو صفر، أو إن الحقل المغناطيسي هو «حقل شعاعي غير تباعدي».

=== قانون فاراداي ===
تصف [[قانون فاراداي#معادلة ماكسويل فاراداي|نسخة ماكسويل-فاراداي]] من «<nowiki/>[[قانون فاراداي|قانون فاراداي للحث]]»  كيف ينتج (يحث) [[حقل مغناطيسي|الحقل المغناطيسي]] المتغير بمرور الوقت [[حقل كهربائي|حقلًا كهربائيًا]].<ref name="VideoGlossary" /> في شكله التكاملي، ينص القانون على أن الشغل المطلوب لكل وحدة شحنة لتحريك الشحنات حول حلقة مغلقة يساوي معدل التغير في التدفق المغناطيسي عبر السطح المغلق.

يتمتع الحقل الكهربائي المُستحث ديناميكيًا بخطوط حقل مغلقة على غرار تلك الخاصة بالحقل المغناطيسي، ما لم تتراكب بواسطة حقل كهربائي ساكن (مُستحث بفعل شحنة كهربائية). يعتبر هذا الجانب من [[حث كهرومغناطيسي|الحث الكهرومغناطيسي]] مبدأ تشغيل العديد من [[مولد كهربائي|المولدات الكهربائية]]: على سبيل المثال، يولد [[مغناطيس|القضيب المغناطيسي]] الدوار حقلًا مغناطيسي متغيرًا، الذي يولد بدوره حقلًا كهربائيًا في سلك قريب.

=== قانون أمبير مع إضافة ماكسويل ===
ينص «<nowiki/>[[قانون أمبير]]» مع «إضافة ماكسويل» على إمكانية توليد الحقول المغناطيسية بطريقتين: عبر [[تيار كهربائي|التيار الكهربائي]] (قانون أمبير الأصلي) وعبر الحقول الكهربائية المتغيرة (إضافة ماكسويل، الذي أطلق عليها اسم «<nowiki/>[[تيار الإزاحة]]»). في شكله التكاملي، يتناسب الحقل المغناطيسي المُستحث حول أي حلقة مغلقة مع التيار الكهربائي وتيار الإزاحة (الذي يتناسب مع معدل تغير التدفق الكهربائي) اللذين يمران عبر السطح المغلق.

تُعد إضافة ماكسويل لقانون أمبير مهمة بشكل خاص: فهي تجعل مجموعة المعادلات متسقة رياضيًا للحقول غير الساكنة، دون تغيير قانوني أمبير وغاوس للحقول الساكنة.<ref>J. D. Jackson, ''Classical Electrodynamics'', section 6.3</ref> ونتيجة لذلك، فهي تتنبأ بأن الحقل المغناطيسي المتغير يستحث حقلًا كهربائيًا والعكس صحيح.<ref name="VideoGlossary" /><ref>[https://books.google.com/books?id=1DZz341Pp50C&pg=PA809 ''Principles of physics: a calculus-based text''], by R. A. Serway, J. W. Jewett, page 809. {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170701083943/https://books.google.com/books?id=1DZz341Pp50C&pg=PA809 |date=1 يوليو 2017}}</ref> لذلك، تسمح هذه المعادلات لـ «<nowiki/>[[موجة كهرومغناطيسية|الموجات الكهرومغناطيسية]]» ذاتية الاستدامة بالانتقال عبر فراغ الفضاء.

تتطابق السرعة المحسوبة للموجات الكهرومغناطيسية، والتي يمكن التنبؤ بها عبر التجارب على الشحنات والتيارات الكهربائية، مع [[سرعة الضوء]]؛ وبالفعل، يُعد [[ضوء|الضوء]] أحد أشكال [[موجة كهرومغناطيسية|الإشعاع الكهرومغناطيسي]] (وكذلك [[أشعة سينية|الأشعة السينية]] [[موجة راديو|والموجات الراديوية]] وغيرها). فهم ماكسويل العلاقة بين الموجات الكهرومغناطيسية والضوء في عام 1861، وبالتالي وحد نظريات [[كهرومغناطيسية|الكهرومغناطيسية]] [[بصريات|والبصريات]].

== تاريخيا ==
كانت هذه المعادلات معروفة من قبل لكن بصيغة مختلفة:
* <math>\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho</math>
* <math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0   </math>
* <math>\nabla \times \mathbf{E} = 0   </math>
* <math>\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J}</math>

الدافع وراء نسبة هذه المعادلات إلى ماكسويل رغم أنه ليس هو من وضعها هو اكتشافه وبرهنته على أنها سليمة فقط في حال كان [[حقل كهربائي|المجال الكهربائي]] '''E''' ساكنا. أي أن المعادلات السابقة هي حالة خاصة ولا تنطبق إلا عندما يكون:

<math>\frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}=0</math>

اِفْتَرَض ماكسويل تصحيحات لهذه المعادلات ولم يثبتها في التجربة وعَمَّمَها لتشمل المجالات الكهربية المتغيرة زمنيا مما مهد الطريق لاكتشاف الموجات الكهرومغناطيسية ومعادلتها كما فرض أن [[ضوء|الضوء]] عبارة عن [[موجة كهرومغناطيسية]] إضافة إلى أهم ما اِفْتَرَضه وهو وجود تيار يسري في [[عازل كهربائي|العوازل]] أطلق عليه مسمى [[تيار الإزاحة]].

== المعادلات ==

{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0"
|- style="background-color: #aaeedd;"
! مسمى المعادلة
! الشكل التفاضلي
! الشكل التكاملي
|-
| [[قانون غاوس]]:
| <math>\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho</math>
| <math>\oint_S  \mathbf{D} \cdot d\mathbf{A} = \int_V \rho dV</math>
|-
| [[قانون غاوس المغناطيسي|قانون غاوس للمغناطيسية]]:
| <math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math>
| <math>\oint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} = 0</math>
|-
| [[قانون فاراداي|قانون الحث لفرداي]]:
| <math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}</math>
| <math>\oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = - \ { d \over dt }   \int_S   \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}</math>
|-
|[[قانون أمبير]] مضافا إلى تصحيح ماكسويل:
| <math>\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t}</math>
| <math>\oint_C \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = \int_S \mathbf{J} \cdot d \mathbf{A} +
{d \over dt} \int_S \mathbf{D} \cdot d \mathbf{A}</math>
|}
والجدير بالذكر أن المعادلة الأخيرة هي في الأصل تعديل للقانون الأصلي لأمبير والذي يصف العلاقة بين المجال المغناطيسى والتيارات المنشئة له في صورتها التكاملية ولكن بعد الوضع في الاعتبار [[تيار الإزاحة]]---- وقانون أمبير في صورته العامة يوضح أن المجال المغناطيسى يمكن أن ينشأ عن تيار كهربى أو عن مجال كهربى متغير مع الزمن.

== الصورة التكاملية لمعادلات ماكسويل في الفراغ ==

{| class="wikitable" border="1"
! العلاقة الفيزيائية
! الظاهرة الطبيعية (الفيزيائية)
|-
|[[قانون غاوس|قانون جاوس]] للكهربية
| يعبر هذا القانون عن العلاقة بين فيض المجال الكهربى من سطح مغلق والشحنة الموجودة داخل السطح المغلق.
|- bgcolor="#EFEFEF"
| [[قانون غاوس المغناطيسي|قانون جاوس للمغناطيسية]]
| ويعبر هذا القانون عن الحقيقة التجريبية القائمة حتى الآن وهو عدم وجود قطب مغناطيسي منفرد.
|-
| [[قانون فاراداي]]
| يعبر عن العلاقة بين القوة الدافعة الكهربية ق.د.ك الناشئة بالحث في مسار مغلق ومعدل تغير فيض المجال المغناطيسى خلال أي سطح محدود بالمسار المغلق، ويبرهن عدم اعتماد [[جهد كهربائي|فرق الجهد]] على المسار الذي يسلكه.
|- bgcolor="#EFEFEF"
| [[قانون أمبير]] - ماكسويل (Ampere-Maxwell Law)
| يعبر عن العلاقة بين المجال المغناطيسي والتيارات المنشئة له (تيار التوصيل الفعلى و[[تيار الإزاحة]])
|}

== اشتقاق سرعة الضوء من معادلات ماكسويل ==
حَلَّ ماكسويل هذه المعادلات الأربع للفراغ وتوصل إلى الصلة الوثيقة بين [[سرعة الضوء|سرعة الموجة الكهرومغناطيسية]] وبين [[ثابت العازل]]ية و[[نفاذية (كهرومغنطيسية)|ثابت النفاذية]].

يمكن إعادة المعادلات السابقة على افتراض أن الضوء ينتشر في الفراغ حيث لاتوجد أي [[شحنة كهربائية|شحنات كهربائية]] أي أن <math>\rho=0\,</math> و<math>\mathbf{J}=0\,</math> فتصبح بالصورة
* <math>\nabla \cdot \mathbf{E} =  0</math>
* <math>\nabla  \cdot \mathbf{B} =  0</math>
* <math>\nabla  \times \mathbf{E} =  -\frac{\partial  \mathbf{B}}{\partial  t}</math>
* <math>\nabla  \times \mathbf{B} =  \mu_0\epsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}  {\partial t}</math>

لإيجاد معادلة الموجة يجب إيجاد المشتقة الثانية في كل من الزمن والفضاء. بداية بأخذ [[دوران (متجهات)|دوران]] [[طرفا معادلة|لطرفي المعادلة]] الثالثة وبتعويض النتيجة في المعادلة الرابعة نجد أن
:<math>\nabla    \times (\nabla    \times  \mathbf{E}) = -\frac{\partial \mathbf{\nabla  \times  \mathbf{B}}}{\partial t}</math>

من نظرية [[حساب المتجهات|تفاضل المتجه]]، نعلم أن <math>\nabla    \times (\nabla   \times  \mathbf{E}) = -\nabla^2\mathbf{E} + \nabla \cdot(\nabla \cdot \mathbf{E})</math>

على هذا الأساس تصبح
:<math>\nabla^2\mathbf{E}=  \mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2 \mathbf{E}}  {\partial t^2}</math>

وهذه معادلة [[موجة]] في ثلاثة أبعاد، وللتبسيط يمكن دراستها في بعد واحد بالشكل
:<math>\frac{\partial^2 E}  {\partial x^2}=   \mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2 E} {\partial t^2}</math>

بالبحث عن حل للمعادلة الجيبية، بدلالة السرعة <math>v</math> والطول الموجي <math>\lambda</math> يفترض أن تكون
:<math>E = E_0 \sin(2\pi\frac{x-vt}{\lambda})</math>

بمفاضلة هذه المعادلة مرتين نحصل على
:<math>\frac{\partial^2  E} {\partial x^2}= - E_0 \left(\frac{2\pi}{\lambda}\right)^2 \sin\left(2\pi\frac{x-vt}{\lambda}\right)</math>
: و
:<math>\frac{\partial^2 E} {\partial t^2}= - E_0 \left(\frac{2\pi v}{\lambda}\right)^2 \sin\left(2\pi\frac{x-vt}{\lambda}\right)</math>

بالتعويض عنها مرة أخرى في معادلة الموجة نجد أنها تمثل حلاً شريطة أن
:<math>v^2=\frac{1}{\mu_0\epsilon_0}</math>

أي أن سرعة الموجة الكهرومغنطيسية هي:
:<math>v=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}</math>

== انظر أيضًا ==
* [[كهرومغناطيسية]]
* [[سماحية الفراغ]]
* [[نفاذية الفراغ]]
* [[قانون غاوس المغناطيسي|قانون جاوس للمغناطيسية]]
* [[قانون فاراداي]]
* [[معادلات الحقل لأينشتاين|معادلات آينشتين للمجال]]
== مراجع ==

{{مراجع}}
{{روابط شقيقة}}
{{هامش-فيزياء|}}
{{مواضيع النسبية}}
{{شريط سفلي كهرطيسية}}
{{شريط بوابات|إلكترونيات|الفيزياء|رياضيات|علوم}}

{{ضبط استنادي}}

[[تصنيف:معادلات ماكسويل|*]]
[[تصنيف:جيمس ماكسويل]]
[[تصنيف:قوانين علمية]]
[[تصنيف:كهرطيسية]]
[[تصنيف:معادلات تفاضلية جزئية]]
[[تصنيف:معادلات فيزيائية]]