عرض مصدر معادلات كوشي-ريمان

{{بطاقة عامة}}
[[ملف:Cauchy-Riemann.png|تصغير|200بك|يسار]]
في [[رياضيات|الرياضيات]]، '''معادلات كوشي-ريمان التفاضلية''' {{إنج|Cauchy–Riemann equations}} في [[تحليل عقدي للدارات الكهربائية|التحليل العقدي]] تنسب إلى عالم الرياضيات الفرنسي [[أوغستين لوي كوشي]] وعالم الرياضيات الألماني [[برنارد ريمان]].<ref>{{استشهاد ويب| مسار = https://d-nb.info/gnd/4147397-8 | عنوان = معلومات عن معادلات كوشي-ريمان على موقع d-nb.info | ناشر = d-nb.info|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20191213193629/https://d-nb.info/gnd/4147397-8|تاريخ أرشيف=2019-12-13}}</ref><ref>{{استشهاد ويب| مسار = https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12313388z | عنوان = معلومات عن معادلات كوشي-ريمان على موقع catalogue.bnf.fr | ناشر = catalogue.bnf.fr| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190720003726/https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12313388z | تاريخ أرشيف = 20 يوليو 2019 }}</ref><ref>{{استشهاد ويب| مسار = https://www.idref.fr/032025335 | عنوان = معلومات عن معادلات كوشي-ريمان على موقع idref.fr | ناشر = idref.fr| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190724030657/https://www.idref.fr/032025335 | تاريخ أرشيف = 24 يوليو 2019 }}</ref> تتكون من نظام من اثنين من المعادلات التفاضيلية الجزئية

معادلات كوشي-ريمان لدالتين قيمهما حقيقيتان، لكل واحدة منهما متغيران اثنان (u(x,y و (v(x,y، هما المعادلتان التاليتان:

: <math>\dfrac{ \partial u }{ \partial x } = \dfrac{ \partial v }{ \partial y } \, </math>
و
:<math>\dfrac{ \partial u }{ \partial y } = -\dfrac{ \partial v }{ \partial x } \, </math>

عادة ما يتم اعتبار u وv جزءًا حقيقيًا وخياليًا على التوالي لدالة مركبة القيمة لمتغير مركب واحد <math>z=x+iy,f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math>

افترض ان u وv [[دالة قابلة للاشتقاق|دوال قابلة للاشتقاق]] عند نقطة في مجموعة جزئية مفتوحة من <math>\mathbb{C}</math>, والتي ممكن اعتبارها دالة من <math>\mathbb{R^2}</math> إلى <math>\mathbb{R}</math>، فإن هذا يؤدي إلى أن المشتقة الجزئية ل u , v موجودة (على الرغم من انها لا تحتاج ان تكون متصلة).

: إذا كانت الدالة <math>f=u+i v</math> قابلة للاشتقاق عند النقطة <math>z_0=x_0+iy_0 </math>، فإن المشتقات الجزئية لكلا من u و v موجودة عند النقطة <math>(x_0,y_0)</math> وتحقق معادلات كوشي -ريمان.
 
== مثال ==
افترض أن الدالة <math>f(z)=z^2</math> ، حيث <math>z=x+iy </math>، هي دالة قابلة للاشتقاق عند أي نقطة <math>z \in \mathbb{C}</math>
 
:<math>f(z)=(x+iy)^2= x^2-y^2 +2ixy </math>

فيكون الجزء الحقيقي هو: <math>u(x,y)</math> حيث <math>u(x,y)=x^2-y^2</math>

والجزء التخيلي هو: <math>v(x,y)</math> حيث <math>v(x,y)=2xy</math>

ومشتقاتهم الجزئية هي:
:<math>v_y=2x</math>
:<math>v_x=2y</math>
:<math>u_y=-2y</math>.
:<math>u_x=2x  </math>.
ويلاحظ تحقق شروط معادلات كوشي-ريمان:
:<math>u_x=v_y</math>.
:<math>u_y=-v_x</math>.

== مراجع ==
{{مراجع}}

{{ضبط استنادي}}
{{شريط بوابات|تحليل رياضي|رياضيات}}

{{بذرة تحليل رياضي}}

[[تصنيف:دوال توافقية]]
[[تصنيف:أوغستان لوي كوشي]]
[[تصنيف:برنارد ريمان]]
[[تصنيف:تحليل مركب]]
[[تصنيف:معادلات]]
[[تصنيف:معادلات تفاضلية جزئية]]