عرض مصدر معادلات حركة المكبس

{{لا مصدر|تاريخ=يناير 2022}}
{{يتيمة|تاريخ=مارس 2016}}

[[ملف:Piston and connecting rod.jpg|تصغير|المكبس (أعلى) وذراع التوصيل في مكبس آلة.]]
يمكن التعبير عن حركة [[مكبس (محركات)|المكابس]] الموصلة [[مرفق (آلية)|بعمود المرفق]] من خلال [[ذراع توصيل|ذراع التوصيل]] كما يوجد في [[محرك احتراق داخلي|محركات الاحتراق الداخلي]] من خلال بعض [[معادلة رياضية|المعادلات الرياضية]] ونناقش في هذه المقالة كيف تم استنتاج تلك المعادلات ومثال تصويري لها.

== هندسة عمود المرفق ==
[[ملف:Piston motion geometry.png|تصغير|500px|يسار|رسم توضيحي يُظهر تخطيطًا هندسيًا لوصلة المكبس وعمود المرفق ومركز عمود المرفق]]
=== التعريفات ===
''l'' = طول [[ذراع توصيل|ذراع التوصيل]] (المسافة بين وصلة المكبس ووصلة عمود المرفق)<br />
''r'' = [[نصف القطر|نصف قطر]] [[مرفق (آلية)|عمود المرفق]] (المسافة بين وصلة عمود المرفق ومركز عمودالمرفق أو نصف الشوط)<br />
''A'' = زاوية عمودالمرفق (مُقاسة من مركز [[قطر إسطوانة (محرك)|قطر]] [[أسطوانة (محرك)|الاسطوانة]] عند [[نقطة ميتة (هندسة)|النقطة الميتة العليا]]<br />
''x'' = موضع وصلة المكبس (أعلي مركز عمود المرفق علي طول مركز قطر الاسطوانة)<br />
''v'' =سرعة المكبس.<br />
''a'' =[[تسارع]] المكبس داخل الاسطوانة.<br />
''ω'' =[[سرعة زاوية|السرعة الزاوية]] لعمود المرفق مُقاسة بوحدة راديان لكل ثانية (rad/sec).

=== السرعة الزاوية ===
[[سرعة زاوية|السرعة الزاوية]] [[مرفق (آلية)|لعمود المرفق]] مرتبطة بعدد دورات المحرك [[دورة في الدقيقة|لكل دقيقة]] وتُحسب من العلاقة الآتية
:<math>\omega= \frac{2\pi\cdot \mathrm{RPM}}{60} </math>

=== العلاقة المثلثية ===
كما هو موضح في الشكل التوضيحي فإن وضع كل من وصلة عمود المرفق ومركز عمود المرفق ووصلة المكبس يشكلوا مثلثًا، وباستخدام [[قانون جيب التمام]] يتضح أن
:<math> l^2 = r^2 + x^2 - 2\cdot r\cdot x\cdot\cos A </math>
== المعادلات بالنسبة للوضع الزاوي (المجال الزاوية) ==

المعادلات التالية توضح الحركة الترددية لمكبس بالنسبة لزاوية عمود المرفق، وموضح أيضًا ببعض الصور التوضيحية أمثلة لبعض من تلك المعادلات.
=== وضع المكبس ===
يمكن استنتاج معادلة توضح وضع المكبس بالنسبة لزاوية عمود المرفق كالتالي

:<math> l^2 - r^2 = x^2 - 2\cdot r\cdot x\cdot\cos A </math>
:<math> l^2 - r^2 = x^2 - 2\cdot r\cdot x\cdot\cos A + r^2[(\cos^2 A + \sin^2 A) - 1]</math>
:<math> l^2 - r^2 + r^2 - r^2\sin^2 A = x^2 - 2\cdot r\cdot x\cdot\cos A + r^2 \cos^2 A</math>
:<math> l^2 - r^2\sin^2 A = (x - r \cdot \cos A)^2</math>
:<math> x - r \cdot \cos A = \sqrt{l^2 - r^2\sin^2 A}</math>

وبالتالي تكون ال[[معادلة رياضية|معادلة]] هي
:<math> x  = r\cos A  + \sqrt{l^2 - r^2\sin^2 A} </math>

=== سرعة المكبس ===
يمكن التعبير عن سرعة المكبس بالنسبة ل[[زاوية (توضيح)|زاوية]] [[عمود (توضيح)|عمود]] ال[[مرفق]] من المعادلات التالية (باستخدام [[مشتق (رياضيات)|المشتقة]] الأولي لمعادلة موضع المكبس السابقة وتطبيق [[قاعدة السلسلة]])
:<math>
\begin{array}{lcl}
 x' & = & \frac{dx}{dA}     \\
    & = & -r\sin A + \frac{(\frac{1}{2}).(-2). r^2 \sin A \cos A}{\sqrt{l^2-r^2\sin^2 A}} \\
    & = & -r\sin A - \frac{r^2\sin A \cos A}{\sqrt{l^2-r^2\sin^2 A}}  
\end{array}
</math>

=== التسارع (العجلة) ===
يمكن استنتاج [[معادلة رياضية|معادلة]] ل[[تسارع]] مكبس المحرك بالنسبة لزاوية عمود المرفق (باستخدام [[مشتق (رياضيات)|المشتقة]] الثانية ل[[معادلة رياضية|معادلة]] [[موضع (توضيح)|موضع]] المكبس السابقة وتطبيق [[قاعدة السلسلة]])
:<math>
\begin{array}{lcl}
 x'' & = & \frac{d^2x}{dA^2}     \\
     & = & -r\cos A - \frac{r^2\cos^2 A}{\sqrt{l^2-r^2\sin^2 A}}-\frac{-r^2\sin^2 A}{\sqrt{l^2-r^2\sin^2 A}} - \frac{r^2\sin A \cos A .(-\frac{1}{2})\cdot(-2).r^2\sin A\cos A}{\left (\sqrt{l^2-r^2\sin^2 A} \right )^3} \\
     & = & -r\cos A - \frac{r^2(\cos^2 A -\sin^2 A)}{\sqrt{l^2-r^2\sin^2 A}}-\frac{r^4\sin^2 A \cos^2 A}{\left (\sqrt{l^2-r^2 \sin^2 A}\right )^3}
\end{array} 
</math>

== المعادلات بالنسبة إلى الزمن (المجال الزمني) ==
=== مشتقات السرعة الزاوية ===
إذا كانت ال[[سرعة]] ال[[زاوية (توضيح)|زاوية]] ثابتة فإن
:<math>A = \omega t \,</math>
ويمكن حينئذ تطبيق العلاقات التالية:

:<math> \frac{dA}{dt} = \omega  </math>

:<math> \frac{d^2 A}{dt^2} = 0 </math>

=== التحويل من المجال الزاوي إلي المجال الزمني ===
المعادلات التالية توضح ال[[حركة (توضيح)|حركة]] الترددية للمكبس بالنسبة إلي ال[[زمن]].

إذا كان مطلوبًا التعامل مع المجال الزمني بدلًا من المجال الزاوي فإن أولًا يتم استبدال A ب''ω''t في المعادلات السابقة ومن ثم يتم عمل [[مقياس (توضيح)|مقياس]] لل[[سرعة]] ال[[زاوية (توضيح)|زاوية]] كالتالي:
=== موضع المكبس ===
موضع المكبس بالنسبة للزمن ببساطة:
:<math>x \,</math>

=== سرعة المكبس ===
سرعة المكبس بالنسبة للزمن (بتطبيق [[قاعدة السلسلة):
:<math>
\begin{array}{lcl}
  v & = & \frac{dx}{dt} \\
    & = & \frac{dx}{dA} \cdot \frac{dA}{dt} \\
    & = & \frac{dx}{dA} \cdot\ \omega \\
    & = & x' \cdot \omega \\
\end{array}
</math>

=== تسارع المكبس ===
[[تسارع]] حركة المكبس بالنسبة للزمن يمكننا الحصول علي معادلة لها كالآتي (بتطبيق [[قاعدة السلسلة]] و[[قاعدة الضرب]] وباستخدام [[مشتق (رياضيات)|مشتقات]] السرعة الزاوية):
:<math>
\begin{array}{lcl}
  a & = & \frac{d^2x}{dt^2}     \\
    & = & \frac{d}{dt} \frac{dx}{dt} \\
    & = & \frac{d}{dt} (\frac{dx}{dA} \cdot \frac{dA}{dt}) \\
    & = & \frac{d}{dt} (\frac{dx}{dA}) \cdot \frac{dA}{dt} + \frac{dx}{dA} \cdot \frac{d}{dt} (\frac{dA}{dt}) \\
    & = & \frac{d}{dA} (\frac{dx}{dA}) \cdot (\frac{dA}{dt})^2 + \frac{dx}{dA} \cdot \frac{d^2A}{dt^2} \\
    & = & \frac{d^2x}{dA^2} \cdot (\frac{dA}{dt})^2 + \frac{dx}{dA} \cdot \frac{d^2A}{dt^2} \\
    & = & \frac{d^2x}{dA^2} \cdot \omega^2 + \frac{dx}{dA} \cdot 0 \\
    & = & x'' \cdot \omega^2 \\
\end{array}
</math>

=== مقياس للسرعة الزاوية ===
كما لاحظنا أن x بدون مقياس، أما x' تم قياسها بالنسبة ل ''ω'' و x" تم قياسها بالنسبة ل''ω''². <br />
لتحويل من سرعة بالنسبة للزاوية ([[بوصة|إنش]]/[[راديان]]) إلي سرعة بالنسبة للزمن ([[بوصة|إنش]]/ثانية) يتم ضرب x' في ''ω'' ([[راديان]]/ثانية). <br />
ولتحويل x«من ال[[تسارع]] بالنسبة للزاوية ([[بوصة|إنش]]/[[راديان]]²) إلي تسارع بالنسبة إلي الزمن (بوصة/ثانية ²) يتم ضرب x» في ''ω''² [rad²/s²].

* ونلاحظ أنه باستخدام [[تحليل بعدي|بالتحليل البعدي]] فنجد أن الوحدات متسقة.

== السرعة القصوى والصغرى ==
=== التسارع بدون عبور ===
السرعة [[النقاط الحدية|العظمى والصغرى]] لا تحدث عندما تكون قيم زاوية عمود المرفق ''(A)'' أكبر من أو أقل من 90°.

والسرعة العظمي والصغري تحدث عند الزواية التي تعتمد علي طول [[ذراع توصيل|ذراع التوصيل]] ''(l)'' ونص طول الشوط ''(r)''، وتطابق زوايا عمود المرفق عندما يكون التسارع يساوي صفرًا (المرور بالمحور الأفقي).

=== زاوية عمود المرفق وذراع التوصيل ليست قائمة ===
السرعة العظمي والصغري لا تحدث بالضرورة عندما يكون عمود المرفق في وضع عمودي مع ذراع التوصيل (بينهما زاوية قائمة)، وهناك أمثلة مضادة تضحد تلك الفكرة بأن السرعة القصوي والصغري ربما تحدث عندما تكون الزاوية قائمة بين ذراع التوصيل وعمود المرفق.

=== مثال ===
عندما يكون عندنا ذراع توصيل بطول 6 إنش ونصف قطر عمود المرفق 2 إنش فإنه بحل معادلة التسارع رياضيًا عند وضع عدم الاجتياز نجد أن السرعة القصوي والصغري تحدث عند زاوية عمود المرفق ±73.17615°.

من ثم، باستخدام [[قانون الجيب]] المثلثي نجد أن عمود المرفق وذراع التوصيل يصنعان زاوية تُقدر ب88.21738° وأن الزاية الرأسية لذراع التوصيل هي 18.60647°.<br />
ومن الواضح من هذ المثال أن الزاوية غير قائمة بين عمود المرفق وذراع التوصيل.

(للتأكد من زوايا المثلث عندئذ 88.21738° + 18.60647° + 73.17615° = 180.00000°)

ومثال واحد مضاد يكفي لضحد مقولة أن السرعة القصوي والصغري لا تحدثان إلا عند الزاوية القائمة بين عمود المرفق وذراع التوصيل.

== رسم بياني لحركة المكبس ==
الرسم البياني التالي يوضح x, x', x" بالنسبة لزاوية عمود المرفق وبأطوال أشواط مختلفة حيث L = طول ذراع التوصيل ''(l)'' و R = نصف طول الشوط ''(r)'':
[[ملف:Graph of Piston Motion.png|تصغير|800px|مركز|وحدات المحور الرأسي [[بوصة|البوصة]] للموضع و (بوصة/راديان) للسرعة و (بوصة/راديان²) للتسارع.<br />
وحدات المحور الأفقي هي [[درجة (زاوية)|الدرجة]] لزاوية عمود المرفق]]
{{-}}

رسم متحرك يوضح حركة المكابس بنفس قيم طول ذراع التوصيل ونصف قطر عمود المرفق في الرسم السابق:
[[ملف:TRUE piston3 ANI.gif|مركز|رسم متحرك لحركة المكابس بقيم مختلفة لأطوال الشوط|إطار]]
{{-}}

== انظر أيضًا ==
* [[محرك متردد]]
* [[محرك احتراق داخلي]]

== مراجع ==

{{مراجع}}
{{شريط بوابات|هندسة ميكانيكية}}

[[تصنيف:تقانة المحركات]]
[[تصنيف:محركات احتراق داخلي مكبسية]]
[[تصنيف:معادلات]]
[[تصنيف:هندسة الميكانيك]]