عرض مصدر معادلات الحقل لأينشتاين

{{بطاقة عامة}}
{{النسبية العامة|موضوع س=معادلات}}
'''معادلات الحقل لأينشتاين''' ('''EFE''') أو '''معادلات أينشتاين ''' هي مجموعة عشر معادلات في نظرية [[ألبرت أينشتاين]] [[النسبية العامة|للنسبية العامة]] والتي تصف [[قوة أساسية|التآثر الأساسي]] في [[جاذبية (توضيح)|الجاذبية]] جراء [[انحناء|تقوس]] [[زمكان|الزمكان]] مع كل من [[مادة|المادة]] و[[طاقة|الطاقة]].<ref name = ein>{{استشهاد بدورية محكمة| الأخير = Einstein| الأول = Albert| مؤلف-وصلة = | عنوان = مبدأ نظرية النسبية العامة -The Foundation of the General Theory of Relativity| صحيفة = [[Annalen der Physik]]| المجلد =  | العدد = | صفحات = | تاريخ = 1916| ناشر = | مسار = http://www.alberteinstein.info/gallery/gtext3.html| صيغة = [[صيغة المستندات المنقولة|نسق المستندات المنقولة]] | المعرف = | تاريخ الوصول =  أغسطس 2020 |مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20120206225139/http://www.alberteinstein.info:80/gallery/gtext3.html|تاريخ أرشيف=2012-02-06|حالة المسار=dead}}</ref> نشرت بداية بواسطة أينشتاين في 1915<ref name=Ein1915>{{استشهاد بدورية محكمة|الأخير=Einstein| الأول=Albert| مؤلف-وصلة = Albert Einstein| تاريخ=نوفمبر 25, 1915| عنوان=Die Feldgleichungen der Gravitation| صحيفة=Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin| صفحات=844–847 | مسار= http://nausikaa2.mpiwg-berlin.mpg.de/cgi-bin/toc/toc.x.cgi?dir=6E3MAXK4&step=thumb | تاريخ الوصول=2006-09-12|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20161027044950/http://nausikaa2.mpiwg-berlin.mpg.de/cgi-bin/toc/toc.x.cgi?dir=6E3MAXK4|تاريخ أرشيف=2016-10-27}}</ref> على أنها [[معادلة موتر]]، تعادل EFE [[انحناء]] الزمكان (يعبر عنها ب [[موتر آينشتين]]) مع الطاقة و[[زخم الحركة|كمية التحرك]] ضمن ذلك الزمكان (المعبر عنها ب[[موتر الإجهاد-الطاقة]]).

وبشكل مشابه لكيفية إيجاد [[مجال كهرومغناطيسي|المجالات الكهرومغنطيسية]] باستعمال [[شحنة كهربائية|الشحنات]] و[[تيار كهربائي|التيارات]] من خلال [[معادلات ماكسويل]], تستعمل EFE لإيجاد الهندسة الفضائية [[زمكان|للزمكان]] من وجود الكتلة-والطاقة وكمية التحرك الخطي، أي أنها تعطي [[الموتر المتري]] للزمكان بدلالة ترتيب من الإجهاد-والطاقة في الزمكان. تسمح العلاقة بين [[موتر متري|الموتر المتري]] وموتر آينشتين بكتابة معادلات آينشتين كمجموعة من معادلات تفاضلية لاخطية عند استخدامها بهذه الطريقة.حلول EFE تمثل مركبات الموتر المتري. المقذوفات العطالية للجسيمات و[[علم تقسيم الأرض|جيوديسيا]] الإشعاع في [[هندسة تحليلية|الهندسة التحليلية]] الناتجة تحسب بعد ذلك باستعمال [[جيوديسي|المعادلة الجيوديسية]].

إضافة لامتثالها لقوانين بقاء كمية التحرك-والطاقة، تنخفض EFE إلى [[قانون الجذب العام لنيوتن]] حيثما يكون المجال الثقالي ضعيفاً والسرعات أقل بكثير من سرعة الضوء.<ref name=Carroll>{{استشهاد بكتاب|الأخير=Carroll| الأول=Sean| مؤلف-وصلة = Sean M. Carroll| سنة=2004| عنوان=Spacetime and Geometry - An Introduction to General Relativity| صفحات=151–159 | الرقم المعياري=0-8053-8732-3}}</ref>

تتضمن الحلول التقنية لمعادلات آينشتين للمجال تبسيط الفرضيات مثل [[تماثل الفضاء والزمان|التماثل]]. الفصول الخاصة بالحلول الدقيقة تدرس غالباً عندما تمثل بنماذج ذات ظواهر ثقالية عديدة، مثل [[ثقب أسود|الثقوب السوداء]] الدوارة والتوسع الكوني.

يمكن الحصول على تبسيطات أفضل بتقريب الزمكان الفعلي [[فضاء مينكوفسكي|كزمكان مسطح]] ذي انحراف صغير خالصين إلى [[ثقالة خطية|EFE خطي]]. تستعمل هذه المعادلات لدراسة ظواهر مثل [[موجة ثقالية|الموجات الثقالية]].

== الصورة الرياضياتية ==
{{زمكان}}

يمكن كتابة معادلات آينشتين للمجال (EFE) على الصورة:<ref name="ein"/><ref>{{استشهاد بكتاب|عنوان=Einstein's General Theory of Relativity: With Modern Applications in Cosmology |طبعة=illustrated |الأول1=Øyvind |الأخير1=Grøn |الأول2=Sigbjorn |الأخير2=Hervik |ناشر=Springer Science & Business Media |سنة=2007 |isbn=978-0-387-69200-5 |صفحة=180 |مسار=https://books.google.com/books?id=IyJhCHAryuUC&pg=PA180| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20170408001535/https://books.google.com/books?id=IyJhCHAryuUC | تاريخ أرشيف = 8 أبريل 2017 }}</ref>
{{Equation box 1
|indent =:
|equation = <math>R_{\mu \nu} - \tfrac{1}{2}R \, g_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G }{c^4} T_{\mu \nu}</math>
|cellpadding
|border
|border colour = #50C878
|background colour = #ECFCF4}}
[[ملف:EinsteinLeiden4.jpg|280px|تصغير|يسار|معادلات حقل أينشتاين على حائط في [[لايدن|ليدن]] بهولندا]]
حيث <math>R_{\mu \nu}\,</math> تمثل [[انحناء ريكسي]]، <math>R\,</math> [[انحناء قياسي]]، <math>g_{\mu \nu}\,</math> [[موتر متري|الموتر المتري]]، <math>\Lambda\,</math> يمثل [[ثابت كوني]]، <math>G\,</math> [[ثابت الجاذبية|ثابت الجذب العام]]، <math>c\,</math> هي [[سرعة الضوء]]، و<math>T_{\mu \nu}\,</math> [[موتر انفعال-طاقة]].

EFE هي معادلة [[موتر]] تربط بين مجموعة من [[موتر تماثلي|موترات 4 x 4 تماثلية]]، تكتب باستعمال [[علامة معامل مجردة]]. لكل موتر توجد 10 مركبات مستقلة. بمعلومية حرية الاختيار لإحداثيات الزمكان الأربعة، تنخفض المعادلات المستقلة إلى 6 عددياً.

بالرغم من أن معادلات آينشتين للمجال تمت صياغتها في السياق بداية من نظرية رباعية الأبعاد، فقد قام بعض النظريين بتوسيع نتائجها إلى
''n'' من الأبعاد. المعادلات في السياق خارج النسبية العامة لا زال يشار إليها بمعادلات آينشتين للمجال. تقوم معادلات مجال الفراغ بتعريف [[تشعب آينشتين|تشعبات آينشتين]].

بالرغم من المنظر البسيط الذي تبدو عليه المعادلات، إلّا أنها معقدة في الواقع. إذا علم توزيع معين للمادة والطاقة على هيئة [[موتر إجهاد-طاقة]] فإن EFE تفهم على أنها معادلاتان للموتر المتري <math>g_{\mu \nu}</math>، لما كانت كلتيهما موتر ريكسي والانحناء القياسي معتمدة على على المتري بطريقة لا خطية معقدة، في الحقيقة، عند كتابتها كلياً، فإنEFE تمثل منظومة من 10 [[معادلة تفاضلية جزئية|معادلات تفاضلية جزئية]]، مرتبطة لا خطية، مكافئة-بيضوية.

يمكن للمرء كتابة EFE بصورة أكثر اندماجية بتعريف [[موتر آينشتين]]
:<math>G_{\mu \nu} = R_{\mu \nu} - {1 \over 2}R  g_{\mu \nu},</math>

وهو مؤثر تماثلي من الرتبة الثانية بشكل دالة في المتري. يمكن حينئذ كتابة EFE بالصورة
:<math>G_{\mu \nu} = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu  \nu},</math>

حيث تم اختزال الحد الكوني إلى موتر إجهاد-طاقة في [[طاقة مظلمة]].

باستعمال [[وحدات هندسية]] حيث ''G'' = ''c'' = 1, يمكن إعادة كتابتها كما يلي
:<math>G_{\mu  \nu} = 8 \pi T_{\mu \nu}\,.</math>

التعبير الأيسر يمثل تقوس الفضاء والزمان ([[زمكان|الزمكان]]) الذي يتم إيجاده من المتري بينما التعبير على الطرف الأيمن يمثل محتوى الطاقة\المادة من الزمكان. بالتالي يمكن تفسير EFE كمجموعة من المعادلات تملي علينا كيفية ارتباط تقوس الزمكان بمحتوى المادة\الطاقة في الكون.

هذه المعادلات مع [[جيوديسيا (النسبية العامة)|المعادلة الجيوديسية]], تشل نواة [[رياضيات النسبية العامة|التصييغ الرياضياتي]] في [[النسبية العامة]].

=== اصطلاح الإشارة ===
يمثل الشكل السابق من EFE المعيار الذي تم تأسيسه في [[ثقالة (كتاب)|كتاب مسنر, ثورن, وويلر]]. قام المؤلفون بتحليل جميع الاصطلاحات الموجودة وصنفوها وفقاً للأإشارات الثلاث التاليةS1, S2, S3:
:<math>g_{\mu  \nu}~~=[S1] \times \operatorname{diag}(-1,+1,+1,+1) </math>
:<math>{R^\mu}_{a \beta \gamma}=[S2] \times  (\Gamma^\mu_{a \gamma,\beta}-\Gamma^\mu_{a  \beta,\gamma}+\Gamma^\mu_{\sigma \beta}\Gamma^\sigma_{\gamma a}-\Gamma^\mu_{\sigma  \gamma}\Gamma^\sigma_{\beta a}) </math>
:<math>G_{\mu \nu}~~=[S3] \times {8 \pi G \over  c^4} T_{\mu \nu} </math>

الإشارة الثالثة أعلاه تتعلق باختيار الاصطلاح لموتر ريكسي:
:<math>R_{\mu \nu}=[S2]\times [S3] \times  {R^a}_{\mu a \nu} </math>

حيث أن هذه التعريفات [[ثقالة (كتاب)|كتاب مسنر, ثورن, وويلر]] تصنف نفسها على أنها <math>(+++)\,</math>, حيث Weinberg (1972) هي <math>(+--)\,</math>, Peebles (1980) وEfstathiou (1990) هي <math>(-++)\,</math> بينما Peacock (1994), Rindler (1977), Atwater (1974), Collins Martin & Squires (1989) هي <math>(-+-)\,</math>.

استخدم المؤلفون بما فيهم آينشتين إشارة مختلفة في تعريفهم لموتر ريكسي والذي نتج عنه أن أصبحت إشارة الثابت على الطرف الأيمن سالبة
:<math>R_{\mu  \nu} - {1  \over 2}g_{\mu \nu}\,R - g_{\mu \nu} \Lambda = -{8 \pi G \over c^4} T_{\mu  \nu}.</math>

إشارة الحد الكوني (الصغير جداً) قد تتغير في كل هذه الإصدارات، إذا استعملنا [[اصطلاح الإشارة]] المتري +--- بدلاً عن MTW −+++ اصطلاح الإشارة المتري المتبنى هنا.

=== صيغ مكافئة ===
يمكن كتابة معادلات آينشتين للمجال بالصورة (التقفي العكسي) المكافئة التالية:

:<math>R_{\mu \nu} - g_{\mu \nu} \Lambda = {8 \pi G \over  c^4} (T_{\mu \nu} -  {1 \over 2}T\,g_{\mu \nu})</math>

والتي يمكن أن تكون أكثر ملائمة في بعض الأحيان (مثلاً، عندما يهتم المرء بحد المجال الضعيف ويمكنه إبدال <math>g_{\mu\nu}</math> in التعبير على الطرف الأيمن بموتر مينكوسكي دونما فقد ملحوظ للدقة).

== الثابت الكوني ==
قام آينشتين بتعديل معادلاته الأصلية للمجال كي تتضمن حداً كونياً متناسباً مع [[متري (رياضيات)|المتري]]
:<math>R_{\mu  \nu} - {1  \over 2}g_{\mu \nu}\,R + g_{\mu \nu} \Lambda = {8 \pi G \over c^4}  T_{\mu \nu} \,.</math>

الثابت <math>\Lambda</math> يعد [[ثابت كوني]]. لأن <math>\Lambda</math> ثابتاً، فلن يتأثر مبدأ حفظ الطاقة.

ثابت الحد الكوني كان آينشتين قد قدمه أصلاً لوصف كون ساكن (بمعنى أنه لا يتمدد ولا ينكمش). لم يكن هذا المجهود ناجحاً لسببين: الكون الساكن في هذه النظرية لم يكن مستقراً حيث أكدت مراقبة المجرات البعيدة بواسطة [[هوبل]] بعد عقد من الزمن أن كوننا ليس ساكناُ في الحقيقة بل أنه [[كون متمدد|يتوسع]]. بالتالي تم التخلي عن <math>\Lambda</math>، والتي أطلق علها آينشتين "أفضع خطأ فادح أرتكبه".<ref name = gamow>{{استشهاد بكتاب|  الأخير = Gamow| الأول = George| مؤلف-وصلة = George Gamow| عنوان = My  World Line : An Informal Autobiography| ناشر = [[فايكينج بريس]]|  تاريخ = April 28, 1970| الرقم المعياري = 0670503762| مسار = http://www.jb.man.ac.uk/~jpl/cosmo/blunder.html|  تاريخ الوصول = 2007-03-14|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20190516020201/http://www.jb.man.ac.uk:80/~jpl/cosmo/blunder.html|تاريخ أرشيف=2019-05-16}}</ref> ولأعوام عديدة ظل الثابت الكوني متفق على أنه 0 تقريباً.

بعيداً عن حماسة [[ألبرت أينشتاين|آينشتين]]'المضللة في تقديم حد الثابت الكوني، لايوجد ما يتعارض مع حد كهذا في المعادلة. في الواقع، هناك تقنيات [[علم الفلك|فلكية]] متطورة حديثة قد وجدت أن القيمة الموجبة لـ <math>\Lambda</math> ضرورية لتفسير بعض المشاهد.<ref name=wahl>{{استشهاد بخبر|الأخير=Wahl| الأول=Nicolle|  تاريخ=2005-11-22| عنوان=Was  Einstein's 'biggest blunder' a stellar success?| مسار=http://www.news.utoronto.ca/bin6/051122-1839.asp  | تاريخ الوصول=2007-03-14| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20080510133659/http://www.news.utoronto.ca/bin6/051122-1839.asp | تاريخ أرشيف = 10 مايو 2008 }}</ref><ref name=turner>{{استشهاد بدورية محكمة|الأخير=Turner  | الأول=Michael S.| تاريخ=May, 2001| عنوان=A Spacetime Odyssey|  صحيفة=Int.J.Mod.Phys. A17S1| صفحات=180–196 | تاريخ الوصول=2007-03-14|مسار= http://arxiv.org/abs/astro-ph/0202008|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20190725024426/https://arxiv.org/abs/astro-ph/0202008|تاريخ أرشيف=2019-07-25}}</ref>

كان آينشتين يعتقد بأن الثابت الكوني ويسيط مستقل، لكن حده في المعادلة يمكن أن ينتقل أيضاً إلى الطرف الآخر جبرياً، المكتوب كجزء من موتر الإجهاد-الطاقة:
:<math>T_{\mu \nu}^{\mathrm{(vac)}} = - \frac{\Lambda c^4}{8 \pi G} g_{\mu \nu}  \,.</math>

تعتبر [[طاقة الفراغ]] ثابتة بالعلاقة
:<math>\rho_{\mathrm{vac}} = \frac{\Lambda c^2}{8 \pi  G}</math>

بالتالي فإن وجود ثابت كوني ذا طاقة فراغ لا صفرية.اليوم تستعمل الحدود في النسبية العامة بشكل تبادلي.

== خصائص ==
=== حفظ الطاقة وكمية الحركة ===
النسبية العامة متطابقة مع مبدأي حفظ الطاقة كمية الحركة المحلية المعبر عنهما بالعلاقات

:<math>\nabla_b T^{ab}  \,  = T^{ab}{}_{;b}  \, =  0</math>.

<div style="clear:both;width:65%;" class="NavFrame">
<div class="NavHead" style="background-color:#FFFAF0; text-align:right; font-size:larger;">اشتقاق انحفاظية الطاقة-كمية التحرك المحلية </div>
<div class="NavContent" style="text-align:right;">

بتقليص [[موتر تقوس ريمان#المتماثلات والمتطابقات|متطابقة بيانشي التفاضلية]]

:<math>R_{ab[cd;e]}   =  \,  0</math>

مع <math>g^{ac}</math> نحصل على, وبفضل الحقيقة القائلة أن الموتر المتري هو ثابت تبايني، أي<math>g^{ab}{}_{;c}=0</math>,

:<math>R^c{}_{bcd;e} +  \,  R^c{}_{bec;d} +  \,   R^c{}_{bde;c} =  \,  0</math>

يسمح نقيض تماثل موتر ريمان للحد الثاني في التعبير السابق بإعادة كتابته على الصورة:

:<math>R^c{}_{bcd;e}   \, -   R^c{}_{bce;d}  \,  +  R^c{}_{bde;c}  \, = 0</math>

وهي مكافئة للعلاقة

:<math>R_{bd;e}   \, -  R_{be;d}  \, + R^c{}_{bde;c} \,  = 0</math>

باستعمال تعريف[[موتر ريكسي]].

بالاختصار مرة أخرى بالمتري

:<math>g^{bd}(R_{bd;e}   \, -   R_{be;d}  \, +  R^c{}_{bde;c})  \, = 0</math>

لتحصيل

:<math>R^d{}_{d;e}  \, -  R^d{}_{e;d}   \, +  R^{cd}{}_{de;c}  \, = 0</math>

تعريفات موتر ريمان وقياسي ريكسي تبين لنا أن

:<math>R_{,e}  \, -  2R^c{}_{e;c} \,  = 0</math>

ويمكن إعادة كتابتها بالصورة

:<math>(R^c{}_{e}   \,  -   \frac{1}{2}g^c{}_{e}R)_{;c}  \,  = 0</math>

اختصار أخير <math>g^{ed}</math> يعطي

:<math>(R^{cd}  \,  -  \frac{1}{2}g^{cd}R)_{;c}  \,  = 0</math>

والتي تعطينا من التماثل بين الحاصرتين وتعريف [[موتر آينشتي]]ن -بعد إعادة عنونة المعاملات

:<math> G^{ab}{}_{;b}  \, = 0 </math>

باستعمال EFE, يعطينا هذا مباشرة

:<math>\nabla_b  T^{ab}  \,  = T^{ab}{}_{;b}  \, = 0</math>

</div>
</div>

وهي تعبر عن بقاء الطاقة-الإجهاد. يعد قانون البقاء هذا متطلباً فيزيائياً. بفضل معادلاته للمجال تأكد آينشتين بأن النسبية العامة متوافقة مع شرط البقاء هذا.

=== اللاخطية ===

إن عدم خطية معادلات آينشتين للمجال يميز النسبية العامة عن نظريات فيزيائية أخرى عديدة. على سبيل المثال، [[معادلات ماكسويل]] [[كهرومغناطيسية|للكهرومغنطيسية]] تكون خطية في توزيعات [[حقل كهربائي|المجال الكهربائي]] و[[حقل مغناطيسي|المجال المغناطيسي]] و[[الشحنة (توضيح)|الشحنة]] و[[تيار (توضيح)|التيار]]. (أي أن مجموع الحلين هو حل أيضاً); مثال آخر هو [[معادلة شرودنغر|معادلة شرودنجر]] في [[ميكانيكا الكم]] والتي هي خطية في [[دالة موجية|دالة الموجة]].

=== مبدأ التوافق ===
تنخفض EFE إلى [[قانون الجذب العام لنيوتن]] باستعمال كل من [[تقريب المجال الضعيف]] و[[نهاية كلاسيكية|تقريب الحركة البطيئة]]. في الواقع، الثابت الذي يظهر في EFE نحصل عليه بفعل هذين التقريبين.

<div style="clear:both;width:65%;" class="NavFrame">
<div class="NavHead" style="background-color:#FFFAF0; text-align:right; font-size:larger;">اشتقاق قانون الجذب العام لنيوتن</div>
<div class="NavContent" style="text-align:right;">

يمكن صياغة الجاذبية النيوتينية كنظرية مجال قياسي، <math>\Phi \!</math>، والتي هي توتر الجاذبية بوحدات الجول لكل كيلوغرام.
:<math>\nabla^2 \Phi [\vec{x},t] = 4 \pi G \rho  [\vec{x},t]</math>

حيث<math>\rho \!</math> كثافة الكتلة. يحقق مدار [[سقوط حر (توضيح)|السقوط الحر]] العلاقة
:<math>\ddot{\vec{x}}[t] = - \nabla \Phi  [\vec{x} [t],t] \,.</math>
، بعلامات الموتر تصبح
:<math>\Phi_{,i  i} = 4 \pi G \rho \,</math>
:<math>\frac{d^2 x^i}{{d t}^2} = - \Phi_{,i} \,.</math>

تستبدل هذه المعادلات في النسبية العامة بمعادلات مجال آينشتين بصورة انعكاس الأثر
:<math>R_{\mu  \nu} = K (T_{\mu \nu} - {1 \over 2} T g_{\mu \nu})</math>

لثابت ما، ''K''، و [[معادلة جيوديسية]]
:<math>\frac{d^2 x^\alpha}{{d \tau}^2} = - \Gamma^\alpha_{\beta \gamma} \frac{d  x^\beta}{d \tau} \frac{d x^\gamma}{d \tau} \,.</math>

لتوضيح كيفية اختصار هذه الأخيرة، إلى السابقة نفترض أن سرعة عينة الجسيم هي صفر تقريبا:
:<math>\frac{d  x^\beta}{d \tau} \approx (\frac{d t}{d \tau}, 0, 0, 0) </math>

وعليه
:<math>\frac{d}{d t} \left(\frac{d t}{d \tau}  \right) \approx 0 </math>

والمتري ومشتقاته هي ساكنة تقريباً وأن مربعات الانحراف من [[متري منسكوسكي]] مهملة. بتطبيق فرضيات التبسيط هذه على المركبات المكانية للمعادلة الجيوديسية يعطينا
:<math>\frac{d^2  x^i}{{d t}^2} \approx - \Gamma^i_{0 0}  </math>

حيث أن عاملين من <math>\frac{d  t}{d \tau}</math> قد تمت قسمتهما. هذا يخفضها إلى نظيرتها النيوتنية، شريطة أن

:<math>\Phi_{,i} \approx \Gamma^i_{0 0} = {1 \over 2} g^{i \alpha} (g_{\alpha 0 , 0} + g_{0 \alpha , 0} - g_{0 0 , \alpha}) \,.</math>

افتراضاتنا تجبر مشتقات α=i والزمن (0) على البقاء أصفار. على هذا الأساس تتبسط إلى
:<math>2 \Phi_{,i} \approx g^{i j} (- g_{0 0 , j}) \approx - g_{0 0 , i} \,</math>

والتي تتحقق بوضع
:<math>g_{0 0} \approx - c^2 - 2 \Phi  \,.</math>

بموائمتها بمعادلات آينشتين، سنحتاج فقط لمركبة الزمن-الزمن
:<math>R_{0 0}  = K (T_{0 0} -  {1 \over 2} T g_{0 0})</math>

تقتضي افتراضات السرعات المنخفضة والمجال الساكن أن
:<math>T_{\mu  \nu} \approx \mathrm{diag} (T_{0 0}, 0, 0, 0) \approx \mathrm{diag}  (\rho c^4, 0, 0, 0) \,.</math>

إذن
:<math>T = g^{\alpha \beta} T_{\alpha \beta}  \approx g^{0 0} T_{0 0} \approx {-1 \over c^2} \rho c^4 = - \rho c^2  \,</math>

وبالتالي
:<math>K (T_{0 0} - {1 \over 2} T g_{0 0}) \approx K (\rho  c^4 - {1  \over 2} (-  \rho c^2) (-  c^2)) =  {1 \over 2} K \rho c^4 \,.</math>

من تعريف موتر ريكسي
:<math>
R_{0 0} = \Gamma^\rho_{0 0 , \rho} - \Gamma^\rho_{\rho 0 , 0}
+ \Gamma^\rho_{\rho \lambda} \Gamma^\lambda_{0 0}
- \Gamma^\rho_{0 \lambda} \Gamma^\lambda_{\rho 0}
.</math>

افتراضاتنا التبسيطية تنهي مربعات Γببعضها مع مشتقات الزمن
:<math>R_{0 0} \approx \Gamma^i_{0 0 , i} \,.</math>

بدمج المعادلات السابقة
:<math>\Phi_{,i i} \approx \Gamma^i_{0 0 , i} \approx R_{0 0} = K (T_{0 0} - {1 \over 2} T g_{0 0}) \approx {1 \over 2} K \rho c^4 \,</math>

والتي تنخفض إلى معادلة المجال النيوتيني بشرط
:<math>{1 \over 2} K \rho c^4 = 4 \pi G \rho  \,</math>

والذي سيتحقق إذا كان
:<math>K = \frac{8 \pi G}{c^4} \,.</math>

</div>
</div>

== المصادر ==
راجع [[النسبية العامة#المصادر|مصادر النسبية العامة]].

{{مراجع}}
* Aczel, Amir D., 1999. ''God's Equation: Einstein, Relativity, and the Expanding Universe''. Delta Science. A popular account.
* [[تشارلز ميزنر]]، [[كيب ثورن]], and [[جون أرتشيبالد ويلر]], 1973. ''[[Gravitation (book)|Gravitation]]''. W H Freeman.

== وصلات خارجية ==

* {{يوتيوب|8MWNs7Wfk84|محاضرة حول معادلات أينشتاين للمجال}} عبر [[معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا|معهد ماساتشوستس للتقنية]] أستاذ الفيزياء إدموند بيرشينغر.

{{مواضيع النسبية}}
{{ألبرت أينشتاين}}
{{ضبط استنادي}}
{{شريط بوابات|الفيزياء|علم الفلك|علم الكون}}

[[تصنيف:ألبرت أينشتاين]]
[[تصنيف:النسبية العامة]]
[[تصنيف:معادلات تفاضلية جزئية]]
[[تصنيف:معادلات فيزيائية]]