عرض مصدر مصفوفة مرافقة

{{يتيمة|تاريخ=ديسمبر 2019}}
'''المصفوفة المرافقة''' (بالإنجليزية: Comatrix) في [[جبر خطي|الجبر الخطي]] لمصفوفة مربعة <math>A</math> هي المصفوفة المربعة <math>com(A)</math> من نفس الحيز، كل عنصر<math>com(A)_{i,j}</math>، ويسمى بالعامل المرافق، فيها يكتب بدلالة [[محدد (رياضيات)|محدد]] المصفوفة الناتجة عن إلغاء السطر <math>i</math> والعمود <math>j</math> في <math>A</math>. إذا كانت <math>A</math> [[مصفوفة قابلة للعكس|قابلة للعكس]] ، فإن مصفوفتها المرافقة تمكن من حساب [[مصفوفة قابلة للعكس|المصفوفة العكسية]] ل <math>A</math>.<ref>{{استشهاد ويب
| مسار = http://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./c/comatrice.html
| عنوان = comatrice-bibmath
| تاريخ = 
| موقع = 
| ناشر = 
| تاريخ الوصول = 
| الأخير = 
| الأول = 
|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20191231000221/http://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./c/comatrice.html|تاريخ أرشيف=2019-12-31}}</ref>

في ما يلي، نعتبر <math>A</math> مصفوفة مربعة حيزها <math>n</math>، بعناصر في حلقة تبادلية <math>K</math>.

== تعريف ==
باعتبار مصفوفة مربعة <math>A</math>، حيزها <math>n</math> ، '''العامل المرافق''' ''<small>Cofactor</small>'' ذو الإحداثيات <math>(i,j)</math>، الذي هو العنصر <math>(i,j)</math> للمصفوفة المرافقة <math>com(A)</math>، يساوي:

<math>\left(\operatorname{com}A\right)_{i,j}:=\det\left(A'_{i,j}\right)=(-1)^{i+j}\det\left(A_{i,j}\right)</math> بحيث:

* <math>A'_{i,j}</math> هي المصفوفة المربعة التي حيزها <math>n</math> والمشكلة انطلاقا من <math>A</math>، عبر تعويض عناصر العمود <math>j</math> بأصفار باستثناء العنصر <math>(i,j)</math> الذي يعوض ب <math>1</math>.
* <math>A_{i,j}</math> هي المصفوفة المربعة التي حيزها <math>n-1</math> والمشكلة انطلاقا من <math>A</math>، عبر حذف العمود <math>j</math> والسطر <math>i</math>. [[محدد (رياضيات)|محدد]] <math>A_{i,j}</math> يشكل بالتالي عنصرا من مجموعة [[مختصر (جبر خطي)|مختصرات]] <math>A</math>.

== صيغ لابلاص ==
يمكن حساب [[محدد (رياضيات)|محدد]] مصفوفة مربعة <math>A</math> فقط انطلاقا من عناصر عمود (أو سطر) واحد ومن معاملاتها المرافقة. هذه الطريقة، المعروفة بصيغة لابلاص (نسبة إلى [[رياضيات|الرياضياتي]] الفرنسي [[بيير لابلاس|بيير لابلاص]]) تمكن من تحويل مسألة حساب [[محدد (رياضيات)|محدد]] من الرتبة <math>n</math> إلى <math>n</math> عملية حسابية [[محدد (رياضيات)|لمحددات]] من الرتبة <math>n-1</math>، وهو ما يشكل تبسيطا أو تخفيفا للعملية، على مستوى القدرة الحسابية.<ref>{{استشهاد ويب
| مسار = https://books.google.co.ma/books?id=x9Ml5YRIeEgC&pg=PA541&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false
| عنوان = Mathématiques L1: Cours complet avec 1 000 tests et exercices corrigés
| تاريخ = 
| موقع = 
| ناشر = 
| تاريخ الوصول = 
| الأخير = 
| الأول = 
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20200109210943/https://books.google.co.ma/books?id=x9Ml5YRIeEgC&pg=PA541&redir_esc=y | تاريخ أرشيف = 9 يناير 2020 }}</ref>
{| class="wikitable"
|+صيغ لابلاص لحساب المحددات باستعمال المصفوفات المرافقة
!البعد
!الصيغة
|-
|العمود <math>j</math>
|<math>\det A=\sum_{i=1}^na_{i;j}(\operatorname{com}A)_{i,j}</math>
|-
|السطر <math>i</math>
|<math>\det A=\sum_{j=1}^na_{i;j}(\operatorname{com}A)_{i,j}</math>
|}

== خاصيات ==

* المصفوفة المرافقة [[منقولة مصفوفة|لمنقولة]] <math>A</math> هي [[منقولة مصفوفة|منقولة]] مرافقتها: <math>com({}^tA)={}^tcom(A)</math>.
* عملية المرافقة ثابتة حسب عملية الجداء: بالنسبة لمصفوفتين مربعتين <math>A</math> و<math>B</math>: <math>com(AB)=com(A)\times com(B)</math>.
* إذا كان <math>K</math> حقلا تبادليا:
** إذا كانت <math>A</math> [[مصفوفة قابلة للعكس|قابلة للعكس]]، أي برتبة <math>n</math>، فإن <math>com(A)</math> أيضا [[مصفوفة قابلة للعكس|قابلة للعكس]].
** إذا كانت رتبة <math>A</math> تساوي <math>n-1</math> (مع <math>n\geq 2</math>): <math>rank(com(A))=1</math>.
** إذا كانت<math>rank(A)\leq n-2</math> (مع <math>n\geq 3</math>): <math>com(A)= 0</math>.

== أمثلة ==

=== مصفوفة حيزها <math>2\times 2</math> ===
<math>\operatorname{com}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} d & -b\\ -c& a \end{pmatrix}</math>

=== مصفوفة حيزها <math>3\times 3</math> ===
<math>\operatorname{com}\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & & a_{13}\\
                    a_{21} & a_{22} & & a_{23}\\
                    a_{31} & a_{32} & & a_{33}\\
                    \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 
+\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\  a_{32} & a_{33}\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\  a_{31} & a_{33}\end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\  a_{31} & a_{32}\end{vmatrix}\\
-\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\  a_{32} & a_{33}\end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\  a_{31} & a_{33}\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\  a_{31} & a_{32}\end{vmatrix}\\
+\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\  a_{22} & a_{23}\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\  a_{21} & a_{23}\end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\  a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}
\end{pmatrix}</math>

للتذكير، [[محدد (رياضيات)|فالمحدد]] يساوي: <math>\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} =ad-bc</math>.

== مراجع ==
{{مراجع}}{{شريط بوابات|جبر|رياضيات}}

[[تصنيف:محددات]]
[[تصنيف:مصفوفات]]
[[تصنيف:نظرية المصفوفات]]