عرض مصدر مصفوفة (رياضيات)

في [[رياضيات|الرياضيات]]، '''المصفوفة''' {{إنج|Matrix}} هي مجموعة [[مستطيل]]ة من [[عدد|الأعداد]] أو من [[رمز|الرموز]] أو من [[عبارة (رياضيات)|التعبيرات]] منتظمة بشكل أعمدة وصفوف. يُدعى كل عنصر من هذا المجموعة بعنصرٍ أو مدخلٍ للمصفوفة. فيما يلي، على سبيل المثال، مصفوفة تحتوي على صفين وعلى ثلاثة أعمدة:

::<math>
\begin{bmatrix}
1 & 9 & 13 \\
20 & 55 & 4
\end{bmatrix}
</math>

مثالا على المدخلات في المصفوفة أعلاه 1, 9, 13, 20, 55 ,4. يدل عادة على أي مدخل في مصفوفة ما باسم المصفوفة بحرف لاتيني صغير وأسفله رقمين صغيرين بحيث يمثل العدد الأول رقم الصف والثاني رقم العمود مثل الشكل المرفق.
ويعرف عدد الأسطر في عدد الأعمدة برتبة المصفوفة أو قياس المصفوفة. مثال ذلك المصفوفة المحتوية على 4 أسطر و 3 أعمدة قياسها هو 4*3 ويمكن إجراء عمليتي الجمع والطرح على المصفوفات المتساوية القياس. كما يمكن ضرب المصفوفات بأنسجام معين في القياس. ولهذه العمليات العديد من خصائص [[حساب|الحساب]] العادي، باستثناء أن ضرب المصفوفات ليس [[عملية تبديلية|بعملية تبديلية]]، وبشكل عام يمكن أن نقول أن A.B لا يساوي B.A. تعرف المصفوف المؤلفة من صف واحد أو عمود واحد [[متجه|بمتجه]]. أما المصفوفة ذات القياس الأكبر تعرف [[موتر|بموتر]].

تعتبر المصفوفات من إحدى أهم مفاتيح [[جبر خطي|الجبر الخطي]]. فيمكن أن تستخدم المصفوفات في حل [[نقل خطي|النقل الخطي]]. يتوافق ضرب المصفوفات مع النقل الخطي [[تركيب الدوال|الدالة المركبة]]. كما يمكن للمصفوفات تتبع [[فقه المعاملات في الإسلام|المعاملات]] في [[نظام معادلات خطية|نظام المعادلات الخطية]]

يمكن تعريف '''المصفوفة''' عامة على أنها [[دالة]] [[رياضيات|رياضية]] خطية تحول مجموعة بداية أي انطلاق (مجال) إلى مجموعة وصول أو نهاية (مدى). مجموعة الانطلاق والوصول يمكن أن تكون متكونة من [[عدد صحيح|أعداد صحيحة]] أو [[عدد مركب|عقدية]] أو أشعة من الأعداد كما يمكن أن تكون هاتان المجموعتان متكونة بدورها من دالات رياضية أو أشعة دالات رياضية. ويمكن أن نرمز للمصفوفة بمعقفين يكتب بينهما عناصر المصفوفة كما هو مبين أسفله:<br />
<math>\begin{bmatrix}{a}_{11}&{a}_{12}&\cdots&{a}_{1n}\\{a}_{21}&{a}_{22}&\cdots&{a}_{2n}\\\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\{a}_{m1}&{a}_{m2}&\cdots&{a}_{mn}\end{bmatrix}</math>
<br />
حيث <math>{a}_{ij}</math> يمكن أن تكون أعدادا صحيحة أو مركبة كما يمكن أن تكون دالات رياضية.

== تعريف ==
المصفوفة هي تنظيم مستطيل الشكل لمجموعة من الاعداد على هيئة صفوف وأعمدة محصورة بين قوسين.<ref>{{Harvard citations|last1 =  Brown|year = 1991|nb = yes|loc=Chapter I.1}}. Alternative references for this book include {{Harvard citations|author=Lang|year=1987b|nb=yes}} and {{استشهاد هارفرد|last1=Greub|year=1975|nb=yes}}</ref> على سبيل المثال:
: <math>\mathbf{A} = \begin{bmatrix}

9 & 8 & 6 \\
1 & 2 & 7 \\
4 & 9 & 2 \\
6 & 0 & 5 \end{bmatrix}</math>

يمكن أن تضع المصفوفة بين قوسين مربعين أو بين قوسين هلاليين

: <math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix}

9 & 8 & 6 \\
1 & 2 & 7 \\
4 & 9 & 2 \\
6 & 0 & 5 \end{pmatrix}</math>
تدعى الخطوط الأفقية في المصفوفة بالأسطر بينما تدعى الخطوط العمودية باسم عمود. أما الأعداد فتدعى مدخلات المصفوفة أو عناصر المصفوفة. ترمز إلى مصفوفة بحرف لاتيني كبير وتحته عددين طبيعيين على شكل جداء هما m و n حيث m هو عدد الصفوف و n عدد الأعمدة. وبالتالي تعرف المصفوفة بعدد الصفوف والأعمدة (''m''&nbsp;×&nbsp;n مصفوفة), وتعرف m و n بأبعاد المصفوفة. فأبعاد المصفوفة أعلاه هي 3*4 أي 4 أسطر و 3 أعمدة.

أما المصفوفة ذات العمود الواحد تحدد بالشكل (''m''&nbsp;×&nbsp;1 مصفوفة) وتعرف باسم [[متجه عمودي]]. بينما المصفوفة المؤلفة من صف وحيد و n عمود تحدد بالشكل (a 1&nbsp;×&nbsp;''n'' مصفوفة) وتعرف باسم [[متجه صفي]]
.<ref name="ريا1">
{{استشهاد بكتاب | عنوان = الرياضيات 1 جامعة دمشق| مؤلف =  عازار الشايب | سنة = 1990 }}</ref>

المصفوفة هي جدول من العناصر، قد تكون أعدادا حقيقية أو أعدادا مركبة وقد تكون دوالا وهي صورة رياضية لوضع الأعداد في جدول.

=== حيز المصفوفة ===
هو عدد الصفوف والأعمدة المكونة لهذه المصفوفة التي تحتوى على m من الصفوف و n من الأعمدة والحيز m*n وتكتب (A (m*n.
إذا ساوى عددُ الصفوف عددَ الأعمدة، فإن المصفوفة تصير [[مصفوفة مربعة|مصفوفةً مربعةً]].

== المصفوفة تابعا ==
إن مصفوفة على الشكل <math>\,m \times n\,\,(m, n \in \mathbb{N})</math>، هي تابع:
<math> \mathbf{A}\colon \{1, 2, \ldots, m\} \times \{1, 2, \ldots, n\} \to \mathbf{S},\,\,</math>

حيث <math>(\{1, 2, \ldots, m\} \times \{1, 2, \ldots, n\}\,</math> هو [[جداء ديكارتي|الجداء الديكارتي]] للمجموعتين <math>\{1, 2, \ldots, m\}\,</math> و<math>\{1, 2, \ldots, n\}.)\,</math>.

== العمليات على المصفوفات ==
=== المصفوفات الجزئية ===
:<math>
  \mathbf{A}=\begin{bmatrix} 
    \color{red}{1} & 2 & \color{red}{3} & {\color{red} 4} \\ 
    \color{red}{5} & 6 & {\color{red}7} & {\color{red}8} \\
    9 & 10 & 11 & 12
  \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 4 \\ 
    5 & 7 & 8 
  \end{bmatrix}
</math>

انظر إلى [[محدد (رياضيات)|محدد (مصفوفات)]].

=== الجمع ===
{{مفصلة|جمع المصفوفات}}
لكى يمكن جمع مصفوفتين فلابد أن يكونا من نفس القياس. ويعرف حاصل جمع مصفوفتين بأنه المصفوفة الناتجة عن جمع العناصر المتناظرة في المصفوفتين. فيتم جمع العناصر الناتجة عن تقاطع نفس الأعمدة والأسطر في كلا المصفوفتين وفق القاعدة:
<br />
<math>\begin{bmatrix}{a}_{11}&{a}_{12}&\cdots&{a}_{1n}\\{a}_{21}&{a}_{22}&\cdots&{a}_{2n}\\\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\{a}_{m1}&{a}_{m2}&\cdots&{a}_{mn}\end{bmatrix}</math> + <math>\begin{bmatrix}{b}_{11}&{b}_{12}&\cdots&{b}_{1n}\\{b}_{21}&{b}_{22}&\cdots&{b}_{2n}\\\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\{b}_{m1}&{b}_{m2}&\cdots&{b}_{mn}\end{bmatrix}</math>= <math>\begin{bmatrix}{a}_{11}+{b}_{11}&{a}_{12}+{b}_{12}&\cdots&{a}_{1n}+{b}{1n}\\{a}_{21}+{b}_{21}&{a}_{22}+{b}_{22}&\cdots&{a}_{2n}+{b}_{2n}\\\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\{a}_{m1}+{b}_{m1}&{a}_{m2}+{b}_{m2}&\cdots&{a}_{mn}+{b}_{mn}\end{bmatrix}</math>
<br />
.<ref name="ريا1"/>

فعلى سبيل المثال إذا كان

ِ<math>A=\begin{bmatrix}1&2&3\\0&-1&2\end{bmatrix}</math>
,<math>B=\begin{bmatrix}0&-1&2\\7&2&3\end{bmatrix}</math>

فإن <math>C=A+B=\begin{bmatrix}1&1&5\\7&1&5\end{bmatrix}</math>

=== الضرب ===
{{مفصلة|ضرب المصفوفات}}
==== ضرب مصفوفة وحيدة العنصر مع مصفوفة متعددة العناصر ====
يُضرب العنصر الوحيد مع كل عنصر من عناصر المصفوفة، وتكون النتيجة مصفوفة جديدة تحوي العدد نفسه من العناصر.
<math>\begin{bmatrix}5&3&2\\1&7&6 \end{bmatrix}* 2 = \begin{bmatrix}10&6&4\\2&14&12 \end{bmatrix} </math>

==== ضرب مصفوفة في مصفوفة ====
[[ملف:-Matrix multiplication diagram 2 svg.png|يسار|300px|تصغير|رسم تخطيطي يوضح طريقة ضرب مصفوفة A بمصفوفة B.]]
* يجب في البداية أن نعلم أن ضرب المصفوفات غير تبديلي.
* من أجل إيجاد ناتج ضرب مصفوفتين (وهو مصفوفة)، يجب أن يتحقق الشرط التالي:
'''عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى = عدد الأسطر في مصفوفة الثانية'''.

بفرض A مصفوفة من الشكل m x n، وB مصفوفة من الشكل p x q، فمن أجل إيجاد <math>A * B</math>، يجب أن يكون n=p.

سنبدأ في البداية بضرب مصفوفة وحيدة السطر مع مصفوفة وحيدة العمود، فبفرض A وB مصفوفتان، حيث:

<math>A=\begin{bmatrix}a_1&a_2&a_3\end{bmatrix}</math>

<math>B=\begin{bmatrix}b_1\\b_2 \\b_3 \end{bmatrix}</math>

فيكون:
<math>A * B = \begin{bmatrix}(a_1)(b_1) + (a_2)(b_2) + (a_3)(b_3)\end{bmatrix}</math>

ونلاحظ أن المصفوفة الناتجة هي مصفوفة وحيدة العنصر، وبالتالي، فإن ضرب مصفوفة وحيدة السطر مع مصفوفة وحيدة العمود ينتج مصفوفة وحيدة العنصر.

أما عند ضرب مصفوفتين متعددتي العناصر (وبفرض تحقق شروط الضرب)، فعندئذ، نقوم بتقسيم المصفوفة الأولى إلى سطور، والثانية إلى أعمدة، ونقوم بضرب الصف الأول بالعمود الأول (والنتيجة هي العنصر a_11 من النتيجة)، ثم نقوم بضرب الصف الأول مرة أخرى بالعمود الثاني (والنتيجة هي العنصر a_12 من النتيجة، وهكذا.

'''مثال توضيحي بالرموز:'''

بفرض:
<math>A=\begin{bmatrix}{a}_{11}&{a}_{12}&{a}_{13}\\{a}_{21}&{a}_{22}&{a}_{23}\end{bmatrix}</math>

<math>B=\begin{bmatrix}{b}_{11}&{b}_{12}\\{b}_{21}&{b}_{22}\\ {b}_{31}&{b}_{32}\end{bmatrix}</math>

فيكون:

: <math>
A * B = \begin{bmatrix}
 ({a}_{11} \times {b}_{11} + {a}_{12} \times {b}_{21} + {a}_{13} \times {b}_{31})
& ({a}_{11} \times {b}_{12} + {a}_{12} \times {b}_{22} + {a}_{13} \times {b}_{32}) \\
 ({a}_{21} \times {b}_{11} + {a}_{22} \times {b}_{21} + {a}_{23} \times {b}_{31})
& ({a}_{21} \times {b}_{12} + {a}_{22} \times {b}_{22} + {a}_{23} \times {b}_{32})

\end{bmatrix}

</math>

'''مثال بالأرقام:'''

:<math>

\begin{bmatrix}
1 & 0 & 2 \\
-1 & 3 & 1 \\
\end{bmatrix}
\times
\begin{bmatrix}
3 & 1 \\
2 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
 (1 \times 3 + 0 \times 2 + 2 \times 1)
& (1 \times 1 + 0 \times 1 + 2 \times 0) \\
 (-1 \times 3 + 3 \times 2 + 1 \times 1)
& (-1 \times 1 + 3 \times 1 + 1 \times 0) \\

\end{bmatrix}
</math>

:::::::: <math>

=
\begin{bmatrix}
5 & 1 \\
4 & 2 \\
\end{bmatrix}.
</math>

=== منقول مصفوفة ===
منقول مصفوفة ما هو المصفوفة الناتجة عن المصفوفة '''A'''<sub>''m''x''n''</sub> بعد أن يتم تبديل الأعمدة بالأسطر وبالتالي تصبح '''A'''<sub>''n''x''m''</sub> ويرمز لها بالرمز '''A'''<sup>T</sup>. يلاحظ أن العنصر الذي يقع في الصف i والعمود j في المصفوفة A، سيقع في الصف j والعمود i في منقول المصفوفة.
.<ref name="مصفوفة13">
{{استشهاد بكتاب | عنوان = نظريات ومسائل في المصفوفات| مؤلف =  فرانك أيرز | 1000journal = الدار الدولية للنشر والتوزيع | صفحات =   13}}</ref>

على سبيل المثال، منقول المصفوفة A = <math>
\begin{bmatrix}
1 & 9 & 13 \\
20 & 55 & 4
\end{bmatrix}
</math>
هو المصفوفة<math> 
\begin{bmatrix}
1 & 20 \\
9&55 \\
13&4 \\
\end{bmatrix}
</math>

من خواص منقول المصفوفة:<ref name="مصفوفة14">
{{استشهاد بكتاب | عنوان = نظريات ومسائل في المصفوفات| مؤلف =  فرانك أيرز | 1000journal = الدار الدولية للنشر والتوزيع | صفحات =   14}}</ref>
* منقول مجموع مصفوفتين هو مجموع منقول هاتين المصفوفتين أي أن :

'''A+B''')<sup>T</sup> = '''A'''<sup>T</sup> + '''B'''<sup>T</sup>)

* منقول حاصل ضرب مصفوفتين يساوي حاصل ضرب المصفوفتين بشكل معاكس لمنقولهما أي:

'''A.B''')<sup>T</sup> = '''B'''<sup>T</sup> × '''A'''<sup>T</sup>)

=== معكوس المصفوفة ===
{{مفصلة|معكوس المصفوفة}}
معكوس المصفوفة يقصد به المعكوس الضربى للمصفوفة بحيث يكون حاصل ضرب المصفوفة في معكوسها يساوى مصفوفة الوحدة.

تدعى المصفوفة A [[مصفوفة قابلة للعكس]] إذا وجدت مصفوفة B تحقق العلاقة التالية:
: '''AB''' = '''I'''<sub>''n''</sub>
و تدعى المصفوفة B بمقلوب المصفوفة A ويرمز لها بالرمز '''A'''<sup>−1</sup>. يكون للمصفوفة المربعة من الدرجة n إذا كانت [[مصفوفة غير شاذة]] ويكون معكوسها وحيد. ويحسب معكوس المصفوفة من العلاقة :<ref>
{{استشهاد بكتاب
  | وصلة مؤلف = Gilbert Strang
  | الأخير = Strang
  | الأول = Gilbert
  | عنوان = Linear Algebra and Its Applications
  | مسار = https://archive.org/details/linearalgebraits00gstr
  | ناشر = Thomson Brooks/Cole
  | تاريخ = 2006
  | صفحات = [https://archive.org/details/linearalgebraits00gstr/page/n55 46]
  |ردمك= 0-03-010567-6}}
</ref>

:<math>\mathbf{A}^{-1}={1 \over \begin{vmatrix}\mathbf{A}\end{vmatrix}}\left(\mathbf{C}^{\mathrm{T}}\right)_{ij}={1 \over \begin{vmatrix}\mathbf{A}\end{vmatrix}}\left(\mathbf{C}_{ji}\right)={1 \over \begin{vmatrix}\mathbf{A}\end{vmatrix}}
\begin{pmatrix}
\mathbf{C}_{11} & \mathbf{C}_{21} & \cdots & \mathbf{C}_{n1} \\
\mathbf{C}_{12} & \mathbf{C}_{22} & \cdots & \mathbf{C}_{n2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\mathbf{C}_{1n} & \mathbf{C}_{2n} & \cdots & \mathbf{C}_{nn} \\
\end{pmatrix}</math>

حيث |'''A'''| محدد المصفوفة A و'''C'''<sub>''ij''</sub> [[مصفوفة مصاحبة|المصفوفة المرافقة]]:

و يكون بالتالي معكوس المصفوفة المربع ذات الدرجة الثاني :

:<math>\mathbf{A}^{-1} = \begin{bmatrix}
a & b \\ c & d \\
\end{bmatrix}^{-1} =
\frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix}
\,\,\,d & \!\!-b \\ -c & \,a \\
\end{bmatrix}.</math>
يمتاز معكوس المصفوفة بالخصائص التالية:<ref>
{{استشهاد بكتاب
  | وصلة مؤلف = t2
  | الأخير = lay
  | الأول = david
  | عنوان = Linear Algebra and Its Applications
  | ناشر = person educatiom
  | تاريخ = 2006
  | صفحات = 137
  }}
</ref>
* معكوس معكوس مصفوفة هو المصفوفة الأصلية نفسها أي:
<math>\left(\mathbf{A}^{-1}\right)^{-1} = \mathbf{A} </math>.
* منقول معكوس مصفوفة يساوي إلى معكوس منقول المصفوفة أي:
<math>(\mathbf{A}^\mathrm{T})^{-1} = (\mathbf{A}^{-1})^\mathrm{T} \,</math>
* معكوس جداء مصفوفتين يساوي إلى حاصل ضرب معكوس المصفوفة الثانية في معكوس المصفوفة الأولى أي:
<math>\left(\mathbf{AB}\right)^{-1} = \mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^{-1}</math>

== مثال على تحويل من مجموعة انطلاق إلى مجموعة وصول ==

لنعتبر مثلا الشعاع التالي:<br />
<math>V = \begin{bmatrix}{s}_{1}\\{s}_{2}\\{s}_{3}\\{s}_{4}\end{bmatrix} \in {R}^{4}</math>
<br />
و المصفوفة التالية:
<math>A = \begin{bmatrix} {a}_{11}&{a}_{12}&{a}_{13}&{a}_{14}\\{a}_{21}&{a}_{22}&{a}_{23}&{a}_{24}\end{bmatrix}</math>

عملية تحويل الشعاع تتم على نحو النحو التالي:<br />
: <math>X = A*V = \begin{bmatrix} {a}_{11}&{a}_{12}&{a}_{13}&{a}_{14}\\{a}_{21}&{a}_{22}&{a}_{23}&{a}_{24}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{s}_{1}\\{s}_{2}\\{s}_{3}\\{s}_{4}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}{a}_{11}{s}_{1}+{a}_{12}{s}_{2}+{a}_{13}{s}_{3}+{a}_{14}{s}_{4}\\{a}_{21}{s}_{1}+{a}_{22}{s}_{2}+{a}_{23}{s}_{3}+{a}_{24}{s}_{4}\end{bmatrix}</math>

وهكذا نكون قد حولنا شعاعا V ينتمي إلى <math>{R}^{4}</math> إلى شعاع X ينتمي إلى ال <math>{R}^{2}</math>. أما عامة إذا كانت المصفوفة تحتوي على عدد m من الأسطر و n من الأعمدة فإنها تحول مجموعة الانطلاق المكونة من أشعة تنتمي إلى ال <math>{K}^{n}</math> إلى مجموعة الوصول المتكونة من أشعة تنتمي إلى ال <math>{K}^{m}</math>.
<br />
كما يمكن اعتبار المصفوفات نوعا خاصا من [[موتر|التنسورات]] ألا وهي التنسورات من الدرجة الثانية

== المعادلات الخطية ==
إذا وضع عدد من المتغيرات x في متجه عمودي حيث n عدد المتغيرات وبذلك يتكون المتجه من المتغيرات ''x''<sub>2</sub>,..., ''x''<sub>''n''</sub>, و A مصفوفة ذات قياس nxm بحيث تتألف مدخلات المصفوفة من ثوابت المتغيرات، و b متجه عمودي يتألف من ثوابت المعادلات فإن:
:'''Ax''' = '''b'''
بحيث:
:''a''<sub>1,1</sub>''x''<sub>1</sub> + ''a''<sub>1,2</sub>''x''<sub>2</sub> +... + ''a''<sub>1,''n''</sub>''x''<sub>''n''</sub> = ''b''<sub>1</sub>
و
:''a''<sub>''m'',1</sub>''x''<sub>1</sub> + ''a''<sub>''m'',2</sub>''x''<sub>2</sub> +... + ''a''<sub>''m'',''n''</sub>''x''<sub>''n''</sub> = ''b''<sub>''m''</sub>.<ref>{{Harvard citations|last1 =  Brown|year = 1991|nb = yes|loc=I.2.21 and 22}}</ref>

== المصفوفة المربعة ==
{{مفصلة|مصفوفة مربعة}}
المصفوفة المربعة هي مصفوفة تحوي نفس العدد من الأسطر والأعمدة. فالمصفوفة <math>n \times n</math> تعرف بمصفوفة مربعة ذات بعد n. يمكن جمع أو ضرب أي مصفوفتين مربعتين لهما نفس البعد. وتدعى المصفوفة A [[مصفوفة قابلة للعكس]] إذا وجدت مصفوفة B تحقق العلاقة التالية:
: '''AB''' = '''I'''<sub>''n''</sub>
و تدعى المصفوفة B بمقلوب المصفوفة A ويرمز لها بالرمز '''A'''<sup>−1</sup>. ** المصفوفة المنفردة :
المصفوفة المربعة التي ليس لها نظير ضربي تسمى مصفوفة منفردة.
والمصفوفة المربعة التي لها نظير ضربي تسمى غير منفردة.

** نظرية :
تكون المصفوفة A مصفوفة منفردة إذا وفقط إذا كان محددها يساوي صفرا.

=== الأنواع الرئيسية للمصفوفات المربعة ===
:{| class="wikitable" style="float:left; margin:0ex 0ex 2ex 2ex;"
|-
! الاسم !! مثال حيث ''n'' = 3
|-
| [[مصفوفة قطرية]] || style="text-align:center;" | <math>
      \begin{bmatrix}
           a_{11} & 0 & 0 \\
           0 & a_{22} & 0 \\
           0 & 0 & a_{33} \\
      \end{bmatrix}
  </math>
|-
| [[مصفوفة مثلثية|مصفوفة مثلثية سفلى]] || style="text-align:center;" | <math>
      \begin{bmatrix}
           a_{11} & 0 & 0 \\
           a_{21} & a_{22} & 0 \\
           a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
      \end{bmatrix}
  </math>
|-
| [[مصفوفة مثلثية|مصفوفة مثلثية عليا]] || style="text-align:center;" | <math>
      \begin{bmatrix}
           a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
           0 & a_{22} & a_{23} \\
           0 & 0 & a_{33} \\
      \end{bmatrix}
  </math>
|}

==== المصفوفة المثلثية والمصفوفة القُطرية ====

* المصفوفة الصفرية.
* مصفوفه العمود.

==== مصفوفة الوحدة ====
{{مفصلة|مصفوفة الوحدة}}

:<math>
\mathbf{I}_1 = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix},
\ \mathbf{I}_2 = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix},
\ \ldots ,
\ \mathbf{I}_n = \begin{bmatrix}
     1 &      0 & \cdots & 0 \\
     0 &      1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
     0 &      0 & \cdots & 1
\end{bmatrix}
</math>

جميع عناصر [[قطر رئيسي|القطر الرئيسي]] في مصفوفة وحدة تساوي الواحد.

=== العمليات الأساسية على المصفوفات المربعة ===
==== أثر مصفوفة ====
يدعى مجموع عناصر القطر الرئيسي للمصفوفة [[أثر (جبر خطي)|بأثر المصفوفة]] (tr('''A''' وبما أن الأثر الناتج عن مصفوفتين مستقل فإن ضرب أثري مصفوفتين هو [[عملية تبديلية]] أي : (tr('''AB''') = tr('''BA'''. كما أن أثر مصفوفة يساوي أثر منقول المصفوفة
tr('''A''') = tr('''A''')<sup>T</sup>

==== محدد مصفوفة ====
حساب قيمة محدد الدرجة الثالثة:
	هناك طريقتان لحساب محدد مصفوفة من الدرجة الثالثة

الطريقة الأولى:
# نكرر كتابة العمود الأول والثاني على الترتيب بعد العمود الثالث.
# نكون مجموع حاصل ضرب العناصر الواقعة على الخطوط المستقيمة المتجهة من اليسار إلى اليمين ونطرح منه مجموع حاصل ضرب العناصر الواقعة على الخطوط المستقيمة المتجهة من اليمين إلى اليسار.
<math> 
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{21} & a_{22}  \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{31} & a_{32} \\
\end{bmatrix}
</math>

الطريقة الثانية:

ملحوظة:
	الطريقة الأولى لا تصلح للتطبيق على محددات المصفوفات ذات الدرجة الاعلى من 3×3.
حيث بينما الطريقة الثانية يمكن تعميمها على محدد أي مصفوفة مع الاستفادة من خواص المحددات السابقة للتقليل من العمليات الحسابية.

الفك عن طريق المتعاملات:
	إذا كانت مصفوفة من الدرجة
نفرض أن هي المصفوفة الناتجة من المصفوفة A بعد حذف الصف رقمi والعمود رقم j في لمصفوفة A المحدد تسمى المحددة الصغرى للعنصر ويعرف متعامل العنصر بأنه
                                
ولأي مصفوفة مربعة يتحقق الآتي
مجموع حاصل ضرب عناصر أي صف أو عمود في متعاملاتها يعطي قيمة المحدد أي انه إذا كانت مصفوفة من الدرجة فان
# ويسمى مفكوك المحدد حول الصف رقم i
# ويسمى مفكوك الصف حول العمود

بالنسبة للمصفوفات التي تكون من الدرجة الرابعة أو أكثر يستحسن تحويلها إلى مصفوفة مثلثية لتبسيط حساب المحدد وبالتالي يصبح يساوي جداء عناصر القطر الرئيسي للمصفوفة المثلثية الجديدة

==== القيم الذاتية والمتجهات الذاتية لمصفوفة ====
{{مفصلة|القيم الذاتية والمتجهات الذاتية}}

إذا توفر <math>Av = \lambda v</math> حيث <math>\lambda</math> هو عدد حقيقي و حيث <math>v</math> هو [[متجه]]، فإنه يُقال أن <math>\lambda</math> هو [[قيم ذاتية ومتجهات ذاتية|قيمة ذاتية]] للمصفوفة <math>A</math> وأن المتجه <math>v</math> هو [[قيم ذاتية ومتجهات ذاتية|متجه ذاتي]] للمصفوفة <math>A</math>.

:<math>\det(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I}) = 0.</math>

انظر إلى [[متعددة حدود مميزة]].

== تطبيقات ==
للمصفوفات العديد من التطبيقات في الرياضيات وفي غيرها من العلوم.
=== نظرية المخططات ===
[[ملف:Labelled undirected graph.svg|150px|تصغير|يسار|مخطط غير موجه مع مصفوفة القُرب المنبثقة عنه <math>\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{bmatrix}.</math>]]
=== التحليل والهندسة ===
انظر إلى [[اشتقاق من الدرجة الثانية]].

:<math>H(f) = \left [\frac {\partial^2f}{\partial x_i \, \partial x_j} \right ].</math>

=== البصريات الهندسية ===
انظر إلى [[بصريات هندسية]].

== التاريخ ==
استخدمت المصفوفات منذ تاريخ طويل في حلحلة [[معادلة خطية|المعادلات الخطية]]. فأقدم شكل لاستخدام المصفوفات في حلحلة المعادلات [[الرياضيات في الصين|نص صيني]] يدعى [[الفصول التسعة في فن الرياضيات]].
كما تضمن مبدأ المحددات والذي يرجع تاريخه إلى ما بين 300 قبل الميلاد إلى 200 ميلادي.<ref>{{Harvard citations | last1=Shen | last2=Crossley | last3=Lun | year=1999|nb=yes}} cited by {{استشهاد هارفرد | last1=Bretscher | year=2005|nb=yes|loc=p. 1}}</ref> في سنة 1683 نَشر بحثا عن المصفوفات عالم الرياضيات [[اليابان]]ي [[سيكي تاكاكازو]]. بعد ذلك، نَشر بحوثا متعلقة بالمصفوفات العالم [[ألمانيا|الألماني]] [[غوتفريد لايبنتس|جوتفريد لايبنتز]] في سنة 1693. ومن ثم نشر [[غابرييل كرامر]] قواعده في الحساب سنة 1750.

ركزت نظريات المصفوفات المبكرة على دور المحددات بدلا عن المصفوفات بشكل مستقل. ولم يظهر مفهوم المصفوفة بشكل مستقل حتى وقت حديث، في سنة 1858 مع [[آرثر كيلي|أرثور كايلي]] ونظرياته حول المصفوفات.<ref>{{Harvard citations | last1=Cayley  | year=1889|nb=yes|loc=vol. II, p. 475–496}}</ref><ref>{{Harvard citations | editor1-last=Dieudonné| year=1978|loc=Vol. 1, Ch. III, p. 96|nb=yes}}</ref>

'''نظرية المصفوفات''' هي فرع [[رياضيات|الرياضيات]] الذي يركز على دراسة المصفوفات. فعليا يعتبر أحد فروع [[جبر خطي|الجبر الخطي]], ثم نمى ليغطي موضوعات ذات علاقة [[نظرية البيان|بنظرية المخططات]] و[[جبر|الجبر]], و[[تركيبات|التوافقيات]] و[[إحصاء|الإحصاء]].

المصفوفة تمثل منظومة مستطيلة (rectangular array) من الأعداد.
في سنة 1848، ابتكر مصطلحَ المصفوفة عالمُ الرياضيات الإنجليزي [[جيمس جوزيف سيلفستر]] اسما لمجموعة مرتبة من الأعداد.

في 1855، قدم [[آرثر كيلي]] المصفوفة على أنها تمثيل لعناصر خطية. اعتبرت هذه الفترة بداية [[جبر خطي|الجبر الخطي]] ونظرية المصفوفات.

== انظر أيضا ==
* [[قائمة المصفوفات]]
* [[حساب المصفوفات]]

== المراجع ==

{{مراجع}}
{{روابط شقيقة}}
{{جبر خطي}}
{{موتر}}
{{ضبط استنادي}}
{{شريط بوابات|رياضيات|جبر}}

[[تصنيف:مصفوفات]]