عرض مصدر محيط (هندسة رياضية)

[[ملف:Carre.png|تصغير| يقدر محيط هذا [[مربع|المربع]] بـ 8.]]
[[ملف:Troy1.jpg|تصغير| وفقًا [[هوميروس|لهوميروس]]، يقدر محيط [[طروادة]] 10 200 خطوة <ref name="Tessier">{{استشهاد ويب|مسار= http://people.math.jussieu.fr/~teissier/documents/LMA3.Teissier.v6.pdf|عنوان=Volumes des corps convexes, géométrie et algèbre|موقع=[[Institut de mathématiques de Jussieu]]|المعرف=Teissier 1999|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20220407235634/http://people.math.jussieu.fr/~teissier/documents/LMA3.Teissier.v6.pdf|تاريخ أرشيف=2022-04-07}} (leçon donnée le jeudi 7 octobre 1999, rédigée par C. Reydy), {{ص.|2}}.</ref> (صورة لأسوار طروادة المفترضة).]]
'''المحيط''' بالنسبة [[شكل هندسي|لشكل]] [[مستو (رياضيات)|مستوٍ]] هو [[طول|الطول]] المقدر لأطراف هذا الشكل. يسمح حساب المحيط على سبيل المثال بتحديد مقدار السياج اللازم لتطويق الحقل.<ref>{{استشهاد بكتاب|الأول1=T.|الأخير1=Heath|عنوان=A History of Greek Mathematics|المجلد=2|ناشر=[[Dover Publications]]|سنة= 1981|صفحة= 206|isbn=0-486-24074-6}}</ref>

بالنسبة لأي [[مضلع]] فإن المحيط يساوي [[مجموع (علم الحساب)|مجموع]] أطوال أضلاعه. وهناك [[صيغة رياضية|صيغ]] بسيطة لحساب محيط الأشكال الأساسية، لكن المسألة تصبح أكثر صعوبة بالنسبة للأشكال الأكثر تعقيدًا : حيث يلجأ لحساب [[تكامل]]ات أو [[نهاية (رياضيات)|نهايات]]. في هذه الحالة تستعمل طريقة تقريبية تعوض بالشكل المعقد آخر أبسط وأكثر شهرة، للحصول على [[علامة تساوي تقريبا|تقريب]] للمحيط المطلوب.

طرحت مسألة البحث عن [[مساحة|المساحة]] القصوى لسطح يعرف طول محيطه، (أو تباين المساحات وتساوي المحيط) في وقت مبكر جدًا ولم تُوضع إجابة لها إلا في القرن 19.

== الأشكال البسيطة ==

=== المضلعات ===
[[ملف:Sides_in_rectangle.svg|بديل=مستطيل بعرض a وطول b.|تصغير| مستطيل عرضه ''a'' وطوله ''b''.]]
تعتبر [[مضلع|المضلعات]] حالة أساسية ليس فقط لبساطتها، ولكن أيضًا لأن العديد من الأشكال تُحسب محيطاتها بصورة تقريبية من خلال سلسلة من المضلعات تقترب من هذه المنحنيات. كان [[أرخميدس]] أول عالم رياضيات معروف استخدم هذا المنطق، والذي قارب في تقدير محيط الدائرة بإحاطتها [[مضلع منتظم|بمضلعات منتظمة]].<ref>الطريقة الموضحة في قسم [[محيط (هندسة رياضية)#محيط الدائرة|محيط الدائرة]] أو في الموقع التالي:
: S. Mehl ''[http://serge.mehl.free.fr/anx/LeCercle.html Longueur du cercle selon Archimède]'' ChronoMath.
: {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230725131408/http://serge.mehl.free.fr/anx/LeCercle.html|date=2023-07-25}}</ref>

محيط المضلع يساوي [[جمع|مجموع]] أطوال أضلاعه.

إذا كانت أبعاد [[مستطيل|المستطيل]] على وجه الخصوص هي a و b فإن محيطه يساوي {{بدون لف|2 (''a'' + ''b'')}}. [[مضلع متساوي الأضلاع|المضلع متساوي الأضلاع]] هو مضلع كل أضلاعه متساوية الطول ( [[معين (هندسة رياضية)|المعين]] هو مضلع متساوي الأضلاع بأربعة جوانب). لحساب محيط [[مضلع متساوي الأضلاع]] نضرب هذا الطول في عدد الأضلاع.

غالبًا ما يعرف [[مضلع منتظم|المضلع المنتظم]] بعدد أضلاعه ونصف قطره أي المسافة الثابتة التي تفصل مركزه عن كل رأس من رؤوسه. من الممكن حساب طول الضلع بمنطق حساب [[حساب المثلثات|المثلثات]]. إذا كان ''R'' هو نصف قطر مضلع منتظم و''n'' عدد أضلاعه، فإن محيطه يكون:<ref>{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Chevalier et al.|2002}} بالنسبة للصيغة والبرهان.</ref>

: <math>2nR \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)</math>.

تلخص هذه الطرق في الجدول أدناه.

<center>
{| class="wikitable"
|+ '''محيط المضلعات'''
|-
! المضلع !! الصيغة الحسابية !! المتغيرات
|-
| [[مثلث|المثلث]]|| <math>a+b+c\;</math> || ''a'' و ''b'' و ''c'' تمثل أطوال الأضلع الثلاث.
|-
| متوازي الأضلاع || <math>2(a+b)\;</math> || ''a'' و ''b'' أطوال ضلعين متتاليين.
|-
| مضلع متساوي الأضلاع || <math>n\cdot a\;</math> || ''n'' عدد الأضلع ''a'' طول كل ضلع.
|-
| مضلع كيفي || <math>\sum_{i=1}^{n}a_{i} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \ldots + a_{n} </math>|| <math>a_{i}</math> طول الضلع المرقم  <math>i</math>{{*10^}} 
في مضلع به ''n'' ضلع.
|-
| مضلع منتظم مغلق|| <math>2nR \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)</math> || ''n'' عدد الأضلع
''R'' بعد المركز عن كل رأس.
|}
</center>

=== محيط الدائرة ===
[[ملف:Pi-unrolled-720.gif|بديل=Animation de l'acte de déroulement de la circonférence d'un cercle.|يسار|تصغير|300x300بك| إذا كان قطر الدائرة 1، فإن محيطها هو π.]]{{مفصلة|ط (رياضيات)}}
محيط [[دائرة|الدائرة]] هو الطول الذي يحدده حافتها. وهو مقدار يتناسب مع قطرها. باستعمال الثابت π، فإن أي دائرة قطرها ''D'' يحسب محيطها ''P'' وفق :

: ''P'' = ''πD''.

استخدام [[فرجار|الفرجار]] ساهم في تفضيل استخدام نصف قطر الدائرة ''R'' بدلاً من قطرها، لتصبح الصيغة :

: ''P'' = ''2πR''.

هاتان الصيغتان متساويتان تمامًا، لأنه في أي دائرة فإن : {{بدون لف|1=''D'' = 2 ''R''}}.

يكفي لحساب محيط الدائرة معرفة نصف قطرها أو قطرها والرقم [[ط (رياضيات)|π]]. تكمن المشكلة في أن هذا الرقم الأخير ليس كسريا (لا يمكن كتابته كحاصل قسمة عددين صحيحين) ولا حتى [[عدد جبري|جبريًا]] (لإنه ليس جذر كثير الحدود مع معاملات صحيحة). وبالتالي، فإن الحصول على قيمة تقريبية لـ π بالدقة المطلوبة ليس بالأمر السهل. هذا الأمر حشد معارف في [[تحليل رياضي|التحليل]] [[علم الخوارزميات|والخوارزميات]] وعلوم [[علم الحاسوب|الحاسوب]].

== تصور المحيط ==
[[ملف:Hexaflake.gif|بديل=Animation d'un découpage d'un hexagone en flocon de neige.|يمين|تصغير| كلما زاد القص، كلما قلت المساحة وزاد المحيط.]]
[[ملف:Neuf_Brisach.jpg|بديل=Plan simplifié de la citadelle de Neuf-Brisach|تصغير| لقلعة [[نيوف-بريساش|Neuf-Brisach]] محيط معقد. للالتفاف حولها، من الأفضل اتباع غلافها المحدب.]]
يُعد المحيط، جنبًا إلى جنب مع [[مساحة|المساحة]]، أحد القياسين الرئيسيين للأشكال الهندسية. ومن الشائع الخلط بين هذين المفهومين <ref name="conf">''Aire et périmètre'', dossier d’activités pédagogiques réalisé par le groupe national de réflexion sur l’enseignement des mathématiques en dispositifs relais.</ref> أو الاعتقاد بأنه كلما كان أحدهما أكبر، زاد الآخر أيضًا. في الواقع، يؤدي تكبير (أو تصغير) الشكل الهندسي إلى زيادة (أو نقصان) مساحته ومحيطه في نفس الوقت. على سبيل المثال، إذا صورت الأرض في خريطة [[مقياس رسم|بمقياس]] 1: 10 000، فيمكن حساب المحيط الفعلي للأرض بضرب محيط الصورة في 10 000 والمساحة بضرب محيط الصورة في 10 000 {{Sup|2}}. ومع ذلك، لا يوجد رابط مباشر بين المساحة ومحيط شكل ما. على سبيل المثال، يمكن أن يكون لمستطيل، تبلغ مساحته [[متر مربع|مترًا مربعًا]]، عدة أبعاد ممكنة. مثلا : 0.5م و 2م (وبالتالي فالمحيط يساوي 5م) أو 0.001م و 1000م (وبالتالي فالمحيط يزيد عن 2000م). ذكر [[برقلس|بروكلوس]] (في القرن الخامس) واقعة تقاسم فلاحين يونانيين « بتساوي » حقولا بناءا على محيطها ولكن بمساحات مختلفة,.<ref name="Tessier" /><ref>{{استشهاد بكتاب|عنوان=A History of Greek Mathematics|مؤلف=Heath|مؤلف1-الأول=Thomas Little|ناشر=[[Dover Publications|Dover]]|سنة=2013|المجلد=2|صفحة=206-207|صفحات=608|لغة=en|isbn=978-0-486-16265-2|مسار= https://books.google.fr/books?id=8TSoAAAAQBAJ&pg=PA206|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20230203154124/https://books.google.fr/books?id=8TSoAAAAQBAJ&pg=PA206|تاريخ أرشيف=2023-02-03}}.</ref> رغم أن، إنتاج الحقل يتناسب مع مساحة وليس محيطه : فحصل بعض الفلاحين السذج على حقول بمحيط طويل، ولكن بمساحة (وبالتالي حصاد) متواضعة.

عندما يزال جزء من الشكل، فإن مساحته تقل (فقد « أزلنا » جزءا من المساحة). لكن الأمر قد يختلف مع المحيط. في حالة شكل « بانقطاعات كثيرة »، يضاف إلى الخلط الواقع بين "المساحة و المحيط"، ارتباك حول [[انغلاق محدب|غلاف الشكل المحدب]] بدلاً من دوره بالمعنى الدقيق للكلمة.<ref>{{استشهاد ويب|مسار= http://www.apmep.asso.fr/IMG/pdf/Aire_et_autres_Grandeurs.pdf|عنوان=De l'Aire et d'autres Grandeurs géométriques|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20150923172646/http://www.apmep.asso.fr/IMG/pdf/Aire_et_autres_Grandeurs.pdf|تاريخ أرشيف=2015-09-23}}, {{ص.}}3.</ref> فالغلاف المحدب للشكل يشبه الشريط المطاطي الذي يحيط بالشكل. في الرسم المتحرك على اليسار، كل الأشكال لها نفس الغلاف المحدب : الشكل [[سداسي أضلاع|السداسي]] الكبير الأولي.{{-}}

== متباينة المساحات متساوية المحيط ==
[[ملف:Bouillon_de_volaille.jpg|بديل=Photo d'un bouillon de potage.|تصغير| الفقاعات الدهنية على سطح المرق.]]
يهتم تخصص "دراسة تباين المساحات وتساوي المحيط" (Isoperimetric inequality)، على وجه الخصوص، بمسألة إيجاد أكبر سطح ممكن لنفس المحيط. الجواب بديهي، إنه [[قرص (رياضيات)|القرص]].<ref>{{استشهاد ويب|مسار= http://archive.wikiwix.com/cache/?url= http://www.univ-orleans.fr/irem/modules/news/documents/Aires%2520-%25203.pdf&title=%C2%AB%C2%A0Le%20probl%C3%A8me%20isop%C3%A9rim%C3%A9trique%C2%A0%C2%BB|عنوان=Le problème isopérimétrique|موقع=[[إريم (شركة)]] d'Orléans|المعرف=IREM|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20230725211528/https://archive.wikiwix.com/cache/?url= http://www.univ-orleans.fr/irem/modules/news/documents/Aires%2520-%25203.pdf&title=%C2%AB%C2%A0Le%20probl%C3%A8me%20isop%C3%A9rim%C3%A9trique%C2%A0%C2%BB|تاريخ أرشيف=2023-07-25}}, {{ص.|2}}.</ref> وهذا ما يفسر، على وجه الخصوص، لماذا يكون للفقاعات الدهنية على سطح المرق شكل دائري.

هذه المسألة، التي قد تبدو بسيطة، تستلزم نظريات معقدة للحصول على إثبات صارم. يتم أحيانًا تبسيط مشكلة القياس المتساوي عن طريق الحد من الأسطح المسموح بها. على سبيل المثال، نحن نبحث عن [[رباعي أضلاع|الرباعي]] أو [[مثلث|المثلث]] ذي أكبر مساحة ممكنة، دائمًا لمحيط معين. الحل هو [[مربع]] ومثلث [[مثلث متساوي الأضلاع|متساويا الأضلاع]]. بشكل عام، تكون مساحة [[مضلع|لمضلع]] (بعدد من الرؤوس) هي الأكبر بمحيط معين، إذا كان شكله الأقرب إلى [[دائرة|الدائرة]]، وهو [[مضلع منتظم|المضلع المنتظم]].

في "دراسة تباين المساحات وتساوي المحيط" يجري البحث أيضًا عن أكبر مساحة ممكنة لمحيط معين، بهندسات مختلفة. على سبيل المثال، في حالة نصف المستوى، تكون الإجابة هي نصف القرص.

أدى هذا المفهوم إلى ظهور عائلة من النظريات، تسمى [[متباينة المحيط الثابت|isoperimetric]]، بتسقيفات (حدود عليا) وكذلك نسبة تسمى ''حاصل isoperimetric''. تنص المتباينة على أن السطح الذي طول محيطه ''p'' ومساحته ''a'' يفي بالسقف التالي :

: <math>\frac {4 \pi a}{p^2} \le 1</math>

المصطلح الموجود على اليسار يسمى حاصل المتباينة، وهو يساوي 1 إذا وفقط إذا كان السطح عبارة عن قرص.

إذا كان أصل هذا السؤال يعود إلى ما لا يقل عن 2 900 عام <ref>{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|IREM}}.</ref>، فإن جوابه لم يكن حتى عام 1895، باستخدام أساليب مشتقة من [[مبرهنة مينكوفسكي|نظرية مينكوفسكي]] بحل نهائيًا في شكل السؤال القديم.<ref>{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Teissier 1999}}.</ref> هذه الأساليب تجعل من الممكن إثبات [[متباينة المحيط الثابت]] وتعميمها على [[بعد (فضاء متجهي)|أبعاد]] أكبر من [[هندسة إقليدية|الهندسة الإقليدية]].

'''المقالات'''

== المنحنى القابل للتصحيح ==
عدا حالات المضلعات والدوائر فإنه يصعب حساب محيط معظم الأسطح، ويستعمل [[تكامل|التكامل]] ولكن لدوال بسيطة مثل الدوال الأولية (كثيرات الحدود، الجيب، إلخ..).

=== مثال : القطع الناقص ===
[[ملف:Comète_trajectoire_5.svg|بديل=مخطط قطع ناقص.|تصغير| قطع ناقص (إهليلج)]]
قد يبدو [[قطع ناقص|القطع الناقص]] بسيطًا، فما هو (للبعض) إلا "دائرة مضغوطة".

في قطع ناقص بمحور أكبر a ومحور أصغر b، حساب المساحة بسيط:<ref>G. Tulloue, ''[http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Coniques/Ellipse/Aire_ellipse.html Aire d'une ellipse]'' – [[جامعة نانت]]. {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220102104751/http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Coniques/Ellipse/Aire_ellipse.html|date=2022-01-02}}</ref> <math>\pi a b</math>.

ولكن حساب المحيط ''P'' لقطع ناقص يتطلب استخدام [[تكامل إهليلجي]]:<ref name=ellipse>{{ماثوورلد|urlname=Ellipse|title=Ellipse}}.</ref>

: <math>P = 4\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{a^2\cos^2 t + b^2\sin^2 t}\,\text{d} t</math>

والذي يصاغ [[متسلسلة (رياضيات)|كسلسلة]] :

: <math>P = 2\pi a \left[{1 - \left({1\over 2}\right)^2e^2 - \left({1\cdot 3\over 2\cdot 4}\right)^2{e^4\over 3} - \left({1\cdot 3\cdot 5\over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^2{e^6\over5} - \cdots}\right]</math>

حيث <math>e</math> يمثل [[اختلاف مركزي|الانحراف المركزي]] للقطع الناقص (عبارة JH Lambert (1772))
: <math>e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}.</math>

أدت صعوبة وتعقيد هذه العبارات إلى تطوير حسابات تقريبية. الاقتراح الثاني والأكثر دقة، هو عمل [[سرينفاسا رامانوجان|رامانوجان]]:<ref name=ellipse />

: <math>P \approx \pi\sqrt {2(a^2 + b^2)}\approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]</math>

=== منحنى قابل للتصحيح ===
تصبح مسألة قياس المحيط أكثر صعوبة إذا كانت الحدود ''منحنية'' وليست متعددة الأضلاع.

من الممكن دائمًا تقريب طول المنحنى ''بطول المضلع الأكثر قربا''. طول مضلع التقريب هو مجموع أطوال أضلاعه. عندما تقارب الخطوة الصفر أي المسافة القصوى ما بين متتاليين من المضلع، فإن الحد الأعلى لطول المضلع يميل نحو طول المنحنى. وإذا كان طول المنحنى محدودًا، فيُقال ''إنه قابل للتصحيح''. هذا المنطق يجعل من الممكن حساب القيم التقريبية للعديد من المنحنيات.

يكون الحصول على قيمة دقيقة ممكنة في حال كان المنحنى محددا بدالة قابلة للتفاضل باستمرار. حينها يكون المنحنى قابلاً للتصحيح. إذا كان المنحنى عبارة عن قوس محددا بدالة ''f'' مُعرَّفة على فاصل زمني [ ''c'' ؛ ''d'' ]، فإن طوله معرف بالعبارة:

: <math>L = \int_c^d||f '(t)||\mathrm dt.</math>

خصوصا إذا كانت ''f'' ( ''t'' ) = (''x'' (''t''), ''y'' (''t'')) وجرى التعبير عن الإحداثيات على [[قاعدة ممنظمة متعامدة|أساس متعامد]]، فإن الطول ''L'' للمنحنى معرف بالعبارة:

: <math>L = \int_c^d \sqrt {\left(\frac {dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac {dy}{dt}\right)^2}\mathrm d t.</math>

تتيح هذه الصيغة إيجاد المعادلة الموضحة أعلاه لمحيط قطع ناقص معرف بـالعبارة ( <span dir="ltr">''x'' ( ''t'' ) = ''a cos t''، ''y'' ( ''t'' ) = ''b sin t''، ''I'' =] 0،&nbsp;π/4 [</span>).

من الممكن أيضًا استخدام [[نظام إحداثي قطبي|الإحداثيات القطبية]] (θ، ''r'' (θ)) حيث ''r'' هي دالة قابلة للتفاضل باستمرار لـمتغير θ معرف في المجال [θ <sub>1</sub> ؛ θ <sub>2</sub> ]. في هذه الحالة:

: <math>L = \int_{\theta_1}^{\theta_2}\sqrt{r(\theta)^2+r'(\theta)^2}\mathrm d\theta.</math>

== المنحنيات الكسرية ==
[[ملف:Von_Koch_curve.gif|بديل=Animation de la transformation d'un triangle équilatéral en flocon.|تصغير| [[ندفة الثلج لكوخ]]]]

=== مثال : ندفة الثلج فون كوخ ===
ترسم [[ندفة الثلج لكوخ]] من خلال سلسلة من المضلعات التي تتميز بالبساطة الشديدة ولها خصائص مدهشة.

# البداية تكون بـ [[مثلث متساوي الأضلاع]].
# يقسم كل ضلع من الشكل إلى ثلاثة أجزاء بنفس الطول. على كل جزء مركزي خارج الشكل السابق يبنى مثلث متساوي الأضلاع.
# تكرر الخطوة 2 لعدد غير مسمى من المرات.

في كل تكرار يصبح محيط المضلع مساويا لـ {{كسر مائل|4|3}} من قيمته السابقة، [[متتالية]] المحيطات التي تم الحصول عليها تميل نحو [[لانهاية|اللانهاية]]. ومع ذلك تبقى كل هذه المضلعات محاطة بنفس الدائرة التي كانت تحيط بالمثلث الأول، ولها مساحة محدودة لم تتغير.

=== الكسور وبُعد هوسدورف ===
إذا كان للعديد من الأسطح محيطات لانهائية فمن الممكن أن يكون لبعض الأسطح « أطول محيط » مقارنة بالآخرين.<ref name="Mandelbrot" /> يسمح [[بعد هاوسدورف|بعد هوسدورف]]، الذي قدم في عام 1918، بمقارنتها من خلال توسيع مفهوم الطول، وبالتالي المحيط.

== جزء من التاريخ ==

=== المساحة والمحيط ===
في [[خريطة|خرائط]] -رسمت على ألواح طينية يعود تاريخها إلى [[سلالة أور الثالثة]] (أواخر الألفية الثالثة قبل الميلاد)- ذكر لأطوال الأراضي، والتي قطعت إلى مثلثات ورباعية الأطراف لتسهيل العمليات الحسابية. لكن مساحات المضلعات -وخاصة مساحة الحقول- تم حسابها اعتمادا على المحيط، ولو بدا أن بعض الكتبة أدركوا أن هذه الاستدلالات قد تكون خاطئة.<ref>{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Robson|2008}}, {{ص.}}61, 67.</ref> استخدم هذه الطريقة في قياس المدن أو المناطق حسب محيطها كل من [[هوميروس]] في [[طروادة]] <ref name="Tessier" /> و[[هيرودوت]].

بداية من عام 1800 ق.م أثبتت المشاكل [[هندسة رياضية|الهندسية]] حول المحيطات. وعثر في العديد من الألواح على المشكلة الكلاسيكية المتمثلة في إيجاد أبعاد مستطيل بناءا على معرفة مسبقة لمساحته ومحيطه:

;مثال على مسألة بابلية :
{{اقتباس|حقل مستطيل مساحته 96 ومحيطه 40. ما هو طوله وعرضه؟}}

تقول الأسطورة بأن [[عليسة]] كانت تبحث عن أرض لتأسيس مدينة جديدة لشعبها حوالي سنة 800 ق.م، فحصلت على تنازل من ملك لقطعة أرض «لا تتجاوز مساحتها ما يغطيه جلد ثور»، فقطعت عليسة جلد الثور إلى شرائح رفيعة جدًا واختارت [[شبه جزيرة]]، وباستخدام الأشرطة فصلت شبه الجزيرة عن القارة، وبالتالي تمكنت من تحديد مساحة شاسعة، وهكذا ولدت [[قرطاج]]. قد يكون لأسطورة عليسة أصلا تعليميا، لأنها تُظهر أن المساحة والمحيط غير مرتبطين، وهي أيضًا من أوائل المقاربات لمشكلة قياس التوازن.<ref name="Tessier" />

ارتبط أيضا [[تأسيس روما]] بمسألة حساب المحيط: حيث خط رومولوس بمحراثه المحيط الدائري لمدينته المستقبلية. إن الكلمة [[اللغة اللاتينية|اللاتينية]] ''Urbs'' (المدينة) قد تكون تحريفًا لعبارة تعني «ارسم المحيط».

مسألة تباين المساحات وتساوي المحيط قديمة جدًا، كما تشهد أسطورة عليسة، والإجابات المختلفة (مضلع منتظم، نصف قرص في نصف مستوٍ، دائرة) كانت معروفة من العصور اليونانية القديمة<ref>{{استشهاد بدورية محكمة|عنوان=Qu’est-ce que l’optimisation de forme ?|صحيفة=1903 - 2003 Un siècle de mathématiques à Nancy|مسار= http://www.iecn.u-nancy.fr/Le-Laboratoire-Et-La-Recherche/100ansdemath/IECN2003-051-062.pdf|سنة=2003|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20150915200546/http://www.iecn.u-nancy.fr/Le-Laboratoire-Et-La-Recherche/100ansdemath/IECN2003-051-062.pdf|تاريخ أرشيف=2015-09-15}}.</ref>، على الرغم من ذلك فإنه توجب انتظار القرن 19 للحصول على برهان صارم.

=== محيط الدائرة ===
ربط البابليون بين المساحة A والمحيط P في الدائرة وفق [[خوارزمية]] حسابية مكافئة للصيغة <math>A=\frac{P^2}{12}</math> والذي ينتج عنه تقريبًا<ref>{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Neugebauer|1992}}, {{ص.}}51.</ref> لـ π يساوي 3. وحتى عندما عرفوا قطر الدائرة كان الكتبة دائمًا يمرون بحساب محيطها (بضرب القطر في 3) للحصول على مساحتها. كان البعد المعتاد للدائرة هو محيطها، وليس قطرها أو نصف قطرها مطلقًا. هذا الأمر يوضح أنه -بالنسبة للقدماء- كان يُنظر إلى الدائرة على أنها ''محيط'' بدلاً من منحنٍ محدد بمركز ونصف قطر.<ref>{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Robson|2008}}, {{ص.|65,66}}.</ref>

تقريب π بالعدد 3 مستخدم أيضًا في [[الكتاب المقدس]]:<ref name="Fourey">{{استشهاد بكتاب|عنوان=Curiosités géométriques|مسار=https://archive.org/details/curiositsgomtri00fourgoog|مؤلف=E. Fourrey|ناشر=Vuibert et Nony|سنة=1907|صفحات=[https://archive.org/details/curiositsgomtri00fourgoog/page/n444 431]}}.</ref>

[[تلمود|والتلمود]]:<ref name="Fourey" />
[[ملف:Archimedes_pi.svg|بديل=Schéma d'encadrement de cercles par des polygones réguliers.|تصغير| الدوائر المحيطة بمضلعات منتظمة. استخدم أرخميدس في حساباته مضلعات منتظمة ذات 6 و 12 و 24 و 48 و 96 ضلعا.]]
ذكر [[أرخميدس]] وأوضح في أطروحته ''[[قياسات دائرة|عن قياس الدائرة]]'':

تقريب أرخميدس لقيمة π: قسمة طول محيط دائرة على قطرها أصغر من 3 + 10/70 وأكبر من 3 + 10/71.

وهو ما يعطي تأطيرًا لقيمة π (وهو ''حاصل قسمة محيط أي دائرة بقطرها''). لتحقيق هذه النتيجة وضع أرخميدس إطارًا للدائرة بمضلعين منتظمين حسب طول محيطهما. استخدم مضلعات منتظمة ذات 96 ضلعا.

[[ملف:Resaleye mohitiye end.jpg|تصغير|«الرسالة المحيطية» [[مخطوط]]ة عن محيط [[مضلع|المضلع]]]]
في عام 1424 قام [[غياث الدين الكاشي|الكاشي]] -في ''رسالته حول الدائرة''- بحساب قيمة تقريبية لـ π عن طريق تأطير الدائرة بين مضلعين منتظمين مع ستة عشر خانةً عشريةً دقيقةً. كان هدفه تحديد قيمة تقريبية لـ π دقيقة بما يكفي ليكون قادرًا على حساب ليس فقط محيط الأرض، ولكن أيضًا محيط الكون.<ref>{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Berggren et al.|2004}}, {{ص.}}681.</ref>

اعتمد طريقة أرخميدس<ref>{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Berggren et al.|2004}}, {{ص.}}329.</ref> كل من [[فرانسوا فييت]] في 1579 وأدريان رومان في 1593 لضبط من اثني عشر إلى خمسة عشر خانةً عشريةً لـ π.

قام علماء رياضيات آخرون بحساب القيم التقريبية لـ π باستخدام حسابات [[مساحة|المساحة]]، ثم وبداية من القرن 17 استخدمت تقانات [[تفاضل وتكامل|حساب التفاضل والتكامل متناهية الصغر]].

=== طول منحنى الغلاف ===
{{أيضا|مفارقة خط الساحل}}
سميت مسألة حساب الطول المطوَّر للمنحنى، في القرن 17 باسم ''"تصحيح'' منحنى". واعتبرت إمكانية حلها بشكل عام مستحيلة، وهو ما يعبر عنه [[رينيه ديكارت|ديكارت]]: «النسبة بين الخطوط والمنحنيات غير معروفة، وأعتقد بأن الإنسان لا يستطيع معرفتها<ref>[[رينيه ديكارت|ديكارت]], ''La géométrie'' (الهندسة), من الموقع : {{استشهاد ويب
 | الأخير = J.-C. 
 | الأول = Pénin
|سنة = 2007
|عنوان = La rectification des courbes
|مسار = http://pagesperso-orange.fr/fonctionelliptique/Rectification.htm
|مسار أرشيف=http://web.archive.org/web/20090926171538/http://pagesperso-orange.fr:80/fonctionelliptique/Rectification.htm|تاريخ أرشيف=2009-09-26}}.</ref> ».

أدى اختراع [[تفاضل وتكامل|حساب التفاضل والتكامل المتناهي الصغر]] في القرن 17 إلى تفسير حساب الطول المطوَّر لمنحنى على أنه طول متكامل <ref>{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Pénin|2007}}.</ref> وفقًا للصيغة الموضحة أعلاه (انظر مثال القطع الناقص).

في القرن 19 قدم [[كامي جوردان|كميل جوردان]] تعريفًا جديدًا للطول المطور لمنحنى <ref>[[كامي جوردان|C. Jordan]], ''Cours d'analyse de l'école polytechnique, 3 volumes'', Jacques Gabay, première publication entre 1882 et 1887, édition 1991 {{ردمك|2-87647-018-7}}.</ref> يقترب من تعريف [[أرخميدس]] ولكن باستخدام الأدوات الحديثة (بما في ذلك حساب [[نهاية (رياضيات)|حد]] [[متتالية|التسلسل]]): قرب طول منحنى بطول [[مضلع]] تكون رؤوسه نقاط هذا المنحنى. عندما يميل عدد هذه النقاط نحو اللانهاية، فإن الحد الأعلى لتسلسل أطوال المضلعات التي تم الحصول عليها -إذا تم تسقيفها- هو الطول المطوَّر لهذا المنحنى. هذا التعريف ''للمنحنى القابل للتصحيح'' يشمل ويمدد التعريف السابق الذي يستخدم [[تكامل|التكامل]].
[[ملف:Bretagne_region_location_map.svg|بديل=Cartographie de la région Bretagne.|تصغير| ساحل [[برطانية (منطقة إدارية)|برطانية (فرنسا)]].]]
خلال القرنين 19 و20 اكتشف علماء الرياضيات العديد من المنحنيات «الغريبة» مثل منحنى فون كوخ الذي لا يمكن تصحيحه.<ref>{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Poincaré|1908}}.</ref> وبداية من عام 1967 قام [[بينوا ماندلبروت]]<ref name="Mandelbrot" /> بتعريف ودراسة [[كسيرة|الكسيرات]] بناءا على سؤال يبدو بسيطًا للغاية؛ ما هو طول منطقة [[برطانية (منطقة إدارية)|بريطانية الفرنسية]]؟

يشرح ماندلبروت بأنه كلما سعينا إلى تحديد القياس كلما زاد حجمه، وأصبح في النهاية غير محدود.<ref name="Mandelbrot" /> في الواقع إذا قمنا بقياس محيط [[برطانية (فرنسا)|بريطانية الفرنسية]] تقريبًا (أو أي دولة) على الخريطة، فسنحصل على مضلع، ولكن كلما زادت دقة الخريطة، زادت قطع المضلع وبالتالي سينمو محيطه، وإذا بحثنا عن المحيط «الحقيقي» لبريطانية، فسيكون من الضروري الذهاب إلى الموقع لقياس كل حصاة، كل جرف من الصخور، وحتى كل [[ذرة]] من هذه المكونات. تتجاوز دراسة هذه الأشياء نطاق حساب المحيط.

[[ملف:Britain-fractal-coastline-combined.jpg|تصغير|صورة توضح قياس ساحل المملكة المتحدة بمقاييس أطوالها مختلفة؛ كلما كان المقياس أصغر، زاد طول الساحل المقاس.]]

== انظر أيضاً ==
* [[هندسة رياضية]]
* [[مساحة]]
* [[حجم]]
* [[مبرهنة فيثاغورس]]
{{تحديد}}

== المراجع ==

=== فهرس المراجع ===
{{مراجع|مراجع=<ref name="Mandelbrot">{{Harvard citation|Mandelbrot|1995}}.</ref>|محاذاة=نعم}}

=== معلومات المراجع كاملة ===
{{بداية المراجع|2|محاذاة=نعم}}
* {{استشهاد بكتاب|عنوان=Les sciences exactes dans l'Antiquité|مؤلف=Neugebauer|مؤلف1-الأول=Otto|ناشر=[[Actes Sud]]|سنة=1992|isbn=978-2-86869-300-6}}.
* {{استشهاد بكتاب|عنوان=Les objets fractals, 4e édition|مؤلف=Mandelbrot|مؤلف1-الأول=Benoît|ناشر=[[Groupe Flammarion|Flammarion]]|سنة=1995|صفحات=212|isbn=978-2-08-081301-5}}.
* {{استشهاد بكتاب|عنوان=Science et méthode|مؤلف=Poincaré|مؤلف1-الأول=Henri|ناشر=[[Groupe Flammarion|Flammarion]]|سنة=1908|مسار= http://jubil.upmc.fr/sdx/pl/toc.xsp?id=PC_000305_001&fmt=upmc&idtoc=PC_000305_001-pleadetoc&base=fa|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20230425134619/http://jubil.upmc.fr/sdx/pl/toc.xsp?id=PC_000305_001&fmt=upmc&idtoc=PC_000305_001-pleadetoc&base=fa|تاريخ أرشيف=2023-04-25}}.
* {{استشهاد بكتاب|عنوان=Éléments de géométrie : rédigés d'après le nouveau programme de l'enseignement scientifique des lycées ; suivis d'un Complément à l'usage des élèves de mathématiques spéciales|مؤلف=Amiot|مؤلف1-الأول=A.|ناشر=C. Delagrave et Cie|سنة=1870|صفحات=428|مسار= http://gallica2.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k996281|مكان=Paris|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20230715215753/http://gallica2.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k996281|تاريخ أرشيف=2023-07-15}}.
* {{استشهاد بكتاب|عنوان=Référentiel de mathématiques|مؤلف=Anne Chevalier, Collectif, Ginette Cuisinier, Danielle Degen, Christine Docq, Mariza Krysinska, Christiane Hauchart|ناشر=De Boeck Education|سنة=2002|صفحات=448|isbn=978-2-8041-4052-6|المعرف=Référentiel}}.
* {{استشهاد بكتاب|عنوان=Pi, a source book|مؤلف=[[John Lennart Berggren|Lennart Berggren]], Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein|ناشر=Springer|سنة=2004|صفحات=797|لغة=en|isbn=0-387-20571-3|مكان=New York|المعرف=Pibook}}.
* (en) Eleanor Robson, Mathematics in Ancient Iraq: A Social History, Princeton University Press, 2008, 442 p. (ISBN 9780691091822).
{{نهاية المراجع}}

=== المقالات ===
{{بداية المراجع|محاذاة-نعم}}
* {{استشهاد ويب|مسار= http://eduscol.education.fr/D0049/aire_perimetre_tout.pdf|عنوان=Aire et Périmètre|المعرف=confusion|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20230725131416/https://eduscol.education.fr/D0049/aire_perimetre_tout.pdf|تاريخ أرشيف=2023-07-25}}.
{{نهاية المراجع}}
</div>
{{ضبط استنادي}}
{{شريط بوابات|رياضيات|علوم|هندسة رياضية}}

[[تصنيف:طول]]
[[تصنيف:مسافة]]
[[تصنيف:هندسة ابتدائية]]
[[تصنيف:هندسة كلاسيكية]]