عرض مصدر مثلث زائدي

[[ملف:Hyperbolic triangle.svg|تصغير|250px|يسار|مثلث زائدي مرسوم على [[نقطة سرجية|سطح سرجي الشكل]]]]

في [[هندسة زائدية|الهندسة الزائدية]]، '''المثلث الزائدي''' {{إنج|Hyperbolic triangle}} هو [[مثلث]] مرسوم على المستوي الزائدي. يتكون من ثلاث [[قطعة مستقيمة|قطع مستقيمة]] تسمى «الجوانب» أو «الحواف» وثلاث [[نقطة (هندسة)|نقاط]] تسمى الزوايا أو الرؤوس.

تمامًا كما في حالة [[فضاء إقليدي|الفضاء الإقليدي]]، توجد دائمًا ثلاث نقاط من {{وإو|تر=Hyperbolic space|عر=فضاء زائدي|نص=الفضاء الزائدي}} ذات [[بعد]] اختياري على نفس المستوي. ومن ثم فإن المثلثات المستوية الزائدية تصف أيضًا المثلثات الممكنة في أي بُعد أعلى للفضاءات الزائدية.

== تعريف ==
يتكون المثلث الزائدي من ثلاث نقاط غير [[تسامت|متسامتة]] وثلاثة قطع مستقيمة بينها.<ref>{{استشهاد|الأخير=Stothers|الأول=Wilson|مسار=http://www.maths.gla.ac.uk/~wws/cabripages/hyperbolic/hyperbolic0.html|عنوان=Hyperbolic geometry|ناشر=[[جامعة غلاسكو|University of Glasgow]]|سنة=2000|لغة=en|مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20120906051225/http://www.maths.gla.ac.uk:80/~wws/cabripages/hyperbolic/hyperbolic0.html|تاريخ أرشيف=2012-09-06}}, interactive instructional website</ref>

== خصائص ==
[[ملف:Ideal_circles.svg|بديل=|تصغير|200x200بك]]
تحتوي المثلثات الزائدية على بعض الخصائص المشابهة لتلك الموجودة في المثلثات في الهندسة الإقليدية (المستوية):

* يحتوي كل مثلث زائدي على [[دوائر داخلية وخارجية لمثلث|دائرة محاطة]] ولكن ليس لكل مثلث زائدي [[دائرة محيطة]] (لاحظ الصورة). يمكن أن تقع رؤوسها على {{وإو|تر=Horocycle|عر=دائرة حدية}} أو [[دائرة فائقة]].
*

تحتوي المثلثات الزائدية على بعض الخصائص المشابهة لتلك الموجودة في المثلثات في [[هندسة كروية|الهندسة الكروية]] أو [[هندسة إهليلجية|الإهليلجية]]:

* مثلثان لهما نفس مجموع الزاوية متساويان في المساحة
* يوجد حد أعلى لمساحة المثلثات.
* يوجد حد أعلى لنصف قطر [[دائرة داخلية|الدائرة المحاطة]].
* يتطابق المثلثان إذا وفقط إذا كانا يتطابقان مع جداء منته لانعكاسات خطية.
* مثلثان متساويان في الزوايا المتناظرة متطابقان (أي أن جميع المثلثات المتشابهة متطابقة).

للمثلثات الزائدية بعض الخصائص التي تتعارض مع خصائص المثلثات في الهندسة الكروية أو الإهليلجية:

* مجموع زاوية المثلث أقل من 180 درجة.
* تتناسب مساحة المثلث مع نقص مجموع زواياه عن 180 درجة.

تحتوي المثلثات الزائدية أيضًا على بعض الخصائص غير الموجودة في الهندسات الأخرى:

* لا تحتوي بعض المثلثات الزائدية على [[دائرة محيطة]]، فهذه هي الحالة عندما يكون أحد رؤوسها على الأقل نقطة مثالية أو عندما تقع جميع رؤوسها على {{وإو|تر=Horocycle|عر=دائرة حدية}} أو على [[دائرة فائقة]] أحادي الجنب.
* المثلثات الزائدية نحيفة، وهناك مسافة قصوى δ من نقطة على حافة إلى أحد الحافتين الأخريين. أدى هذا المبدأ إلى ظهور الفضاء الزائدي δ.

== حساب المثلثات ==
في جميع الصيغ المذكورة أسفل الجوانب {{mvar|a}} و {{mvar|b}} و {{mvar|c}} يجب قياسها [[هندسة زائدية|بالطول المطلق]]، بحيث يكون {{وإو|تر=Gaussian curvature|عر=انحناء غاوسي|نص=الانحناء الغاوسي}} {{mvar|K}} للمستوي يساوي {{يسار إلى يمين|-1}}. بمعنى آخر، من المفترض أن تكون الكمية {{mvar|R}} في الفقرة أعلاه مساوية لـ 1.

تعتمد الصيغ المثلثية للمثلثات الزائدية على [[دوال زائدية|الدوال الزائدية]] sinh و cosh و tanh.

=== حساب المثلثات القائمة ===
إذا كانت ''C'' عبارة عن [[زاوية قائمة]]، فإن:

* '''[[جيب (رياضيات)|جيب]]''' الزاوية A هو '''[[جيب زائدي|الجيب الزائدي]]''' للجانب المقابل للزاوية مقسومًا على '''الجيب الزائدي''' للوتر.

:{{تعبير رياضي مكبر|1=sin A = {{كسر|sinh(الجانب المقابل)|sinh(الوتر)}} = {{كسر|sinh ''a''|sinh ''c''}}}}
::

* '''[[جيب التمام|جيب تمام]]''' الزاوية A هو [[ظل زائدي|'''الظل الزائدي''']] الجانب المجاور مقسومًا على '''الظل الزائدي''' للوتر.

:: {{تعبير رياضي مكبر|1=cos A = {{كسر|tanh(الجانب المجاور)|tanh(الوتر)}} = {{كسر|tanh ''b''|tanh ''c''}}}}
::: .

* '''[[ظل (حساب المثلثات)|ظل]]''' الزاوية ''A'' هو '''الظل الزائدي''' للساق المقابل مقسومًا على '''الجيب الزائدي''' للجانب المجاور.

:: {{تعبير رياضي مكبر|1=tan A = {{كسر|tanh(الجانب المقابل)|tanh(الجانب المجاور)}} = {{كسر|tanh ''a''|tanh ''b''}}}}
::: .

* '''[[جيب التمام الزائدي]]''' للجانب المجاور للزاوية A هو '''جيب''' الزلوية B مقسومًا على '''جيب''' الزاوية A.

:: {{تعبير رياضي مكبر|1=cosh(الجانب المجاور) = {{كسر|cos B|sin A}}}}

* '''جيب التمام الزائدي''' للوتر هو جداء '''جيوب تمام''' الساقين.

:: {{تعبير رياضي مكبر|1=cosh(الوتر) = cosh(المجاور) cosh(المقابل)}}
::

* '''جيب التمام الزائدي''' للوتر هو أيضًا جداء '''جيوب تمام''' الزوايا مقسومة على جداء '''جيوبهم'''.<ref>{{استشهاد بكتاب|الأخير1=Martin|الأول1=George E.|مسار=https://archive.org/details/foundationsofgeo0000mart|عنوان=The foundations of geometry and the non-Euclidean plane|تاريخ=1998|ناشر=Springer|إصدار=Corrected 4. print.|مكان=New York, NY|صفحة=[https://archive.org/details/foundationsofgeo0000mart/page/433 433]|لغة=en|url-access=registration|مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20200822200315/https://archive.org/details/foundationsofgeo0000mart|تاريخ أرشيف=22 أغسطس 2020|isbn=0-387-90694-0}}</ref>

:: {{تعبير رياضي مكبر|1=cosh(الوتر) = {{كسر|cos A cos B|sin A sin B}} =cot A cot B}}
::

==== العلاقات بين الزوايا ====
لدينا أيضًا المعادلات التالية:<ref>{{استشهاد بكتاب|الأخير1=Smogorzhevski|الأول1=A.S.|مسار=https://archive.org/details/lobachevskiangeo00assm|عنوان=Lobachevskian geometry|ناشر=Mir Publishers|سنة=1982|مكان=Moscow 1982|صفحة=[https://archive.org/details/lobachevskiangeo00assm/page/n63 63]|لغة=en}}</ref>

: <math> \cos A = \cosh a \sin B</math>

: <math> \sin A = \frac{\cos B}{\cosh b}</math>

: <math> \tan A = \frac{\cot B}{\cosh c}</math>

: <math> \cos B = \cosh b \sin A</math>

: <math> \cosh c = \cot A \cot B</math>

==== المساحة ====
مساحة المثلث القائم هي:

: <math>\textrm{Area} = \frac{\pi}{2} - \angle A - \angle B</math>
أيضًا

: <math>\textrm{Area}= 2 \arctan (\tanh (\frac{a}{2})\tanh (\frac{b}{2}) )</math>{{بحاجة لمصدر|date=October 2015}}<ref>{{استشهاد ويب|عنوان=Area of a right angled hyperbolic triangle as function of side lengths|مسار=https://math.stackexchange.com/q/1462778|تاريخ الوصول=11 October 2015|موقع=[[ستاك إكستشينج|Stack Exchange]] Mathematics|لغة=en|مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20200822200540/https://math.stackexchange.com/questions/1462778/area-of-a-right-angled-hyperbolic-triangle-as-function-of-side-lengths/|تاريخ أرشيف=2020-08-22}}</ref>

==== مثلث متساوي الأضلاع ====
تعطي معادلات [[حساب المثلثات|المثلثية]] للمثلثات القائمة أيضًا العلاقات بين الأضلاع s والزوايا A [[مثلث متساوي الأضلاع|لمثلث متساوي الأضلاع]].

العلاقات هي:

: <math>\cos A= \frac{\textrm{tanh}\frac12 s }{\textrm{tanh} (s)}</math>

: <math>\cosh \frac12 s= \frac{\cos(\frac12 A)}{\sin( A)}= \frac{1}{2 \sin(\frac12 A)}</math>

=== حساب المثلثات العام ===
سواء كانت C زاوية قائمة أم لا، فإن العلاقات التالية تبقى ثابتة: القانون الزائدي لجيب التمام هو كما يلي:

: <math>\cosh c=\cosh a\cosh b-\sinh a\sinh b \cos C,</math>

مبرهنتها الثنائية هي:

: <math>\cos C= -\cos A\cos B+\sin A\sin B \cosh c,</math>

هناك أيضًا قانون الجيب:

: <math>\frac{\sin A}{\sinh a} = \frac{\sin B}{\sinh b} = \frac{\sin C}{\sinh c},</math>

وصيغة الأجزاء الأربعة:

: <math>\cos C\cosh a=\sinh a\coth b-\sin C\cot B</math>

التي هي مشتقة بنفس طريقة الصيغة المشابهة في [[حساب المثلثات الكروية]].

== المراجع ==
{{مراجع}}
{{شريط بوابات|رياضيات|هندسة رياضية}}

[[تصنيف:أنواع المثلثات]]
[[تصنيف:هندسة زائدية]]